不等式易考點(diǎn)考向知識(shí)點(diǎn)總結(jié)分析,不等式高考真題及答案解析

考點(diǎn)24不等關(guān)系與一元二次不等式

1.不等關(guān)系

了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景.

2.一元二次不等式

（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.

（2）通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.

（3）會(huì)解■元二次不等式，對(duì)給定的■元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.

知識(shí)整合,

________/

一、不等關(guān)系

1.不等式的概念

（1）現(xiàn)實(shí)世界與日常生活中，與等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本

數(shù)量關(guān)系.

（2）用數(shù)學(xué)符號(hào)“>”“<”“2”“〈”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含

有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.

2.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較

（1）作差法：設(shè)a,beR,則,a<boa-b<0.

（2）作商法：設(shè)。>0,b>Q,貝a<b<^—<1.

bb

3.不等式的性質(zhì)

（1）實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

?a>b^>a-b>0-,

②a=boa-b=。；

?a<b<^a-b<0.

（2）不等式的性質(zhì)

①對(duì)稱性：a>bob<a；（雙向性）

②傳遞性：a>b,6>cna>c；（單向性）

③可加性：a>b<^>a+c>b~\-c；（雙向性）

@a>b,c>d^>a-￥c>b+d\（單向性）

⑤可乘性：〃>Z?,c>O=〃c>Z?c；（單向性）a>b,c<O^ac<bc；（單向性）

@a>b>0,c>d>Onac>bd；（單向性）

⑦乘方法貝|J：Q>Z?>O=>Q〃N,〃21）;（單向性）

⑧開(kāi)方法則：a>b>0=>y/a>y/b（nGN,論2）.（單向性）

注意：（1）應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無(wú)

法傳遞.

（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)"的符號(hào).

4.必記結(jié)論

（1）a>b,ab>Q=^—<—.

ab

?、11

ab

（2b

（3）a>b>Qfl<c<d=>—>一.

cd

/、-111

（4）0<QVX<Z?a<x<Z?<On—<一<—.

bxa

hb+mhh—m

（5）若a>b>0,m>0,貝12V3—心0）；

aa+maa—m

aa+maa—m

—>-----；—<-----（/?-m>0）.

bb+mbb—m

二、一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式的概念

我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式,

有下列三種形式：

（1）一般式：y-ax2+bx+c{a0）；

b—

（2）頂點(diǎn)式：y—u^xH---了H-------------（〃w0）；

2a4a

（3）兩根式：y=〃（九一王）（九一々Xiw°）?

2.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

判別式4=廿—4acA>0A=0A<0

ll

44

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象4L

一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

b沒(méi)有實(shí)數(shù)根

2的根

ax+bx+c=0(〃>0)xx,x2(%!<x2)w-五

一元二次不等式

{x|尤W一，}

（一雙七）!^々#00）R

6zx2-\-bx+c>0（o>0）的解集2a

一元二次不等式

（和彳2）00

ax2+bx+c<0（。>0）的解集

3.一元二次不等式的解法

由一元二次不等式與相應(yīng)的方程、函數(shù)之間的關(guān)系可知，求一元二次不等式的解集的步驟

如下：

（1）變形：將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式，即

ax2+bx+c>0（?〉0）或ax2+bx+c<0（a>0）；

（2）計(jì)算：求出相應(yīng)的一元二次方程（以2+法+。=0（?！?））的根，有三種情況：

/=0,/<0,/>0；

（3）畫(huà)圖：畫(huà)出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象的草圖；

（4）求解：利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

可用程序框圖表示一元二次不等式的求解過(guò)程，如圖.

4.一元二次不等式恒成立問(wèn)題

(1)+法+。>0(〃W0)恒成立的充要條件是：〃>0且62-4〃。<0(九￡11).

(2)a/+法+。20(。wo)恒成立的充要條件是：a>0且b2-4ac<0(九￡R).

(3)a/+法+。<0(〃wo)恒成立的充要條件是：〃<0且/?2-4〃c<0(x￡R).

