2024年高考數(shù)學(xué)第一輪題型歸納與解題 考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積9種常見(jiàn)考法歸類（原卷版+解析）

考點(diǎn)33空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積

9種常見(jiàn)考法歸類

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（三）等體積法求體積

考點(diǎn)二空間圖形的展開(kāi)圖問(wèn)題（四）已知體積求其他量

考點(diǎn)三最短路徑問(wèn)題考點(diǎn)七空間幾何體的截面問(wèn)題

考點(diǎn)四立體圖形的直觀圖考點(diǎn)八與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

考點(diǎn)五空間幾何體的表面積（-）幾何體的外接球

考點(diǎn)六空間幾何體的體積（二）幾何體的內(nèi)切球

（-）直接利用公式求體積考點(diǎn)九立體幾何中的軌跡問(wèn)題

考點(diǎn)十立體幾何中的最值問(wèn)題

（二）別補(bǔ)法求體積

?.拔柱、棱惟、枝臺(tái)

棱柱枝卷枝臺(tái)

g~D'火“頂點(diǎn)

C，會(huì)上底面

圖例棱小而

MBB-海面:婢》C

形

F座

有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是

有一個(gè)面是多邊彩，其余各面用一個(gè)平行于極錐底面的平面去截

定四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公

都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角棱鎮(zhèn)，底面和盛面之間那部分多面

義共邊都互相平行，由這些面所圍成

彩，由這些面所圍成的多面體體

的多面體

結(jié)

構(gòu)底面互相平行且全等：惻面都是平底面是一個(gè)多邊形：側(cè)面都是上、下底而互相平行且相似：各蝴

特行四邊形：側(cè)棱都相等且互相平行三角形；側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)：各惻面為悌彩

征

①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱柱、①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱①按底面多邊形的邊數(shù)：三枝臺(tái)、

分

四棱柱、五棱柱…錐、四棱雄、五棱錐…四棱臺(tái)、五棱臺(tái)…

類

②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱垂直②三棱銀：底面是正多邊形，②正棱臺(tái)：由正棱雄極得的校臺(tái)

于底面的枝柱叫做宜棱柱，并且頂點(diǎn)與底面中心的

否則叫做斜棱柱.底面是正多邊形連線垂直于底面的枝般.

的立板柱叫做正枝柱.底面是平行③三四面體：所有校長(zhǎng)都相等

四邊形的四棱柱也叫做平行六面的三枝錐.

體.側(cè)棱垂直于底面的平行六面體

叫直平行六面體.

2.常見(jiàn)四極柱及其關(guān)系

底面底

直

行四邊后平行于總而平

建

鬟暨

長(zhǎng)

正

長(zhǎng)

行

正

四六面體支

&四

六

方

梭

曲

四氐百是平體

柱R于底叫嵐b;懺E邊形柱

體

3.簡(jiǎn)單凸多而體的分類及其之間的關(guān)系

正

田

梭柱桂

柱

四）

凸

多平行六面體

面

體

正四面體

正

方

很

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

圓柱圓館圓臺(tái)球

田

圖*嚏￡

母線?/T

底為朧M

形OW

以整形的一邊所在宜線以直角三角形的一條直向以半圓的直徑所在直線

用平行于圓錐底面的

定為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸.為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所

平面去極圓錐，底面

義轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的形成的曲面叫做球面.

與板面之間的部分

的流轉(zhuǎn)體面所圍成的旋轉(zhuǎn)體俅面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

然①母線互相平行且相①母姣和交于一點(diǎn)①母線延長(zhǎng)線交于一

構(gòu)等，并垂宜于底面②軸極面是全蒂的等腰三點(diǎn)粒面是圓面

特②批截面是全等的矩形角形②軸截面是全等的等

征③測(cè)面展開(kāi)圖是矩彩③側(cè)面展開(kāi)圖為扁形腰梯形

③側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)

5.簡(jiǎn)單組合體

由冏單幾何體組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)單組合體,其構(gòu)成彩式主要有：由他單幾何體拼接，或由價(jià)華幾何

休故去改挖去一部分.

