2024-2025學年四川省攀枝花市高三上學期第四次診斷性考試數(shù)學試題（附解析）

2024-2025學年四川省攀枝花市高三上學期第四次診斷性考試數(shù)學試題注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上?；卮疬x擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．已知復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【難度】0.85【知識點】復數(shù)的除法運算、共軛復數(shù)的概念及計算【分析】先將化簡，最后寫出共軛復數(shù)即可.【詳解】由，得，則z的共軛復數(shù)是．m故選：C2．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．36 B．48 C．52 D．66【正確答案】D【難度】0.85【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式進行計算即可.【詳解】由，得，得.故選：D3．已知向量，，若，（

）A．2B． C．1 D．0答案】C【難度】0.85【知識點】正、余弦齊次式的計算、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齊次化法將所求式子化成含有的式子即可運算求解.【詳解】由于，.故C.4．已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C．(?1,0)∪(1,+∞) D．【正確答案】A【詳解】當a>0時，-a<0,于是0<a<1,當a<0時，-a>0,于是-1<a<0.故選A5.2024年10月1日是我國國慶75周年，全國人民以各種各樣的形式共同慶祝。我校以文藝演出的形式慶祝，原本準備了4個舞蹈，2個獨唱，2個朗誦節(jié)目（順序已定），現(xiàn)節(jié)目組臨時決定加入一個學生紅歌合唱與一個教師紅歌合唱，則節(jié)目的不同排發(fā)一共有（

）種72B.36C.45D.90答案：D函數(shù)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是（） 2B.3C.1D.0答案：A7.已知非零實數(shù)，集合A是不等式的解集，集合B是不等式的解集。命題P；，命題q:A=B,則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：D8.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為（）A．2B．1 C． D．答案：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知、是夾角為的單位向量，已知，．下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C． D．在方向上的投影數(shù)量為【正確答案】AD【難度】0.65【知識點】數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求模、向量夾角的計算、求投影向量【分析】根據(jù)向量的模計算公式求，判斷選項A；利用數(shù)量積的運算律，判斷選項B；求出，求解，判斷選項C；根據(jù)投影數(shù)量計算公式，判斷選項D．【詳解】對于A，，是夾角為的單位向量，則，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由A得，，所以，又，所以，C錯誤；對于D，在上的投影數(shù)量為，D正確．故選：AD．10．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為2B．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心C．將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】BC【難度】0.65【知識點】三角恒等變換的化簡問題、三角函數(shù)綜合【分析】先將化簡為，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷4個選項即可.【詳解】，故最小正周期為，A錯誤；，點是一個對稱中心，B正確；向左平移個單位長度得到，關(guān)于軸對稱，C正確；，單調(diào)遞減，D錯誤.故選：BC.11已知曲線與直線分別相切于點，與直線分別相切于點，且相交于點，則（