(4)〃/+法+0工。^。0)恒成立的充要條件是：〃<。且"-4〃c<0(%￡R).

(5)ax1+Z?x+c>0恒成立的充要條件是：a=b=O且c>0或a>0且

b2-4ac<0(xeR).

(6)ox?+以+。V。恒成立的充要條件是：a=h=o且c<0或〃<0且

b1-4ac<0(%GR).

工^點(diǎn)考向,

考向一比較大小

比較大小的常用方法：

(1)作差法的一般步驟是：作差，變形，定號(hào)，得出結(jié)論.

注意：只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是什么無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的

形式或者多個(gè)因式的積的形式.

(2)作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論.

注意：作商時(shí)各式的符號(hào)為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.

(3)介值比較法：

①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>6,6>c,貝1Ja>c,其中6是a與c的中介值.

②介值比較法的關(guān)鍵是通過(guò)不等式的恰當(dāng)放縮，找出■個(gè)比較合適的中介值.

(4)利用單調(diào)性比較大小.

(5)函數(shù)法，即把要比較的數(shù)值通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單

調(diào)性將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為自變量的大小問(wèn)題來(lái)解決.

典例引領(lǐng)

典例1若a=2/+1,b=x2+2x,c=—x—3,試比較a,b,c的大小.

【解析】Va=2x2+1,b=%2+2%,c=—%—3,

'.a—b=(2/+1)—(%2+2x)=x2—2%+1=(%—l)2>0,即a>b,

b-c=(/+2%)—(—x—3)=x2+3x+3=(x+|)2+^>0,即b>c,

綜上可得：a>b>c.

典例2已知?jiǎng)td,log/,log/的大小關(guān)系是

a

bb

A.logxb<a<logbaB.<\ogha<a

aa

C.log/vlog/D.〃"<logB<log/

aa

【答案】A

【解析】因?yàn)樗?<a&<a°=1,logba>logftZ?=1,

又工>1,所以log@<log]1=0.

a77

綜上，得log@<a"<log/.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】在用介值法比較時(shí)，中介值一般是通過(guò)放縮變形，得到一個(gè)中間的參照式(或

數(shù))，其放縮的手段可能是基本不等式、三角函數(shù)的有界性等.

變式拓展

1.已知a,O,ceR,給出下列條件：①②工<,；③絲2>秘2,則使得成

ab

立的充分而不必要條件的是

A.①B.②

C.③D.①②③

考向二求范圍的問(wèn)題

求范圍的問(wèn)題需用到不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)中的條件與結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)

鍵.

在使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要注意不等式成立的前提條件，特別是不等式兩端同時(shí)乘以或

同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)求〃次方時(shí)，一定要注意其成立的

前提條件，如果忽視前提條件就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.

求范圍的一般思路是：

(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；

(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解；

(4)要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運(yùn)用.

典例引領(lǐng)

九2r4

典例3設(shè)實(shí)數(shù)羽y滿足1〈孫2<2,2<—<3,則4的取值范圍是

yy

【答案】[2,27]

2、3

X

/2、3

X，\VX

【解析】因?yàn)橐籞-=-----7，8<<27,1〈（孫2）"<4,

y(盯B

所以9。%=[2,27].

y'41

典例4若二次函數(shù)y=/(尤)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且1</(—1)<2,3</(1)<4,求八一2)的取

值范圍.

【解析】方法一：：二次函數(shù)y=Kx)的圖象過(guò)原點(diǎn)，.?.可設(shè)/(》)=奴2+法(。/0).

f〃l)=a+6

易知1「<，?〃

、乙

則/(-2)=4。_26=3/(-1)+/(1).

Vl</(-l)<2,3<f(l)<4,/.6</(-2)<10.

方法二：由題意設(shè)/(x)=ar?+Zzx(aW0),則犬1)=。+6,八一l)=a-b.

令加(〃+。)+〃(。一/?)=八-2)=4〃-2。，

?m+n=4?fm=l

m—n——2\n=3

???夫—2)=(〃+b)+30—6)=犬1)+3人一1).