6.立體圖形的宜觀圖

(I)概念：直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形，立體幾何中通常是在平行投彩

下得到的平面圖形.

(2)斜二測(cè)西法西水平放黑的平面圖腦立現(xiàn)圖的步蕤：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸.兩軸相交于點(diǎn)0.色直觀圖時(shí)，把它們曲成對(duì)應(yīng)的“軸與y

軸，兩軸相交于點(diǎn)。'，且使/fO：y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.

②已知困形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別西成平行于下軸或J軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直現(xiàn)困中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，在直現(xiàn)圖中長(zhǎng)度為

原來(lái)的一半.

畫(huà).1何體的直觀圖時(shí)，與畫(huà)平面圖形的直現(xiàn)圖相比，只是多畫(huà)一個(gè)與X軸、)'軸部垂直的z軸，并且便

平行于Z軸的找段的平行性和長(zhǎng)度都不變.

注：按照斜二測(cè)西法得到的平面圖形的直觀圖，其面積是原圖形的半倍，即S皿=坐55口麗=

SN&M

7.簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體犯

(I)圓柱、圓般、圓臺(tái)的側(cè)面積

圓柱圄錐圓臺(tái)

一

力，......

潮而展

開(kāi)困L“r7?L-次1?…翁

郃面積S甩8訓(xùn)=

SKuw=2ftr/S

公式Jt(r+/)/

其中「，/為底面半徑，/為母線長(zhǎng).

(2)柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

、名稱

兒/、表面積體積(5是底面積，力是高)

S“枚”-4+2S&

Sic"+2S,l(c'為宜截面周長(zhǎng)

柱體（棱柱*SMU=2i4+i2/xrl-2nr（r+/）

S?+25人V=Sh

和圓柱）

2

2xr

S〃t?="+兀rl=^r(r+/)

錐體（棱儺

S仄向力=S釗+SAV=/h

和圓錐）

5」,=%("+")/I+St：+S>

S*/i=水r"+/+r'l+rl)

臺(tái)體（棱臺(tái)S麥的力=S旬+S上

V=*S上+ST+^/SXST)/J

和回臺(tái)）+ST

球（/?是半

S=4nR?V=^nR-

徑）

8.解決空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的叁本方法:

（1）定義法：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)健,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條

件不變的怙況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)即意判定：（2）反例法：學(xué)

會(huì)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)令邈是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一個(gè)反例即可.（3乂削柱、圓錐、陶臺(tái)的

有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.（4）既然棱（圓）臺(tái)是由棱（圓）錐定

義的，所以在解決棱（圓）臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.

9.最短距離問(wèn)題

研克幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距

離問(wèn)題.

10.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)百觀圖的技巧

在原圖形中與X軸或.y軸平行的線段在直觀圖中與V軸或V軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可

以先畫(huà)出線段的端點(diǎn)再連線，原圖”，的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在克觀圖的相應(yīng)點(diǎn)后，用平

滑的曲發(fā)連接而畫(huà)出.

11.解決有關(guān)''斜二測(cè)畫(huà)法”問(wèn)題注意點(diǎn)

一股在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形

的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段K度的關(guān)系.

12.求解多面體的表面積

關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如枝柱中的矩形，枝維中的直角三角彩，枝臺(tái)中的直角相形等，通過(guò)這

些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，通過(guò)建立未知量與已知量間的關(guān)系進(jìn)行求解.

13.求空間幾何體體積的常用方法

求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補(bǔ)法和等枳變換法（等體積法）：

公式法對(duì)「規(guī)則兒何體的體積問(wèn)題，可以宜接利用公式進(jìn)行求解

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體枳計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾

割補(bǔ)法

何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便f計(jì)養(yǎng)工體積

?個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果?個(gè)幾何體的底面面積和卷

較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變

等體積形，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一?種方法，多用來(lái)解決有關(guān)鍵體

法的體積，特別是三棱錐的體積，對(duì)于三核維，由于其任意一個(gè)面均可作為枝維的

底面，從而可選驛更容易計(jì)算的方式來(lái)求體積：利用“等積性”還可求'，點(diǎn)到面的距

離”.