）A． B．C． D．【正確答案】ACD【分析】求導，根據(jù)導數(shù)幾何意義可得，對其整理即可判斷AB；對于C：可知fx,gx的圖象關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱可得，利用基本不等式分析判斷；對于D：整理可得，且，構(gòu)建，利用導數(shù)可得，即可判斷.【詳解】設，則，可知，即，對于選項A：由，整理得，若，則，不滿足，不合題意，所以，故A正確；對于選項B：把，代入，即，整理得，故B錯誤；對于選項C：因為，且fx,gx的圖象關(guān)于直線所以點A關(guān)于直線的對稱點為，可得，所以，故C正確；對于選項D：因為直線關(guān)于直線對稱，則點就是直線與直線的交點，聯(lián)立方程，可得，即，可得，因為，且，則，由整理可得，令，可知為Fx在1,+∞內(nèi)的零點，且，因為，則，可得，可知Fx在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且可知Fx在1,+∞內(nèi)有唯一零點，且，設，則，可知?x在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D正確.故選：ACD.關(guān)鍵點點睛：根據(jù)對稱性分析可知：點就是直線與直線的交點，進而可得，放縮證明即可判斷D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。設，集合，則【正確答案】0【分析】根據(jù)可知，故.【詳解】由可知，又，故.故013.已知函數(shù)兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率,則實數(shù)m的取值范圍是__________.答案：14.若不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為【分析】利用在R上單調(diào)遞增，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最大值得的取值范圍，再得的最小值.【詳解】令，易知在R上單調(diào)遞增，由得，即，所以，即，令，則，易得，，，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，.解答題:本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）。15.（13分）在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若三角形ABC為銳角三角形，求的取值范圍.【正確答案】(1)；(2).【難度】0.65【知識點】求正切（型）函數(shù)的值域及最值、用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理邊角互化的應用【分析】由正弦定理可得，再由銳角三角形可得的范圍，進而可得的范圍.【詳解】（1）（2）由正弦定理知：，為銳角三角形，則，得，則，所以.16.（15分）設函數(shù)(1)分析的單調(diào)性和極值；(2)設，若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的取值范圍；【正確答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.(2)【分析】（1）求導研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導后注意到，進而得到，，再驗證充分性；【詳解】（1）函數(shù)，則，令，解得：，且當時，，時，，因此：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值.（2）對任意的，都有成立，即對任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當時，因為單調(diào)遞增，則當時，恒成立，所以在時單調(diào)遞增，故；故實數(shù)的取值范圍為：；17.(15分）我國自主研發(fā)的某種產(chǎn)品，其厚度越小，則該種產(chǎn)品越優(yōu)良，為此，某科技研發(fā)團隊經(jīng)過較長時間的實驗研發(fā)，不斷地對該產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)進行改造提升，最終使該產(chǎn)品的優(yōu)良厚度達到領先水平，并獲得了生產(chǎn)技術(shù)專利；(1)在研發(fā)過程中，對研發(fā)時間上x(月)和該產(chǎn)品的厚度y(nm)進行統(tǒng)計，其中1～7月的數(shù)據(jù)資料如下：x月1234567y（nm）99994532302421現(xiàn)用作為y關(guān)于x的回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并估計該產(chǎn)品的最小厚度約為多少？(2)某企業(yè)現(xiàn)有3條老舊的該產(chǎn)品的生產(chǎn)線，迫于競爭壓力，決定關(guān)閉并出售生產(chǎn)線.現(xiàn)有以下兩種售賣方案可供選擇：方案一：直接售賣，則每條生產(chǎn)線可賣6萬元；方案二：先花22萬元購買技術(shù)專利并對老舊生產(chǎn)線進行改造，使其達到生產(chǎn)領先水平后再售賣.已知在改造過程中，每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨立.若改造成功，則每條生產(chǎn)線可賣20萬元；若改造失敗，則賣價為0萬元.①設3條老舊生產(chǎn)線中改造成功的生產(chǎn)線條數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；②請判斷該企業(yè)應選擇哪種售賣方案可能更為有利？并說明理由.參考數(shù)據(jù)：設，.；參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和縱截距的最小二乘法估計的計算公式為，．【正確答案】(1)，13nm(2)①分布列見解析，；②方案二，理由見解析【難度】0.65【知識點】求回歸直線方程、寫出簡單離散型隨機變量分布列、求離散型隨機變量的均值、根據(jù)回歸方程進行數(shù)據(jù)估計【分析】（1）設，則，利用回歸直線公式可得，則關(guān)于的回歸方程為，可以估計該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm；（2）①由已知，可得，分別求出X取值時的概率，即可列出分布列，進而求出數(shù)學期望；②分別計算兩種方案的收益，比較即得.【詳解】（1）設，則，所以，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為，所以可以估計該產(chǎn)品的"理想"優(yōu)良厚度約為13nm．（2）X的取值為，因為每條生產(chǎn)線改造成功的概率均為，且相互獨立，所以，所以；；；；所以的分布列為0123所以．②當實施方案一時，設3條生產(chǎn)線的賣價為萬元，則；當實施方案二時，設3條生產(chǎn)線的賣價為萬元，則，所以的數(shù)學期望．因為，所以該企業(yè)應選擇方案二售賣可能更為有利．18.（17分）已知正項數(shù)列，為其前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，若數(shù)列的前項和為，證明：．【正確答案】(1)(2)證明見解析【難度】0.65【知識點】裂項相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項【分析】（1）由，求出，再利用與的關(guān)系即可求解數(shù)列an的通項公式；（2）利用裂項相消求數(shù)列bn的前項和為，再比較與的大小關(guān)系即可證明.【詳解】（1）由，則在正項數(shù)列an中，當時，，整理得，即，所以，當時，，兩式相減得，當時，，符合要求，故．（2）由（1）可得，則.19.（17分）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（i）若，求異面直線和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【正確答案】(1)(2)（i），（ii）存在，【難度】0.4【知識點】根據(jù)韋達定理求參數(shù)、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、異面直線夾角的向量求法【分析】（1）根據(jù)題意，的周長為8，離心率為，結(jié)合橢圓標準方程的定義，求解即可；（2）（i）由（1）知，點，傾斜角為，故直線設為：，與聯(lián)立求得，，再以為坐標原點，折疊后原軸負半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，再求異面直線和所成角的余弦值即可；（ii）根據(jù)題意得到，設折疊前，，直線與橢圓聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，在折疊后的圖形中建立空間直角坐標系（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負半軸為軸），設，在新圖形中對應點記為，，，，得到，結(jié)合，得到的值．【詳解】（1）因為的周長為8，離心率為，所以，即，，，所以橢圓的標準方程為：；（2）由（1）知，點，傾斜角為，故直線設為：，（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程：，可得，可得或，可得，（因為