VI</(-1)<2,3</(l)<4,.-.6</(-2)<10.

【名師點(diǎn)睛】同向不等式只能相加，不能相減.

變式拓展

2.己知—l<x+y<l,\<x-y<3,則8匕[3]的取值范圍是

A.["]B.1,28

C.[22]D.1,27

考向三一元二次不等式的解法

1.解不含參數(shù)的一元二次不等式的方法：

(1)若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個(gè)代數(shù)式的乘積形式，則可

以直接由一元二次方程的根及不等號(hào)方向得到不等式的解集.

(2)若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值，完全平方式始終大于

或等于零，不等式的解集易得.

(3)若上述兩種方法均不能解決，則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.

2.在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重

不漏”，一般從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：

(1)關(guān)于不等式類型的討論：若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，以

確定不等式是一次不等式還是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定

解集的形式；

(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程的根的討論：兩根(/>0),一根(/=0),無(wú)根(/<0)；

(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：%>々,石=々,石<%.

典例引領(lǐng)

典例5解下列不等式：

⑴-X2-2X+3>0-

(2)4X2+4X+1<0.

【解析】(1)不等式兩邊同乘以一I,原不等式可化為式+2x—3<0,

即(左一1)(尤+3)<0,則一

故不等式一%2—2尤+3N0的解集是{x|—34尤<1}.

(2)4X2+4X+1<0,即(2X+1)2<0,則x=—g.

故不等式4X2+4X+1<0的解集為{x|x=--}.

典例6已知函數(shù)/(%)=ax2—(2a+1)%+2.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，解關(guān)于%的不等式/(%)40；

(2)若a>0,解關(guān)于%的不等式/(%)<0.

【解析】(1)當(dāng)。=2時(shí)，/(%)40n2x2-5%+2<0,

可得(2萬(wàn)一1)。一2)<0,

<2,

f(x)<0的解集為假,21.

(2)不等式/(%)<0可化為a/—(2a+1)%+2<0,a>0,

即a(%-：)(%-2)<0,a>0,

①當(dāng)0<aV工時(shí)，->2,

2a

解得

a

②當(dāng)Q=工時(shí)，工=2,

2a

解得％=2.

③當(dāng)a>工時(shí)，-<2,

2a

解得!<x<2.

a

綜上，當(dāng)0<a<?時(shí)，不等式的解集為｛X[2<X<L；

2a

當(dāng)。=手寸，不等式的解集為｛%|%=2｝；

11

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為｛x|—K九42｝.

2a

變式拓展

3.已知關(guān)于x的不等式一l2+a%+b>o.

(1)若該不等式的解集為(T,2),求。，6的值；

(2)若b=a+l,求此不等式的解集.

考向四一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間關(guān)系的應(yīng)用

一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要

注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.

(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，

要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系.

(2)若一元二次不等式的解集為R或。，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，此時(shí)可以根據(jù)二次

函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)情況確定對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范

H.

典例引領(lǐng)

典例7已知函數(shù)/(%)=-3x2+a(6—a)%+c.

(1)當(dāng)。=19時(shí),解關(guān)于a的不等式/(I)>0；

(2)若關(guān)于x的不等式/(%)>0的解集是(T,4),求實(shí)數(shù)的值.

【解析】(1)當(dāng)c=19時(shí),/(%)=—3M+。(6—a)%+19,

所以/(I)=-3+(1(6—ci)+19=-a?+6a+16,

f(1)>0,即a?—6a—16<0,

解得一2Va<8.

(2)依題意:T,4是方程-3/+a(6-a)x+c=0的解,

a[6-a^§

3-

由根與系數(shù)的關(guān)系可得《，解得仁

|=-4

典例8已知關(guān)于X的不等式2%+3左<0.

(1)若不等式的解集為{x|x<-3或x>-1},求k的值；

(2)若不等式的解集為0,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解析】(1)由不等式kx~—2.x+3k<0的解集為{尤［x<—3或無(wú)>—1},可知k<0,—3和

-1是一元二次方程Ax?—2%+3左=0的兩根,

’(-3)X(-1)=3

所以《,、，、2,解得k=——.