14.求旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題

注但其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)一周彩成的是圓臺(tái)，四分之一同境半徑所在的直線流

轉(zhuǎn)一周，形成的是半球，所以陰影部分繞A8旋轉(zhuǎn)一周形成的是組合體，圓臺(tái)挖去半球，S.MS憎.+STAB

+S**&.

15.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路

求注轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量.求旋轉(zhuǎn)體的體

積常用公式法、分割法等，注意相關(guān)公式要牢記.

16.與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題的

思維流程是:

___J如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且

定球心1為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距

一」：離相等且為半徑

0:選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要位這個(gè)橫面盡

I-----1:可能多的包含球、幾何體的各種元素以

I作鐵面H及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)

:題平面化的目的

示匐J根據(jù)市就裁面市而兄行裝黑；亞ii

下詰論：半徑的方程,并求解

”.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

（I）正方體的極長(zhǎng)為球的半徑為R

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2代=小你

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a：

③若球與正方體的各棱相切，則2Rfa

（2）若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R則2A=后礪寵.

（3）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

18.空間幾何體的截面問(wèn)題

作出截面的關(guān)鍵是找到被線，作出截線的主要根據(jù)有：（1）確定平面的條件：（2）三線共點(diǎn)的條件：（3）面

面平行的性質(zhì)定理.

19.立?體幾何中的最值問(wèn)題

解決空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問(wèn)題，一般可以從三方面著手：

（I）從問(wèn)題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決：

（2）利用空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖：

（3）找出問(wèn)題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值.解題途徑很多，在函數(shù)

建成后，可用?次函數(shù)的端點(diǎn)法，二次函數(shù)的配方法、公式法，函數(shù)有界法（如三角函數(shù)等）

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.【多選】（2023秋?浙江杭州?高三浙江省桐廬中學(xué)期末）下列命題正確的是（

A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體走極臺(tái)

B.棱柱的側(cè)極都相等，側(cè)面都是平行四邊形

C.用平面截圓柱得到的截而只能是圓和矩形

D.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯(cuò)誤的是（）

A.棱柱的側(cè)棱互相平行

B.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐

C.正三棱錐的各個(gè)面都是正三角形

D.棱臺(tái)各側(cè)棱所在直線會(huì)交于一點(diǎn)

3.【多選】（2023春,甘肅?高三校聯(lián)考期中）下列命題正確的是（）

A.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線

B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所用成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

4.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾

斜后水睛中的水形成的幾何體是（）

A.棱柱B.棱臺(tái)C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

5.【多選】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專著，是

《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，其中將有三條核互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為“羨除貝1］（）

A.“羨除”有H僅有兩個(gè)面為三角形：B.“羨除”一定不是臺(tái)體；

C.不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”：D.“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形.

6.（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，

每個(gè)石荒都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則卜.列結(jié)論不正確的是（）

A.該幾何體的面是等邊三角形或正方形

B.該幾何體恰有12個(gè)面

C.該幾何體恰有24條棱

D.該兒何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一

條是：如果用匕E和尸分別表示簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有如下關(guān)系：.己知一個(gè)正多面

體每個(gè)面都是全等的等邊三角形，每個(gè)頂點(diǎn)均連接5條棱，則（）

A.50B.52C.60D.62

考點(diǎn)二空間圖形的展開(kāi)圖問(wèn)題

8.（2023秋?黑龍江綏化?高三?？计谀┤鐖D是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，將其更原為正方體后，互相重

合的點(diǎn)是_______.

