分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（2）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

(2)1.分類加法計數(shù)原理：一般地，如果完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.一般地，如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，

??????在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.復(fù)習(xí)引入2.分步乘法計數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.一般地，如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，??????，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)不同點(diǎn)注意點(diǎn)用來計算“完成一件事”的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能_____完成這件事每步_________才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整獨(dú)立依次完成分類完成，類類相加分步完成，步步相乘3.兩個計數(shù)原理的區(qū)別例題甲乙丙例1:要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成．課本P6解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為

N＝3×2=6.這6種掛法如右圖所示.乙乙丙甲右邊丙乙甲左邊得到的掛法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙1.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法?解：要完成選正、副組長各2名這件事，需分2步：第1步，選正組長，有5種選法；第2步，選副組長，有4種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法數(shù)為N＝5×4＝20.課本P7練習(xí)2.從1,2,

???,19,20中任選一個數(shù)作被減數(shù)，再從1,2,???,10中任選一個數(shù)作減數(shù)，然后寫成一個減法算式，共可得到多少個不同的算式?解：要完成一個減法算式，需分2步：第1步，確定被減數(shù)，可從1，2，…，19，20這20個數(shù)中任取1個；第2步，確定減數(shù)，可從1，2，…，10中任取1個．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可得到不同的算式個數(shù)為

N＝20×10＝200．課本P7例2：給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序命名？解:由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為

7＋6＝13.后兩個字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是

13×9×9＝1053，即最多可以給1053個程序模塊命名.例題分析：要完成的一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符.而首字符又可以分為兩類.課本P6例2：給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個程序命名？解法2:首字符用A~G給程序命名的個數(shù)為7×9×9＝567.首字符用U~Z給程序命名的個數(shù)為6×9×9＝486.∴總的不同名稱的個數(shù)是567＋486＝1053.思考：你還能給出不同的解法嗎?課本P61.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由8位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)字是不變的，后4位數(shù)字都是0~9中的一個數(shù)字，這個電話局不同的電話號碼最多有多少個?解：電話號碼的后四位的每一位數(shù)字均可以從0～9

之間的10個數(shù)字中任取一個，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，該電話局不同的電話號碼的個數(shù)最多為N＝10×10×10×10＝10000．課本P7練習(xí)解：要完成的事是確定一個三位數(shù)，分3步：第1步，確定百位數(shù)，可從1，2，3，4，5中任選1個，有5種方法；第2步，確定十位數(shù)，同樣也有5種方法；第3步，確定個位數(shù)，同樣也有5種方法．所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這樣的三位數(shù)的個數(shù)為5×5×5＝125．2.由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復(fù))?課本P7例3：電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用1個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成.(1)1個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符?(2)計算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示?例題課本P7…第1

位第2

位第3

位第8

位2

種2

種2

種2

種分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”.由于每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理求解；（2）只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可.解:

(1)用上圖表示1個字節(jié)，每一格代表一位.1個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，1個字節(jié)最多可以表示不同字符的個數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256.(2)由(1)知，1個字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個，我們考慮2個字節(jié)能夠表示多少個字符.前1個字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示不同字符的個數(shù)是256×256=65536這已經(jīng)大于漢字國標(biāo)碼包含的漢字個數(shù)6763.因此要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.解法1：被5除余2的正整數(shù)的個位是2或7.在1~10中，能被5除余2的數(shù)有：2，7；在10~20中，能被5除余2的數(shù)有：12，17；在20~30中，能被5除余2的數(shù)有：22，27；......所以在1~100中，能被5除余2的數(shù)有10×2＝20個.同理，在100~200中，能被5除余2的數(shù)有10×2＝20個.在200~300中，能被5除余2的數(shù)有10×2＝20個.在300~400中，能被5除余2的數(shù)有10×2＝20個.在400~500中，能被5除余2的數(shù)有10×2＝20個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，在1~500中，能被5除余2的數(shù)有：20+20+20+20+20＝100（個）.在1,2,

???,500中，被5除余2的數(shù)共有多少個?課本P7練習(xí)解法2：被5除余2的數(shù)可以表示為5k＋2(k為整數(shù)).由1≤5k＋2≤500，解得0≤k≤99，滿足條件的k值有100個，所以滿足條件的數(shù)共有100個.例4：4個客人分別到3個旅店選擇一處住宿，有多少種不同的選法？例題分析：題目中要完成什么事情呢？

.安排4個客人住3個旅店第1間第2間第3間我是第1個客人我們將完成這件事情用右圖表示出來.第1步，安排第1個客人住店有

種選擇；第2步，安排第2個客人住店有

種選擇；……因此完成這件事情可以分為

個步驟，且這些步驟必須依次完成才能完成這件事情.一共有

種方法.334反思妝納練習(xí)解析：完成4封不同的信投入3個不同的信箱這件事情，可按每封信對信箱選擇分四步完成，每一步中每一封信在3個信箱中選擇一個，有3種選法，由分步乘法計數(shù)原理得共有34＝81種不同的分法．答案：A錯解1：第一步，第1位同學(xué)去奪這3項(xiàng)冠軍，有可能1項(xiàng)都不奪或奪1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)，因此有4種不同的情況；第二步，第2位同學(xué)去奪這3項(xiàng)冠軍也有4種不同的情況；同理第3位、第4位同學(xué)也各有4種不同的情況．由分步乘法計數(shù)原理，共有4×4×4×4＝44＝256種不同的情況．2.4名同學(xué)去爭奪3項(xiàng)冠軍，不允許并列，共有多少種不同的情況？2.4名同學(xué)去爭奪3項(xiàng)冠軍，不允許并列，共有多少種不同的情況？錯解2：第一步，第1位同學(xué)去爭冠軍，有3種不同的情況；第二步，第2位同學(xué)去爭冠軍，也有3種不同的情況；同理第3位、第4位同學(xué)也各有3種不同的情況．由分步乘法計數(shù)原理，共有3×3×3×3＝34＝81種不同的情況．辨析：完成奪取冠軍這件事，即每項(xiàng)冠軍都有人奪?。板e解1”中可能有4位同學(xué)都不得冠軍以及1項(xiàng)冠軍不止1人獲得這種情況，與題意不符；“錯解2”中可能有1項(xiàng)冠軍不止1人獲得這種情況，也不符合題意．正解：可分三步完成，第一項(xiàng)冠軍被4名同學(xué)爭奪，一定是其中1名而且只能是其中一名同學(xué)獲得，共有4種不同的情況；同理其余2項(xiàng)冠軍分被4名同學(xué)中的1名獲得，各有4種不同的情況．由分步乘法計算原理，共有4×4×4＝43＝64種不同的奪得冠軍的情況．2.4名同學(xué)去爭奪3項(xiàng)冠軍，不允許并列，共有多少種不同的情況？隨堂檢測2.從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有（

）A.280種

B.240種

C.180種 D.96種解析：由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法.后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.3.現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織數(shù)學(xué)課外活動小組，從中推選兩名來自不同年級的學(xué)生做一次活動的主持人，有_____種不同選法.解：推選兩名來自不同年級的學(xué)生做一次活動主持9×12+12×7+9×7=255（種）.人，有不同選法：5.五名學(xué)生報名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報一項(xiàng)，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報其中的任一項(xiàng)，因此每個學(xué)生都有4種報名方法，5名學(xué)生都報了項(xiàng)目才能算完成這一事件.故報名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個項(xiàng)目只有一個冠軍