(-3)+(-1)=工2

IK

(2)由題意知不等式A%2_2x+3左<0的解集為0,

若k=0,則不等式為—2x<0,此時(shí)久>0,不合題意;

左>0^3

若k大0,則<，解得左2義

4=4—4左x3左<03

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為［上,+8）.

3

變式拓展

4.已知二次函數(shù)/（%）=丘2一（］一左）％+h

（1）若關(guān)于x的不等式/（力＜0的解集為R,求實(shí)數(shù)人的取值范圍;

（2）若關(guān)于x的方程/（"=%有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

考向五一元二次不等式的應(yīng)用

對(duì)于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的

思想求解.

1.分式不等式的解法

若/（X）與g（x）是關(guān)于X的多項(xiàng)式，則不等式上區(qū)〉0（或＜0,或2。，或W0）稱為分式不等

g（x）

式.解分式不等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式（組）求解.即

〃(x)>°或]

"1g(九)>0[g(x)<0

或/(%)<0

/⑴〉。/、n/(x>g(x)<0；

一g(x)<0[g(x)>0

/(x)-g(x)>03

,、；n/(x)-g(x)>0或/>(%)=();

符。T[g(x)w0

/(%)-?(x)<0,,

，、：n/(x).g(x)<0W(x)=0.

[g(x)w0

對(duì)于形如也〉。（或＜。）的分式不等式,其中0,求解的方法是先把不等式的右邊化為0,

g（x）

再通過(guò)商的符號(hào)法則，把它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

2.高次不等式的解法

不等式的最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式.解高次不等式常用的方法有兩種:

（1）將高次不等式/（x）>0（<0）中的多項(xiàng)式/（x）分解成若干個(gè)不可約因式的乘積，根據(jù)

實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則，把它等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)不等式（組）.于是原不等式的解集就是各

不等式（組）解集的并集.

（2）穿針引線法：

①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，一端為0,另一端為一次因式（因式中x的系數(shù)為正）或二次不可

約因式的乘積；

②求出各因式的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出；

③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過(guò)數(shù)軸，遇奇次重根穿過(guò)，遇偶次重根穿

而不過(guò)（奇過(guò)偶不過(guò)）；

④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫(xiě)出解集.

典例引領(lǐng)

典例9不等式—2x（x—3）（3x+l）>0的解集為.

【答案】]-8,[U（0,3）

【解析】不等式—2x（x—3）（3x+l）>0可轉(zhuǎn)化為x（久一3）（3久+1）<0,

且方程3）（3x+l）=0的根為石=0,x2=3,X3=—g,

則由穿針引線法可得原不等式的解集為1-8,1U（O,3）.

典例10解關(guān)于x的不等式:士4<0（?eR）.

x-a

【解析】原不等式等價(jià)于：（%—〃）。一。2）<0,其對(duì)應(yīng)方程的兩根為X1=〃，X2=a2.

2

x2-x1=a-a=a（a-1）,分情況討論如下：

①若戰(zhàn)0或a>l,即。2>a,則所求不等式的解集為｛x[a<%<〃｝.

②若a=0或a=l,原不等式可化為x2<0或0—1）2<0.

此時(shí)，所求不等式的解集為％￡0.

③若0<"1,即a2s則所求不等式的解集為｛xI/<x<a｝.

綜上所述：當(dāng)。<0或a>l時(shí)，原不等式的解集為｛x|a<%</｝；

當(dāng)。=0或〃=1時(shí)，原不等式的解集為0；

當(dāng)0<a<l時(shí)，原不等式的解集為{x|〃<x<a}.

變式拓展

Ozyy_

5.已知函數(shù)/(%)=-------(a,bGR).

x—1

&,+<?],求/(x)<0的解集;

(1)若關(guān)于％的不等式2依—〃>0的解集為

(2)若a=g,解不等式/(x)>0的解集.

