廣東省深圳市南山區(qū)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期九年級10月份學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)學(xué)科一、選擇題(每題3分，共30分)1.已知，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可；【詳解】A．由交叉相乘得：，與題干不符，故A錯誤．B．由交叉相乘得：，與題干一致，故B正確．C．由交叉相乘得：，與題干一致，故C正確．D．由交叉相乘得：，與題干一致，故D正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的內(nèi)項(xiàng)之積與外項(xiàng)之積相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）．2.用配方法將x2﹣8x＋5＝0化成（x＋a）2＝b的形式，則變形正確的是（）A.（x﹣4）2＝11 B.（x﹣4）2＝21 C.（x﹣8）2＝11 D.（x＋4）2＝11【答案】A【解析】【分析】根據(jù)配方法將方程配方即可，二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可【詳解】x2﹣8x＋5＝0即故選A【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．3.九（1）班從小華、小琪、小明、小偉四人中隨機(jī)抽出2人參加學(xué)校舉行的乒乓球雙打比賽，每人被抽到的可能性相等，則恰好抽到小華和小明的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出樹狀圖求解即可．【詳解】解：把小華、小琪、小明、小偉分別記為、、、，畫樹狀圖如圖：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，恰好抽到小華和小明的結(jié)果有2個(gè)，恰好抽到小華和小明的概率為，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4.下列命題中，是假命題的是（）A.平行四邊形的兩組對邊分別相等 B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C.矩形的對角線相等 D.對角線相等的四邊形是矩形【答案】D【解析】【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)與判定方法分析得出即可.【詳解】解：A、平行四邊形的兩組對邊分別相等，正確，不合題意；B、兩組對邊分別相等的四邊形是偶像四邊形，正確，不合題意；C、矩形的對角線相等，正確，不合題意；D、對角線相等的四邊形是矩形，錯誤，等腰梯形的對角線相等，故此選項(xiàng)正確.故選D.“點(diǎn)睛”此題主要考查了命題與定理，正確把握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.已知關(guān)于x的方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＜1 B.m＞1 C.m＜1，且m≠0 D.m＞1，且m≠0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0和根的判別公式進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程mx2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：m＜1且m≠0，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，解題的關(guān)鍵是要熟記一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0和根的判別公式．6.如圖，在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E，若BF=6，AB=5，則AE的長為()A.4 B.8 C.6 D.10【答案】B【解析】【詳解】解：設(shè)AG與BF交點(diǎn)為O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴∠BAO=∠FAO，∴△ABO≌△AFO（SAS），∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90o，∵AB=5，∴，∵AF∥BE，∴∠FAO=∠BOE，又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB，∴△AOF≌△EOB（AAS），∴AO=EO，∴AE=2AO=8，故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的作圖原理和平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為（）A.28° B.52° C.62° D.72°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意掌握菱形對邊平行以及對角線相互垂直的性質(zhì)．8.九年級（5）班文學(xué)小組在舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個(gè)同學(xué)都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，全組共互贈了132本圖書，如果設(shè)全組共有名同學(xué)，依題意，可列出的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如果設(shè)全組共有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要贈送（x﹣1）本，有x名學(xué)生，那么總互共送x（x﹣1）本，根據(jù)全組共互贈了132本圖書即可得出方程．【詳解】解：設(shè)全組共有名同學(xué)，那么每名同學(xué)送出圖書是本；則總共送出的圖書為；又知實(shí)際互贈了132本圖書，則．故選：B．【點(diǎn)睛】考查的是列一元二次方程，本題要讀清題意，弄清每名同學(xué)送出的圖書是（x﹣1）本是解決本題的關(guān)鍵．9.定義：是一元二次方程的倒方程，下列四個(gè)結(jié)論中，錯誤的是（）A.如果是的倒方程的解，則B.如果，那么這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解D.如果一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則它的倒方程也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解，根的判別式分別判斷即可．【詳解】解：A、倒方程是c＋2x＋1＝0，將x＝2代入，，故A正確；B、∵ac＜0，∴?4ac＞0，∴這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故B正確；C、∵無解，∴4?ac＜0，它的倒方程的根的判別式也為4?ac＜0，∴它的倒方程也無解，故C正確；D、若c＝0，則它的倒方程為一元一次方程，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故D錯誤故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，根據(jù)判別式判斷一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動(不與點(diǎn)，重合)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動(不與點(diǎn)，重合)，點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動速度相同．