湖南省長沙市2024屆高三上學期第一次調(diào)研測試數(shù)學試題 含解析

2024年湖南省長沙市高三數(shù)學上學期第一次調(diào)研測試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________題號一二三四總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．設(shè)集合，，則的元素個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．若復數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．3．已知向量，，，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則的面積為（

）．A．1 B．2 C． D．4．在三角形ABC中，已知三邊之比，則的值等于（

）A．1 B．2 C． D．5．數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．6．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了的污染物，則15h后還剩污染物的百分數(shù)為（

）A． B． C． D．7．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知正三棱臺的上，下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為4，以下底面頂點為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)的所有零點從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．10．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的3個紅球，2個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取出2個小球，記事件：取出的兩個球是一個紅球一個白球，事件：兩個球中至少一個白球，事件：兩個球均是紅球，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知雙曲線：的右焦點為F，動點M，N在直線：上，且，線段，分別交C于P，Q兩點，過P作的垂線，垂足為.設(shè)的面積為，的面積為，則（

）A．的最小值為 B．C．為定值 D．的最小值為12．已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上存在極大值B．為函數(shù)的導函數(shù)，若方程有兩個不同實根，則實數(shù)m的取值范圍是C．若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為D．若，則的最大值為三、填空題13．為了做好社區(qū)新疫情防控工作，需要將5名志愿者分配到甲?乙?丙?丁4個小區(qū)開展工作，若每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則有種分配方法（用數(shù)字作答）；14．在數(shù)列中，，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，令，則．15．已知是正四面體的外接球的一條直徑，點在正四面體表面上運動，正四面體的棱長是2，則的取值范圍為．16．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為.四、解答題17．如圖，在中，，點是邊上一點，且，(1)求的面積；(2)求線段的長.18．已知數(shù)列的前項和為，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，且，，，為中點．

(1)求證：平面平面；(2)若線段上存在點，使得二面角的大小為，求的值．20．2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學校開展組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)若從成績低于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績低于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)；(3)首輪競賽成績位列前的學生入圍第二輪的復賽，請根據(jù)圖中信息，估計入圍復賽的成績（記為）.21．已知橢圓的離心率為，斜率為2的直線l與x軸交于點M，l與C交于A，B兩點，D是A關(guān)于y軸的對稱點．當M與原點O重合時，面積為．(1)求C的方程；(2)當M異于O點時，記直線與y軸交于點N，求周長的最小值．22．已知函數(shù)．(1)當時，求在曲線上的點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個極值點，，證明：．參考答案：1．C【分析】明確集合交集的含義，利用解方程組即可確定答案.【詳解】由于，為點集，故求的元素個數(shù)即為求的解的個數(shù)，解方程，可得或或，故的元素個數(shù)是3個，故選：C2．A【分析】根據(jù)復數(shù)的乘方運算及乘法運算求得z，由模長公式求得模長即可.【詳解】解：∵，∵復數(shù)，∴，∴，∴，則，故選：A．3．B【解析】為等腰直角三角形，則有及，【詳解】由題知，，，故，則，故選：B．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，掌握向量的模、向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)三邊關(guān)系求出，根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理即可得解.【詳解】三角形ABC中，已知三邊之比可設(shè)，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：故選：B5．C【分析】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化簡解出即可得出．【詳解】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化為：a＜n2+n．∴a＜2．故選C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．C【分析】根據(jù)題意，求出，然后帶入，即可求出15h后還剩污染物的百分數(shù).【詳解】根據(jù)題意時，，又在前5h消除了的污染物，則，則15h后還剩污染物為，所以15h后還剩污染物的百分數(shù)為.故選：C7．C【分析】設(shè)，由橢圓定義和勾股定理得到，換元后得到，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求出，得到離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時，取得最小值；或4時，取得最大值.即有，得.故選：C【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出，代入公式；②根據(jù)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍；③由題目條件得到離心率關(guān)于變量的函數(shù)，結(jié)合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.8．C【分析】將正三棱臺補形成正三棱錐，并確定正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求出點到平面的距離，進而求出截面小圓半徑作答.【詳解】將正三棱臺補形成正三棱錐，如圖，由得．∵，∴，∴為正三角形，∴三棱錐為正四面體．令正的中心為，連接，，則平面，，∴．∵球半徑為，∴這個球面截平面所得截面小圓是以為圓心，為半徑的圓．在正中，取，的中點，，取的三等分點，，連接，，顯然，即，，同理，即，∴六邊形是正六邊形，點，，，，，在此球面截平面所得截面小圓上．連接，，，，則，此球面與側(cè)面的交線為圖中的兩段圓弧（實線），∴交線長度為．故選：C.【點睛】思路點睛：將正三棱臺補形成正三棱錐，并確定正三棱錐為正四面體，由此可求出點到平面的距離，進而求出球面與側(cè)面的截面小圓半徑，從而確定交線為兩段圓弧，求出弧長得解.9．AC【分析】根據(jù)零點定義，結(jié)合正弦型函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)的圖象進行求解即可.【詳解】令，在同一直角坐標系，畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知共有20個交點，故，則A正確，B錯誤；又函數(shù)的圖象都關(guān)于對稱，則，故，則C正確，錯誤，故選：AC10．AC【分析】應(yīng)用列舉法寫出隨機取出2個小球的事件，根據(jù)題設(shè)描述列舉對應(yīng)事件，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】記3個紅球為，2個白球為，隨機取出2個小球的事件如下，，所以，事件對應(yīng)事件有，概率為，A對；事件對應(yīng)事件有，概率為；事件對應(yīng)事件有，概率為；其中對應(yīng)事件有，概率為，B錯；對應(yīng)事件有，概率為，C對；顯然，D錯.故選：AC11．BC【分析】由三角形相似和基本不等式，即可判斷A；代入兩點間距離公式，化簡后，即可判斷B；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合B選項，即可判斷C；設(shè)，利用三角函數(shù)表示，再通過換元，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值.【詳解】對于A，易得，設(shè)，則，設(shè)，，由三角形相似可得，所以，當且僅當時等號成立，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，由，得，所以，所以，故B正確；對于C，由，可得，所以，整理得，為定值，故C正確；對于D，易知，設(shè)，則，，設(shè)，則，解得，同理可得，所以，令，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，故的最小值為，故D錯誤.故選：BC【點睛】難點點睛：本題的難點是D選項的判斷，需根據(jù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，再利用換元，轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)問題，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求最值.12．BCD【分析】利用導數(shù)探討的單調(diào)性判斷A；求出并利用導數(shù)探討其性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則“f”，再利用的單調(diào)性求出最小值判斷C；由已知結(jié)合同構(gòu)思想得，再利用導數(shù)求出的最小值判斷D.【詳解】對于A，，令，則，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，于是，因此在上單調(diào)遞增，在上無極值點，A錯誤；對于B，，令，則，當時，，函數(shù)遞減，當時，，函數(shù)遞增，則，即，顯然當時，恒有，方程有兩個不同實根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，B正確；對于C，由選項B知，在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，不等式，則有，，由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以實數(shù)a的最大值為，C正確；對于D，若，則，即，由，得，由選項A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，，因此，令，則，當時，，函數(shù)遞增，當時，，函數(shù)遞減，從而，所以的最大值為，D正確.故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，總有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.13．【分析】利用分組分配求解【詳解】先把名志愿者分成共組，然后再進行排列，有種不同的分配方法，故答案為：14．【分析】根據(jù)題意，得到，兩式相加，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由，得，則，則，故．故答案為：.15．【分析】根據(jù)題意可求得外接球半徑為，利用可得，由幾何關(guān)系求出的最值即可求出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：