考向六含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略

解決含參不等式恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，從解題策略的角度看，一般而

言，針對(duì)不等式的表現(xiàn)形式，有如下四種策略：

(1)變換主元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問(wèn)題.解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù).參

數(shù)和未知數(shù)是相互牽制、相互依賴的關(guān)系，有時(shí)候變換主元，可以起到事半功倍的效果.

(2)聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程，轉(zhuǎn)化為方程根的分布問(wèn)題.

(3)對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間

上全部在x軸上方，恒小于。就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在無(wú)軸下方.常

轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.即

①若/(%)在定義域內(nèi)存在最大值m,則/(x)<a(或于(x)<a)恒成立=a〉機(jī)(或

a>m)\

②若/(x)在定義域內(nèi)存在最小值加，則/(%)>“(或/(%)之“)恒成立=。<加(或

a<m);

③若/(幻在其定義域內(nèi)不存在最值，只需找到了(幻在定義域內(nèi)的最大上界(或最小下界)加,

即f(x)在定義域內(nèi)增大(或減小)時(shí)無(wú)限接近但永遠(yuǎn)取不到的那個(gè)值，來(lái)代替上述兩種情況

下的加，只是等號(hào)均可以取到.

(4)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求參數(shù).在不等式恒成立問(wèn)題的處理中，

若能畫(huà)出不等式兩邊相應(yīng)的函數(shù)圖象，恒成立的代數(shù)問(wèn)題立即變得直觀化，等價(jià)的數(shù)量關(guān)系

式隨之獲得，數(shù)形結(jié)合可使求解過(guò)程簡(jiǎn)單、快捷.

典例引領(lǐng)

典例11已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且不等式f(x)<2x的解集為(1,3),對(duì)任意的

xER都有/(久)>2恒成立.

⑴求y(x)的解析式;

(2)若不等式k/(2X)-2X+1<0在xG[1,2]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解析】(1)=a/+力％+。<2%的解集為(1,3),

方程ax?-(2-b)x+c=0的兩個(gè)根是1和3.

2-bA

----------二4

。

則、a,解得『5=2-4

c=3a

.a

又：/(%)>2在久eR上恒成立，/.ax2+(2-4a)x+3a-2>0在久GR上恒成立,

則/=(2—4a/-4a(3a-2)<0,即(a-l)2<0,

又???(a-1)220,.?.(a—1)2=0,

得a=1,

故/'(x)—x2—2x+3.

(2)由題意知k/(2x)-2x+l<0,即k(22x-2-2x+3)<2X-1,

2X-1

,：22x-2?2,+3=0—1)2+2>0,：.k<

22—22+3

設(shè)t=2，一則左,

r+2

又：M<—尸，當(dāng)且僅當(dāng)t=-BPt=/時(shí)取得最大值乎,

2

t+2t+22V2t4

t

r「■一

:.k。,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為—oo,2.

44

典例12已知函數(shù)/(%)=初/-mx-1.

(1)若對(duì)于x￡R,/(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若對(duì)于工￡[1,3],#元)<5-加恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】⑴因?yàn)?(力=如；2_“_1<0對(duì)xSR恒成立，則

①加=0時(shí),/(x)=T<0恒成立；

m<0

②19，解得-4<加<0.

m+4m<0

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(T,0].

(2)/(x)<5-〃z,即m(^x2-x+1)<6.

因?yàn)楸匾?+1>0,所以m<——^——對(duì)于尤G[l,引恒成立.

X—X+1

記g(_r)=—^~-=------5-----,xe[1,3],易知g(x)m=8⑶=。,所以機(jī)<會(huì)

—x+1(x—%+377

24

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-8,自).