①與②與③與④與

9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為長(zhǎng)方體，那么線段八8與線段

C。所在的白線（）

A.平行B.相交C.是異面直線D.可能相交，也可能是片面直線

10.（2023,海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)冽）如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，將小正方體從

如圖②所示的位置依次翻到第I格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格.這時(shí)小正方體正面朝上

的圖案是（）

考點(diǎn)三最短路徑問(wèn)題

11.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的高為2,底面周氏為16.四邊形ACDE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)8

為半圓弧CO的中點(diǎn),則在此圓柱的側(cè)面上，從A到4的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）.

12.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長(zhǎng)為的正，糧堆母線的中點(diǎn)處有一

老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知圈錐（f勺底而半徑為I,母線長(zhǎng)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓椎的

側(cè)面爬廳一圈回到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（）

S

A

A.C.6D.

14.（2023?全國(guó)?高三對(duì)□高考）如圖，在直三棱柱A8C-A4C：中，ZABC=90°.AB=BC=&，取

產(chǎn)分別是、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到尸的最短路徑長(zhǎng)度為.

考點(diǎn)四立體圖形的直觀圖

15C03.江西上饒.校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖.一個(gè)水平放置的三角形的斜一測(cè)直觀圖是等腰直角三角形.

若&*=8。=1,那么原三角形的周長(zhǎng)是（■

A.B.

C.D.

16.（2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)》如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形O48C的斜二測(cè)畫(huà)法的直

觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形07r9C,則原四邊形的面積是（）

A.B.C.16D.8

17.（2023,全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，一個(gè)月斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出來(lái)的三角形是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，則

原三角形的面積是（）

A.標(biāo)B.a2

C.a2D.標(biāo)

18.（2023秋,上海浦東新?高三上海市川沙中學(xué)校號(hào)期末）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形

的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.4BC=45.從8=AO=I,OC_L8C,則這塊菜地的面積為

19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，VA'OB'是水平放置的AAO8的直觀圖,但部分圖象被茶漬覆蓋,

已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、均在坐標(biāo)軸上，且AAO8的面積為12,則的長(zhǎng)度為（）

A.1B.2C.3D.4

20.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，△ABC是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線

AD中，最長(zhǎng)的線段是（）

A.ABB.ADC.BCD.AC

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知一個(gè)直三棱柱的高為2,如圖，其底面/3C水平放置的直觀圖（斜二

測(cè)畫(huà)法）為，其中OX=0Q=OU=1,則此三棱柱的表面積為（）

A.B.C.D.

22.【當(dāng)選】（2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，四邊形A9C77是由斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面

四邊形水平放置的直觀圖，其中，，C7y=CB'=2,點(diǎn)在線段上，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)，則在原圖中下列說(shuō)法

正確的是（）

A.四邊形的面積為14

B.與同向的單位向量的坐標(biāo)為

C.在向量上的投影向量的坐標(biāo)為

D.I3E4+P例的最小值為17

考點(diǎn)五空間幾何體的表面積

23.（2023秋?遼寧錦州?高三統(tǒng)考期末）如圖，扇形中，OA1OB,,將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何

體的表面積為.

24.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知閱錐的底面半徑為1,側(cè)面展開(kāi)圖的閱心角為，則該

圓錐的惻面積為（）

A.B.C.D.

25.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱48C-A4G中，底面是邊長(zhǎng)為I的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為

2,/AA3=/AAC=45。，則該斜三棱柱的側(cè)面積是.

26.（2023喬,上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長(zhǎng)為,

高為，則這個(gè)茶葉盒的表面積為.

27.（2023存山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是圓錐的一個(gè)軸截面，分別為母線的中點(diǎn)，SO=2幣,CD=2,

則圓錐的側(cè)面積為（）

A.B.C.D.

28.（2D23?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹

堵''的底面是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，高為，則該“塹堵”的表面積為（）

A.B.C.D.

29.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是球的小圓上的三點(diǎn)，若48=8C=C4=3#.C9=4,則球的表

面枳為（）

A.B.C.D.

