數(shù)值分析4-06 歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1§6奇異積分計(jì)算

一、分部積分與變量替換法

二、區(qū)間截去法三、Gauss型求積法

四、乘積積分法歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫研發(fā)工作室QQ群：928812498班級集體復(fù)印復(fù)習(xí)資料超級便宜！！拒絕高價壟斷！?。≌埜靼鄬W(xué)委/班長先聯(lián)系群主哦！湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3幾種主要類型：1、被積函數(shù)在積分上限或下限處的極限存在，但函數(shù)值不存在。例2、積分上限是，或積分下限是。3、在積分限的兩端存在積分奇異點(diǎn)；例如湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院44.在積分上限和下限之間的某已知點(diǎn)處存在積分奇點(diǎn)。5.在積分區(qū)間內(nèi)某未知點(diǎn)處存在積分奇點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值求積方法不能直接應(yīng)用的。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5一、分部積分與變量替換法基本思想：采用變量替換法將無窮區(qū)間變?yōu)橛邢迏^(qū)間；采用分部積分或變量替換法消除或降低被積函數(shù)的奇異性。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6例1

積分其中在上是光滑的，作變量替換得積分區(qū)間變?yōu)橛邢迏^(qū)間.在處的性態(tài)為：假設(shè)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7則積分在處為光滑的被積函數(shù)。例2

積分其中在上是一階連續(xù)可微函數(shù).湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8對I作分部積分，則因此，I原有的奇異性得以消除.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9二、區(qū)間截去法

基本思想：若能夠選取小數(shù)(或大數(shù)R),使得或上的積分值處在允許誤差范圍之內(nèi)，即或則可將正常積分

或作為（或的近似.

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10例3

計(jì)算積分上連續(xù)，由于在[0,1]上，所以假如精度要求為則可取從而湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11例4

計(jì)算積分因?yàn)楫?dāng)時有所以對于的精度要求湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12三、Gauss型求積法Gauss型求積公式也可計(jì)算某些奇異積分或無窮區(qū)間上的積分

例：Gauss-Chebyshev求積公式

其中其本身就是對奇異積分的一種算法.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13四、乘積積分法

是接近奇異或奇異的函數(shù)，是光滑函數(shù).考慮積分其中基本思想：滿足下列條件：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院142、非常容易計(jì)算。由此可得所以因此，的一個逼近序列。是湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院15注意：

為上的步長為

的分段多項(xiàng)式插值.在實(shí)際應(yīng)用中，常取例5、計(jì)算積分

取為分段線性插值多項(xiàng)式：其中

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院16由Lagrange插值余項(xiàng)定理知：在上二階連續(xù)可微時，當(dāng)有因此可見，當(dāng)n充分大時，可作