7

變式拓展

6.若函數(shù)/(x)=Jfcc2—6—+(左+8)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

、亨點(diǎn)沖為充

1.已知集合人={刈(尸l)(x—4)W0},B=[x\—<0},則AA3=

x—2

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|2<x<4}D,{x|2<x<4}

2.下列命題正確的是

A.若a>b，則一<丁B.若a>b，則a2>b2

ab

C.若a>b,c<d,則a-c>Z?-dD.若a>b,c>d,則

3.x>2是12—2%>0的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)7〃=1080.30.6,九=310820.6,貝！|

A.m-n>m+n>nmB.m—n>mn>m+n

C.m+n>m—n>mnD.nm>m—n>m+n

5.已知實(shí)數(shù)x,y滿足—4<x—y<—1,-l<4x-y<5,則9x—y的取值范圍是

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

x

6.三個(gè)正整數(shù)%,九z滿足條件:y>z,z>—,若z=5,則丁的最大值是

3

A.12B.13

C.14D.15

7.若不等式依2+21+0<0的解集是oo,—,則不等式CX2+2X+Q<0的

解集是

111「1廠

L23jL32J

C.[-2,3]D.[-3,2]

8.關(guān)于元的不等式(/—1)尤2—3—1)%—1<0的解集為R,則。的取值范圍為

33

A.——<a<lB.——<a<l

55

3、3

C.-二<〃<1或〃=―1D.—-<62^1

9.設(shè)。力是關(guān)于x的一元二次方程2如+加+6=。的兩個(gè)實(shí)根，貝g(a—iy+3—Ip

的最小值是

49

A.-----B.18

4

C.8D.-6

10.設(shè)正數(shù)a,b滿足b—a<2,若關(guān)于X的不等式(/―4卜2+4歷;—〃<o的解集中的

整數(shù)解恰有4個(gè)，則。的取值范圍是

A.(2,3)B.(3,4)

C.(2,4)D.(4,5)

11.不等式—2f—x+620的解集是.

12.設(shè)P=e=V7-A7?=V6-V2,則的大小順序是.

13.不等式f—履+1>。對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

14.若集合4=｛刈犬—(a+2)x+2—a<0,xeZ｝中有且只有一個(gè)元素，則正實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(x)=必一[a+L]x+l(xeR).

(1)當(dāng)時(shí)，求不等式/(x)<0的解集；

2

(2)若關(guān)于x的不等式/。)<。有且僅有一個(gè)整數(shù)解，求口義黎4的取值范圍.

1,

16.己知函數(shù)/(%)=—x'+(m-2)x(zneR).

U)若關(guān)于x的不等式/(x)<4的解集為(—2,4),求機(jī)的值;

(2)若對(duì)任意工日0,4]"(期+2..0恒成立,求加的取值范圍.

3■通高考

1.（2019年高考全國(guó)III卷文數(shù)）已知集合4={—1,0,1,2},3={》|爐<1},則=

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.（2019年高考全國(guó)I卷文數(shù)）已知a=log2（）.2/=2°-2,C=0.2°3,則

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

3.（2019年高考天津卷文數(shù)）設(shè)xeR,則“0<x<5”是“I%Tl<1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2019年高考浙江卷）若。>0,。>0,則“a+794”是“"W4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2018年高考天津卷文數(shù)）設(shè)尤eR,則“％3>8”是小1>2”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2017年高考天津卷文數(shù)）設(shè)xeR,則“2-尤NO”是“|太一1國(guó)1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2017年高考山東卷文數(shù)）已知命題p：*eR,f―X+G0；命題4：若/</廁

下列命題為真命題的是

A.pzqB.p八r

c.r>/\qD.-p八f

8.（2017年高考上海卷）不等式三土>1的解集為.

9.（2018年高考北京文數(shù)）能說(shuō)明“若a>b,則工<L'為假命題的一組a,b的值依次為

ab

10.（2019年高考江蘇）函數(shù)）,=、/7+6丫一丫2的定義域是▲.

嶷參考答案,

變式拓展

4^------------

1.【答案】c

【解析】對(duì)于①，由/〉/,得|。|>|勿，不一定有。>6成立，不符合題意；

對(duì)于②，當(dāng)a=-1力=1時(shí)，有1<工，但。>6不成立，所以不符合題意；

ab

對(duì)于③，由a。？>bc2，知<#0,所以有“>6成立，當(dāng)。>6成立時(shí)，不一定有ac?>bc2，

因?yàn)閏可以為0,符合題意.