30.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)?種結(jié)構(gòu)形

式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為

四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60。，

則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為（）

A.B.C.D.

31.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐

（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），其側(cè)面三角形底邊上的島與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為，則以

該四樓推的高為邊長(zhǎng)的正方形面積與該四極錐的側(cè)面積之比為（）

C.D.4

32.（2023?安徽安慶?安慶?中校考三模）陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石

器時(shí)代遺址,如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑/W=12cm,圓柱體部分的高，圓錐體

部分的高CO=4cm,則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（）

B.(144+24呵”

C.(108+12拒)兀D.(108+24㈣兀

考點(diǎn)六空間幾何體的體積

（-）直接利用公式求體積

33.（2023?上海楊浦?旦旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）若某圓錐高為3,其側(cè)面積與底面積之比為，則該惻錐的

體積為.

34.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好是一個(gè)半徑為1的半網(wǎng)，則該【員I椎的體積為（）

A.B.C.D.

35.（2）23?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四樓臺(tái)48。。-4圈如。中，A8=3入4=3,,則其體積為.

36.（2023.仝國(guó).模擬預(yù)測(cè)）如圖1,位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國(guó)現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓

閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個(gè)正四校錐，如圖2,已知正四棱錐P-A8C。的高為4.87n】，

其側(cè)棱與高的夾角為45。，則該正四棱錐的體枳約為（）（4.87^115.5）

A.B.C.D.

37.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品，其制作始」.?明朝正德年間.紫砂

壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái),如圖給

出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位＜m〉.現(xiàn)在向這個(gè)空右瓢壺中加入（約）的礦泉水后，問(wèn)石顫壺內(nèi)水深約

（）cm

A.2.8B.2.9C.3.0D.3.1

《二》制補(bǔ)法求體積

38.C023?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱A3C-44G中，底面ABC,48=3C=G4=M，

點(diǎn)。是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為（）

A.1:2B.4:5C.4:9D.5:7

39.（2023?遼寧?朝陽(yáng)打第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖是兩個(gè)直三棱柱48M-AAN和AM隅-AA/度看

后的圖形,公共惻面為正方形，兩個(gè)直三棱柱底面是腰為2的等腰直角三角形,則該幾何體的體積為

40.（2023?河北唐山?唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方體人BC。-人洲GR的樓長(zhǎng)為4,點(diǎn)P,。,

R分別在核，，上，且Of=A0=CR=l,則以平面截正方體所得截面為底面，為頂點(diǎn)的棱錐的體枳為

41.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直角梯形中，AD//BC,ZBA￡>=90°.A8=AO=&，，將沿

翻折至的位置，使得A8±A'C.

（2）若，分別為，的中點(diǎn)，求三棱錐A'-OFH的體積.

（三）等體積法求體積

42.（2023?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四枝錐P-4SC。中，底面A3CO是邊長(zhǎng)為2的菱形，/朋。=60.

AC與BD交于點(diǎn)、O,底面A8CD,,點(diǎn)E,尸分別是極附,PB的中點(diǎn)，連接OE,OF,EF.

（I）求證：平面平面PCD：

（2）求二校鉗的體積.

43.（2023?四川成都?川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示多面體八式。叱中，平面平面，平面，是正三角形,

四邊形是菱形，，，

（I）求證：平面：

（2）求三棱錐的體積.

（四）已知體積求其他量

44.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，，該圓臺(tái)的體積為，則該園

臺(tái)的高為.

45.（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的底面半徑為2,其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓

錐的母愛(ài)長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.D.5

46.（2023,湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知A,B,C,。是體積為的球體表面上四點(diǎn)，若，，，且

三棱錐A-BC。的體積為，則線段C￡＞長(zhǎng)度的最大值為（）

A.B.C.D.

