2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義演練含解析新人教A版選修1-2

PAGE3-第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義[A級基礎(chǔ)鞏固]一、選擇題1．下列不等式正確的是()A．3i＞2i B．|2＋3i|＞|1－4i|C．|2－i|＞2 D．i＞－i解析：兩個虛數(shù)不能比較大小，則A、D錯誤．又|2＋3i|＝eq\r(13)＜|1－4i|＝eq\r(17)，B不正確．易知|2－i|＝eq\r(5)＞2，成立．答案：C2．當(dāng)eq\f(2,3)<m<1時，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(3m－2，m－1)．由eq\f(2,3)<m<1，得3m－2>0，m－1<0.所以點(diǎn)Z位于第四象限．答案：D3．設(shè)z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，則下列結(jié)論中正確的是()A．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B．z肯定不是純虛數(shù)C．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在實軸上方D．z肯定是實數(shù)解析：2m2＋2m－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(3,2)，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1＞0，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)肯定在實軸上方．答案：C4．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i，若點(diǎn)A關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2i解析：因為復(fù)數(shù)－1＋2i對應(yīng)的點(diǎn)為A(－1，2)，點(diǎn)A關(guān)于直線y＝－x的對稱點(diǎn)為B(－2，1)，所以eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i.答案：B5．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up12(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，eq\o(OZ,\s\up12(→))與實軸正向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為()A．1＋eq\r(3)i B．2C．(－1，eq\r(3)) D．－1＋eq\r(3)i解析：因為|eq\o(OZ,\s\up12(→))|＝|z|＝2，且eq\o(OZ,\s\up12(→))與實軸正方向夾角為120°.設(shè)z＝x＋vi(x，v∈R)，則x＝|z|·cos120°＝2cos120°＝－1，y＝|z|sin120°＝eq\r(3).所以復(fù)數(shù)z＝－1＋eq\r(3)i.答案：D二、填空題6．(2024·全國卷Ⅰ改編)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y∈R，則|x＋yi|＝________．解析：由(1＋i)x＝1＋yi，x，y∈R，得x＝1，且y＝1.所以|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝(m－3)＋2eq\r(m)i的點(diǎn)在直線y＝x上，則實數(shù)m的值為________．解析：因為z＝(m－3)＋2eq\r(m)i表示的點(diǎn)在直線y＝x上，所以m－3＝2eq\r(m)，解得m＝9.答案：98．復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若∠BAC是鈍角，則實數(shù)c的取值范圍為________．解析：在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是鈍角得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0且B，A，C不共線，由(－3，－4)·(c－3，2c－10)<0解得c>eq\f(49,11)，其中當(dāng)c＝9時，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6，8)＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，三點(diǎn)共線，故c≠9.答案：c>eq\f(49,11)且c≠9三、解答題9．設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求當(dāng)實數(shù)m為何值時：(1)z為實數(shù)；(2)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的其次象限．解：(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－6＝0，,m2＋2m－14>0，))解得m＝3(m＝－2舍去)．故當(dāng)m＝3時，z是實數(shù)．(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（m2＋2m－14）<0，,m2－m－6>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<m2＋2m－14<1，,m2－m－6>0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－14>0，,m2＋2m－15<0，,m2－m－6>0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<－1－\r(15)或m>－1＋\r(15)，,－5<m<3，,m<－2或m>3.))解得－5<m<－1－eq\r(15).故當(dāng)－5<m<－1－eq\r(15)時，z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的其次象限．10．已知兩向量a，b對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝－3，z2＝－eq\f(1,2)＋mi(m∈R)，且a，b的夾角為60°，求m的值．解：因為a，b對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1＝－3，z2＝－eq\f(1,2)＋mi(m∈R),所以a＝(－3，0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，m)).又a，b的夾角為60°，所以cos60°＝eq\f(（－3，0）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，m)),\r(（－3）2＋02)·\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋m2))，則eq\f(1,2)＝eq\f(\f(3,2),3\r(\f(1,4)＋m2))，解得m＝±eq\f(\r(3),2).因此實數(shù)m的值為±eq\f(\r(3),2).B級實力提升1．已知復(fù)數(shù)z滿意|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為()A．一個圓 B．線段C．兩點(diǎn) D．兩個圓解析：因為|z|2－2|z|－3＝0，所以(|z|－3)(|z|＋1)＝0，則|z|＝3，因此復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一個圓．答案：A2．若復(fù)數(shù)(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則k的取值范圍是________．解析：因為點(diǎn)Z位于第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－6<0，,4－k2<0，))所以2<k<eq\r(6)或－eq\r(6)<k<－2.答案：(－eq\r(6)，－2)∪(2，eq\r(6))3．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋log2(m－2)i為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)z＝m＋ni的對應(yīng)點(diǎn)在直線x＋y－2＝0上，求|z|.解：由純虛