本題選擇C選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，充分條件和必要條件的判定等知識(shí)，

意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

2.【答案】C

［解析］令3x_y=s（x+y）=（s+f）x+（s_f）y,

1<x-y<3,2<2（x-y）<6,①

又-l<x+y<l,②

...①+②得l<3x—y<7.

則8'v-.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.求解時(shí)，利用待定系數(shù)法求得

3x—y=(x+y)+2(x—y),由一l<x+y<l,l<x—y<3,結(jié)合=23^y,

從而可得結(jié)果.

2—4=a

3.【解析】(1)根據(jù)題意得I./八,

2x(-4)=-/?7

解得a——2,b=8.

(2)當(dāng)二Q+1時(shí)，-+ax+Z?>0—ux—(Q+1)VO,即

［九一+(九+1)vO.

當(dāng)4+1二—1,即Q=—2時(shí)，原不等式的解集為0；

當(dāng)a+l<—1,即a<—2時(shí)，原不等式的解集為(a+LT)；

當(dāng)a+l>—1,即a>—2時(shí)，原不等式的解集為(―La+1).

【名師點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式解集與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系以及解一元二

次不等式，考查基本應(yīng)用求解能力.屬基本題.

(1)根據(jù)不等式解集與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系列方程，解得。，6的值；

(2)先代入化簡(jiǎn)不等式，再根據(jù)對(duì)應(yīng)一元二次方程根的大小分類討論不等式解集.

4.【解析】(1)/(%)<0,即麻？一。一左)1+左<0,

優(yōu)<0k<0

由二次函數(shù)知識(shí)得<。

1A(l-k)2-4k2<0

解得上<—1.

(2)/(x)=x,即辰2—(1一左)x+左=x,即正2一(2—左)x+Z=0,

A>0A>0

%〉

由二次方程有兩個(gè)不等正實(shí)根知，<00<%1+x2>0,

x2>0x{x2>0

（左一2）2—4左2>0

匕。

由根與系數(shù)間關(guān)系得，《,解得Q<k<一.

k3

1>0

5.【解析】(1)..?不等式2依—b>0的解集為;,+s,

a>Q,a=b>0,

<0=〃（2%<oo。（2%—1）（%—1）vo,

x-l

?../(X)<0的解集為[；,1).

1x—h

(2)a=—時(shí)，不等式/(x)>0o/(x)=^^>0o(x—b)(x—l)>0,

2x—1

1。當(dāng)A>1時(shí)，不等式的解集為(TQ,1)U優(yōu),+8)；

2。當(dāng)5=1時(shí)，不等式的解集為｛x|x71｝；

3。當(dāng)"1時(shí)，不等式的解集為(T3)U。,”).

【名師點(diǎn)睛】本題考查不等式的求解應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(1)/(x)<00"2x]I<0=a(2u_l)(x_l)<0,然后求解即可.

1Y—A

(2)a=—時(shí)，不等式/(x)>0o/(x)=^^>0o(x—Z7)(x—l)>0,然后分類

2x—1

討論即可.

6.【解析】V/(%)的定義域?yàn)镽,

二.不等式kx2-6kx+k+8>0的解集為R.

①%=0時(shí)，8>0恒成立，滿足題意；

1>0

②存。時(shí)，則1365—4成+8)K。'解得°<總

綜上得，實(shí)數(shù)人的取值范圍為[0,1].

考點(diǎn)沖關(guān)

--------

1.【答案】D

【解析】依題意A=[L4],5=(2,5],故4口6=(2,4].故選D.