47.（2023?天津和平?耀華中學(xué)校考二模）粽子，古稱“角黍”，早在春秋時(shí)期就已出現(xiàn)，到晉代成為了端午

節(jié)的節(jié)慶食物.現(xiàn)將兩個(gè)止四面體進(jìn)行拼接，得到如圖所示的粽子形狀的六面體，其中點(diǎn)G在線段C。（含

端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若此六面體的體積為，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.B.

C.卬+尸G的最小值為D.EG+AU的最小值為

考點(diǎn)七空間幾何體的截面問(wèn)題

48.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知在正方體八BCD-ABC。中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過(guò)這三點(diǎn)

的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

49.C023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體A8CQ-A4G。中，AB=BBt=2BC,點(diǎn)，，分別在核，

和上，且，CQ=3GQ,irr=3AT,則平面過(guò)長(zhǎng)方體所得的截面形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

50.（2023?江西鷹潭立溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)〉已加正方體八BCD-ARCE的校長(zhǎng)為2,點(diǎn)為線段的

中點(diǎn)，若點(diǎn)平面，且平面，則平面截止方體ABC7）-4禺QA所得截面的周長(zhǎng)為（）

A.B.C.D.

51.（2023,全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過(guò)三

點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長(zhǎng)為.

52.（2023?仝國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，正方體的校長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)。在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)。作

垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為A設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C,D.

53.（2023?四川涼山?三模）在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-A5CQ中，若E為棱的中點(diǎn)，則平面截止方體

ABCD-A.B^D,的截面面積為.

54.（2023秋,安徽阜陽(yáng),高三安徽省臨泉笫一中學(xué)?？计谀┮阎襟w人灰?。-入86。的梭長(zhǎng)為2,M、

N分別為、的中點(diǎn)，過(guò)、的平面所得截面為四邊形，則該截面地大面積為（）

A.B.C.D.

55.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱椎中，。為3c中點(diǎn)，PI3=PC=AB=BC=AC=4,惻面底面，

則過(guò)點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為.

考點(diǎn)八與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

（一）幾何體的外接球

56.。023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）在直三棱柱樣C-A8G中，AC=4.A4=3./U,=I2.N8AC=9O°,口三

棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）

A.B.C.D.

57.（2023?四川南充?閩中中學(xué)?？级＃┤鐖D，圓臺(tái)中，，其外接球的球心。在線段上，上下底面的半徑

分別為，，則圓臺(tái)外接球的表面枳為_(kāi)______.

58.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖所示的糧倉(cāng)可近似為一個(gè)圓錐和圓臺(tái)的組合體，且圓錐的底面圓與圓

臺(tái)的較大底面圓重合.已知圓臺(tái)的較小底面圓的半徑為1，㈱錐與閱臺(tái)的高分別為和3.則此組合體的外接球

的表面枳是（）

A.B.D.

59.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為2,球的表面積為，則

此正四凌柱的底面邊長(zhǎng)為（）

A.1B.C.2D.

60.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考二模）在正四棱臺(tái)人BCD-4BG。中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為，該正四棱臺(tái)的外接

球的表面積為，則該正四樓臺(tái)的高為.

61.（2023?青海西寧?統(tǒng)考二模）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底而距離

為，則（）

A.B.C.D.

62.（2023秋遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)二中?？计谀┰谡庵鵄%?-A4G中，所有一凌長(zhǎng)之和為定值，當(dāng)正

三棱柱外接球的表面積取得最小值時(shí)，正三棱柱的側(cè)面積為（）

A.12B.16C.24D.18

63.（2023?四川成都?石室中學(xué)校考模擬偵測(cè)）已知正三棱柱八EC-A與G所有頂點(diǎn)都在球。匕若球。的

體積為，則該正三棱柱體積的最大值為.