設(shè)點在平面內(nèi)的攝影為，為的中點，易知在上，且平面；又正四面體的棱長是2，所以可得，在正中，由勾股定理可得；設(shè)外接球半徑為，則可知，即，解得；易知，又因為是外接球的一條直徑，所以，且；因此，易知，所以，；因此可知的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用極化恒等式將化為，再利用正四面體性質(zhì)求出的最值即可求出的取值范圍.16．【分析】由可得出，利用弦長公式得出，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可為所求.【詳解】當時，，，則，當時，，，則，因為函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用切線斜率相等得出、所滿足的關(guān)系式，然后將轉(zhuǎn)化為含的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）解法1：在中根據(jù)余弦定理求出，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求，在中勾股定理求即可；解法2：由求得.【詳解】（1），而.（2）解法1：，，在中，，在等腰中，，Rt中，，.解法2：，由得，,即，解得.18．(1)(2)【分析】（1）利用構(gòu)造法和等差數(shù)列的定義與通項公式可得，結(jié)合即可求解；（2）由（1）知，利用分組求和法計算即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，，所以，由于，則是以首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，當時，.驗證時滿足通項公式，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知.設(shè)的前項和為，則當為偶數(shù)時，.當為奇數(shù)時，，設(shè)的前項和為，則.因為，所以19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先連接，根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再利用面面垂直的判定定理證明平面平面.（2）設(shè),再利用向量法求二面角的平面角，再列方程得到，即得的值．【詳解】（1）證明：連接，

是邊長為的等邊三角形，是的中點，，，，，，四邊形是矩形，，，，又，，平面，平面，又平面，平面平面．（2）以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，又平面，為平面的一個法向量，，二面角的大小為，，解得．．20．(1)人(2)(3)【分析】（1）利用分層抽樣的定義求解即可；（2）利用平均數(shù)公式求解即可；（3）根據(jù)題意設(shè)入圍復賽的成績的臨界值為，則，求出的值即可.【詳解】（1）成績在的人數(shù)為（人），成績在的人數(shù)為（人），則按分層抽樣方法從成績低于60分的同學中抽取5人，成績低于50分的人數(shù)為（人）.故5人中成績低于50分的人數(shù)為2人；（2）由，得，則平均數(shù)，故該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)約為分；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知：的頻率為，的頻率為，所以入圍復賽的成績一定在，可知入圍復賽的成績的臨界值為，則，解得，故估計入圍復賽的成績?yōu)榉?21．(1)(2)【分析】（1）設(shè)出各點坐標，表示出面積后，結(jié)合面積與離心率計算即可得；（2）要求的周長，則需把各邊長一一算出，即需把、算出，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得與橫坐標有關(guān)韋達定理，借助韋達定理表示出、，可得各