2.【答案】C

【解析】A.若a>b,則,<,，取a=l力=-1不成立；

ab

B.若a>b,則標(biāo)>〃，取。=02=—1不成立；

C.若a>b,c<d,則a-c>Z?-d,正確；

D.若。>6,c>d,則ac>bd,取a=l,b=-l,c=l,d=-2不成立.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，找出反例是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】由％2一2%>0解得：尤<0或x>2,?.,{x|x>2}*{x|x<0時(shí)>2},

因此，》>2是必—2%>。的充分不必要條件，故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，先解不等式好-2%>0得出解集，根據(jù)集

合之間的包含關(guān)系得出兩條件的充分必要性.一般利用集合的包含關(guān)系來(lái)判斷兩條件的

充分必要性：

(1)B,則“xeA”是“xwB”的充分不必要條件;

(2)AYB,則“xeA”是“xeB”的必要不充分條件；

(3)A=B,貝『'xeA”是“xeB”的充要條件.

4.【答案】A

【解析】m=log030.6>log03l=0,?=^log20.6<^log2l=0,mn<0,

|j+7?

—+-=log0.3+log4=logl,2<log0.6=l,即-----<1,^m+n>mn.

mn06060606mn

又(根一〃)—(zn+〃)=—2〃>0,所以相一〃>加+〃.

故m—n>m+n>Hm,所以選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算，考查分

析計(jì)算，化簡(jiǎn)求值的能力，屬中檔題.求解時(shí)，先判斷機(jī)，〃的正負(fù)，即可得7篦〃<0;計(jì)

算L+L=log06L2<l,化簡(jiǎn)可得利+〃>77"2,再通過(guò)作差法比較〃-力，"2+72的大

mn

小，即可得結(jié)果.

5.【答案】B

n-m

x=-----,

3g5

［解析］令相=%一',幾=4九，則2=9%_y=_〃——m,

n-4m33

7=3

“，5520-,8840

,/-4<—<——m<——,又：-1<〃V5,:.——<—n<——,

333333

85

因此-1V2=9x—y=§根K20,故本題選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式的性質(zhì)，求不等式的取值范圍問(wèn)題，利用不等式同

向可加性是解題的關(guān)鍵.令加=x—y,〃=4x-y,得到關(guān)于x,y的二元一次方程組，解

這個(gè)方程組，求出9x-y關(guān)于加，"的式子，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合加，”的取值范圍，

最后求出9x-y的取值范圍.

6.【答案】B

Y

【解析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合題意有：x>y,y>5,5>§,即

x>y,y>5,x<15...y<x<15,

由于蒼y,z都是正整數(shù)，故》的最大值是13.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，不等式的傳遞性等知識(shí)，意在考查

學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)和不等式的傳遞性即可確定y

的最大值.

7.【答案】D

【解析】因?yàn)椴坏仁揭?+2%+C<0的解集是1一co,一；)u|g,+8),

a<0

211,a二—12

所以《—-,解得<

a32c-2

c11

—=——x—

、a32

所以不等式cx2+2x+a<0可化為27+2%—1240,即三+彳-640,解得—3WxW2.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，熟記三個(gè)二次之間的關(guān)系即可，屬

于基礎(chǔ)題型.先由題意求出dc,再代入不等式32+2%+。<0求解，即可得出結(jié)果.

8.【答案】D

【解析】當(dāng)6—1=0時(shí)，a=±l,若a=l,則原不等式可化為—1<0,顯然恒成立;

若a=—1,則原不等式可化為2x—1<0不恒成立，所以a=—1舍去；

當(dāng)6—1/0時(shí)，因?yàn)?〃—1卜2—(a-l)x—1<0的解集為R,

a'—1<03

所以只需4,、2/\>解得—二<。<1；

A=(a-1)+4(a2-l)<05

3

綜上，。的取值范圍為：—

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，需要用分類討論的思想來(lái)處

理,屬于?？碱}型.分情況討論,當(dāng)/_i=o時(shí)，求出滿足條件的。的值;當(dāng)〃一1/o時(shí)，

求出滿足條件的。的取值范圍，即可得出結(jié)果.

9.【答案】C

【解析】因?yàn)椤?6是關(guān)于工的一元二次方程了2—23+m+6=0的兩個(gè)實(shí)根，

a+b=2m

所以由根與系數(shù)的關(guān)系得｛,,JELA=4(m2—m—6)>0,

ab=m+o

所以y=(a—I)?+0—I)2=(