與相交于點(diǎn)，為中點(diǎn)、則有下列結(jié)論：①是定值；②平分；③當(dāng)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，四邊形的面積是其中正確的是（）A.①②④ B.①②③C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形內(nèi)角為90°，得出AF⊥BE，即可判斷①；②假設(shè)BF平分∠AFC，則角平分線的性質(zhì)得到BG=BC，則BG=AB，又由∠BGA=90°，得到AB＞BG，由此即可判斷②；③先利用勾股定理求出BF的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解；④根據(jù)△BAE≌△ADF，即可得到S四邊形GEDF，然后根據(jù)時(shí)，得到，再由即可得到，則．【詳解】證明：∵E在AD邊上(不與A，D重合)，點(diǎn)F在DC邊上(不與D，C重合)，又∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別同時(shí)從A，D出發(fā)以相同的速度運(yùn)動，∴AE=DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2，∵，∴即，∴即∠BGF是定值，故①正確；假設(shè)BF平分∠AFC，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥FC，BC=AB∵BG⊥AF，∴BG=BC，∴BG=AB，又∵∠BGA=90°，∴AB＞BG，∴假設(shè)不成立，∴②不正確；③當(dāng)E運(yùn)動到AD中點(diǎn)時(shí)，則F運(yùn)動到CD中點(diǎn)，∴，∴，∵∠BGF=90°，H為BF的中點(diǎn)∴，故③正確；④∵△BAE≌△ADF，∴∴S四邊形GEDF∴當(dāng)時(shí)，，∵，，∵，∴S四邊形GEDF=故④正確；故選C．【點(diǎn)睛】考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，角平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每題3分，共15分)11.已知，那么______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)合比性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，主要考查等比性質(zhì)，若，則．12.某地區(qū)為估計(jì)該地區(qū)的綿羊只數(shù)，先捕捉20只綿羊給它們分別做上記號，然后放還，待有標(biāo)記的綿羊完全混合于羊群后第二次捕捉40只綿羊，發(fā)現(xiàn)其中有2只有記號，從而估計(jì)這個(gè)地區(qū)有綿羊______只．【答案】400．【解析】【分析】設(shè)這個(gè)地區(qū)有綿羊x只，根據(jù)第二次捕捉40只綿羊，其中有2只有記號，即可列方程求解.【詳解】設(shè)這個(gè)地區(qū)有綿羊x只，由題意得解得則估計(jì)這個(gè)地區(qū)有綿羊400只．考點(diǎn)：本題考查的是用樣本估計(jì)總體點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到第二次捕捉的綿羊中有記號的占全部有記號的比例.13.如圖，矩形中，，交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，若，則_______．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出長度，再依據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】解：、分別為、的中點(diǎn)，．四邊形是矩形，．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中位線的定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.一元二次方程的兩根為、，則的值是_______．【答案】-2【解析】【分析】利用一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得出m2+4m-2=0，m+n=-4，將所求式子變形后，把各自的值代入即可求出值．【詳解】解：∵一元二次方程x2+4x-2=0的兩根為m、n，∴m+n=-4，m2+4m-2=0，即m2+4m=2，則m2+5m+n=（m2+4m）+（m+n）=2-4=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，AD平分交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD、AC上的動點(diǎn)，則的最小值為________．

【答案】【解析】【分析】在AB上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)C作，垂足為因?yàn)椋瞥霎?dāng)C、E、共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)C作，垂足為H．

在中，依據(jù)勾股定理可知，，，∵AE平分，∴∠EAF=∠EA，∵，AE=AE，∴△EAF≌△EA，∴，∴，當(dāng)C，E，共線，且點(diǎn)與H重合時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是利用對稱，解決最短問題．三、解答題(共55分，其中16題12分，17題5分，18題7分，19題7分，20題7分，21題8分，22題9分)16.解方程(1)(2)(3)(4)【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【解析】【分析】（1）直接利用開平方的方法解方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用因式分解的方法解方程即可；（3）直接利用平方差公式進(jìn)行解方程即可；（4）利用公式法解方程即可．【詳解】解：（1）∵，∴即，∴，；（2）∵，∴，∴，∴，；（3）∵，∴，∴即，∴，；（4）∵，∴，，，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法．17.為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校組織七、八、九年級學(xué)生參加了“頌黨恩，跟黨走”作文大賽．該校對參賽作文分年級進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了圖1和圖2不完整的統(tǒng)計(jì)圖，各年級參賽作文篇數(shù)統(tǒng)計(jì)圖請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：（1）參賽作文的篇數(shù)共篇：（2）圖中：，扇形統(tǒng)計(jì)圖中九年級所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為；（3）把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整：（4）經(jīng)過評審，全校共有4篇作文獲得特等獎，其中有一篇來自七年級，學(xué)校準(zhǔn)備從特等獎作文中選取2篇刊登在學(xué)校校報(bào)上請用樹狀圖或列表法求七年級特等獎作文被刊登在校報(bào)上的概率．