（二）幾何體的內(nèi)切球

64.【名詵】（2023?河北滄州?統(tǒng)考梯救預(yù)演I）下列關(guān)干三椅柱A8C-的命顧.正確的臬（）

A.任意直三棱柱ABC-AHG均有外接球

B.任意直三棱柱A8C-AMG均有內(nèi)切球

c.若正三棱柱八8C-A4G有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則該三棱柱的體積為

D.若五三棱柱ABC-A與G的外接球球心在一個(gè)側(cè)面上，則該三棱柱的底面是克角三角形

65.【多選】（2023春?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）正三棱錐的底面邊氏為3,高為，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.

B.三枝錐的表面積為

C.三校錐的外接球的表面積為

D.三棱錐的內(nèi)切球的表面積為

66.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2,高為，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（）

A.B.C.D.

67.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半網(wǎng)，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為

68.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)》如圖，正四楂臺(tái)ABCP-AqCa的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,2近,E.F.G,H

分別為A3,8C,CDZM的中點(diǎn)，8個(gè)頂點(diǎn)E.EG.H.構(gòu)成的十面體恰有內(nèi)切球，則該內(nèi)切球的表面

積為.

考點(diǎn)九立體幾何中的軌跡問(wèn)題

69.（2023?河南?許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）在正三棱柱AAC-A8￡中，，以的中點(diǎn)M為球心,4為半徑

的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）

A.2aB.3nC.4nD.8n

70.【名選】（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體人BCO-4&C。'的棱長(zhǎng)為4,W是側(cè)面ADOH上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）

A.沿E方體的表面從點(diǎn)4到點(diǎn)尸的最短距離為

B.保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為

C.若保持，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為

D.平面被正方體148co-A7TC7）‘截得截面為等腰梯形

71.【多選】（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方體ABC。-A4GR的

棱長(zhǎng)為3,動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），且，則（）

A?點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為

C.4W+8W的最小值為D.AW+8W的最小值為

72.（2023?湖北省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABC。-A4GA的棱長(zhǎng)為2,為棱的中點(diǎn)，

N為底面正方形八8C7）上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面4BCD所成的角為,則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為.

73.【多選】（浙江省北斗星盟2023屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）直三棱桂ABC-A4G中，

A8=8C=34=LA8_L8C,E為梭上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）

A.

B.三棱錐的體積為定值

C.四面體的外接球表面積為

D.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為

考點(diǎn)十立體幾何中的最值問(wèn)題

74.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，正方體ABC。-A4GA的棱長(zhǎng)為2,M是面內(nèi)?動(dòng)點(diǎn)，且，則OM+MC

的最小值為（）

75.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，圓錐。的軸被而是一個(gè)面積為I的等腰直角三角形，C'為弧上的一

點(diǎn)，NCPB=450,七為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+OE的最小值為（）

C

A.B.C.2D.

76.（2023?海南?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）三楂錐中，平面，BDA.CD,若，，則該三棱推體積的最大

值為:

77.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）將一個(gè)底面半徑為I,高為2的圓錐形工件

切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為（）

A.B.C.D.

78.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P-A4CD的底面是矩形，

人人8=2/,月4=尸/）,/人/>/）=120。.若四棱錐/>-A8。。的外接球的體積為，設(shè)是該球上的一動(dòng)點(diǎn)，

則三棱維體積的最大值為（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)33空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、宜.觀圖、表面積和體

積

9種常見(jiàn)考法歸類

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（三）等體積法求體積

考點(diǎn)二空間圖形的展開(kāi)圖問(wèn)題（四）已知體積求其他量

考點(diǎn)三最短路徑問(wèn)題考點(diǎn)七空間幾何體的截面問(wèn)題

考點(diǎn)四立體圖形的直觀圖考點(diǎn)八與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

考點(diǎn)五空間幾何體的表面積<-）幾何體的外接球

考點(diǎn)六空間幾何體的體積<->幾何體的內(nèi)切球

（-）直接利用公式求體積考點(diǎn)九立體幾何中的軌跡問(wèn)題

考點(diǎn)十立體幾何中的最值問(wèn)題

（二）到補(bǔ)法求體積

I.棱柱、楂惟、棱臺(tái)

棱柱楂銀