【答案】（1）100篇；（2），；（3）見解析；（4）．【解析】【分析】（1）根據(jù)七年級的篇數(shù)以及百分比，求出總篇數(shù)即可；（2）先求出八年級的篇數(shù)，再計(jì)算百分比即可；有總的作文篇數(shù)，即可得出九年級參賽作文篇數(shù)對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；（3）求出八年級的作文篇數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（4）假設(shè)4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D，其中A代表七年級獲獎的特等獎作文．利用列表法畫出圖形即可解決問題．【詳解】解：（1）參賽作文的篇數(shù)共100篇；（2）八年級的篇數(shù)為：篇，扇形統(tǒng)計(jì)圖中九年級所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為（3）由（2）知，八年級的篇數(shù)為45篇，補(bǔ)全條形圖如圖所示：（4）假設(shè)4篇榮獲特等獎的作文分別為A、B、C、D，其中A代表七年級獲獎的特等獎作文．列表如下：ABCDAABACADBABBCBDCACBCCDDADBDCD由表格可知，共有12種可能性結(jié)果，它們發(fā)生的可能性相等，其中七年級特等獎作文被選登在校刊上的有6種結(jié)果，∴七年級特等獎作文被選登在?？系母怕蕿椋军c(diǎn)睛】本題主要考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對總體的估計(jì)也就越精確．18.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）若=﹣1，求k的值．【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△>0，即可得出關(guān)于k的不等式，解之即可得出k的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，結(jié)合=﹣1即可得出關(guān)于k的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（2k+3）2﹣4k2>0，解得：k>﹣；（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴=﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，又∵k＞﹣，∴k=3．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合=﹣1找出關(guān)于k的分式方程．19.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BC，∴四邊形AECD是菱形；（2）過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝，∵，∴AH＝，∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，BC＝10，四邊形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，∴EF＝AH＝．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)解答．20.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價(jià)是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價(jià)調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價(jià)下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場從該服裝廠以出廠價(jià)購進(jìn)若干件此類服裝，以200元/件銷售時(shí)，平均每天可銷售20件．為了減少庫存，商場決定降價(jià)銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價(jià)應(yīng)降低多少元?【答案】（1）平均下降率為10%；（2）單價(jià)應(yīng)降低15元．【解析】【分析】（1）設(shè)平均下降率為x，然后根據(jù)題意可直接列方程求解；（2）設(shè)單價(jià)應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得每天的銷售量為(20+2y)件，然后根據(jù)題意可列方程求解．【詳解】解：（1）設(shè)平均下降率為x，由題意可得：200(1?x)2=162，解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合題意，舍去），∴x=0.1=10%，答：平均下降率為10%．（2）設(shè)單價(jià)應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得：(200?162?y)(20+y)=1150，解得：y1=13，y2=15，

根據(jù)題意，為了減少庫存，所以應(yīng)該降低15元，答：單價(jià)應(yīng)降低15元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．21.(1)對于任意實(shí)數(shù)和，都有，，于是得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．(2)任意一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)都可寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式．即：如果，則．如：，等．例：已知，求證：．證明：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．請解答下列問題：某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻(墻足夠長)，另外三邊用籬笆圍成(如圖所示)．設(shè)垂直于墻的一邊長為米．(1)若所用的籬笆長為米，那么：①當(dāng)花圃的面積為平方米時(shí)，垂直于墻的一邊的長為多少米?②設(shè)花圃的面積為，求當(dāng)垂直于墻的一邊的長為多少米時(shí)，這個(gè)花圃的面積最大?并求出這個(gè)最大面積；(2)若要圍成面積為平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米?【答案】（1）①垂直于墻的一邊的長為6米或12米；②當(dāng)垂直于墻的一邊的長為9米時(shí)，這個(gè)花圃的面積最大，最大面積為；（2）需要用的籬笆最少是40米．【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意可得平行墻的一邊的長為米，則由長方形面積公式可得，然后解方程即可；②根據(jù)長方形面積公式可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)需要的籬笆長度為L米，平行于墻的一邊的長為y米，則由題意可得，然后根據(jù)題目所給的不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）①∵垂直墻的一邊長為x米，∴平行墻的一邊的長為米，∴，∴，即，解得或，∴垂