幾種函數(shù)增長快慢的比較課件高一上學期數(shù)學

4.5.1幾種函數(shù)增長快慢的比較

情境引入一次函數(shù)：冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：學習過的增函數(shù)有：

圖象法感知函數(shù)增長的快慢

作商法比較函數(shù)增長的快慢

差分法比較函數(shù)增長的快慢

圖像法感知函數(shù)增長的快慢同類函數(shù)圖象比較觀察下列四個冪函數(shù)的圖象，看一看誰跑得快？冪函數(shù):當

時

越大函數(shù)的增長速度越快；當

時

越大函數(shù)的增長速度越快；同類函數(shù)圖象比較觀察下列三個指數(shù)函數(shù)的圖象，看一看誰跑得快？指數(shù)函數(shù)：

越大函數(shù)的增長速度越快；同類函數(shù)圖象比較對數(shù)函數(shù)：

越小函數(shù)的增長速度越快；觀察下列三個對數(shù)函數(shù)的圖象，看一看誰跑得快？同類函數(shù)圖象比較不同類函數(shù)圖象比較例1通過圖象比較

和

在區(qū)間

上增長的快慢。不同類函數(shù)圖象比較思考：對于同學們能夠大膽猜一猜它們在區(qū)間上增長的快慢嗎？不同類函數(shù)圖象比較思考：對于同學們能夠大膽猜一猜它們在區(qū)間上增長的快慢嗎？猜想冪函數(shù)？

作商法比較函數(shù)增長的快慢例1變式

推理并證明

和

在區(qū)間

上增長的快慢。證明：對于函數(shù)值的比值當

時，,此時兩函數(shù)的圖象交于一點；當

時，,此時函數(shù)

的圖象在

的下方；當

時，,此時函數(shù)

的圖象在

的上方；隨著

的增長，比值

也越大，說明

增長得更快.例2利用作商法比較

和

在區(qū)間

上增長的快慢。上述證明表明無論

有多大,當

大到一定程度,就會比

的

倍還大.證明:當

時,有,

因而有不同類函數(shù)圖象比較思考：對于同學們能夠大膽猜一猜它們在區(qū)間上增長的快慢嗎？冪函數(shù)

比較函數(shù)增長的快慢，還可以看增長速度的變化。

計算速度的簡單辦法就是看單位時間內(nèi)走過的路程，所以這里我們可以通過計算當自變量變化單位1時，函數(shù)值的增長量，即：

的大小。

差分法比較函數(shù)增長的快慢指數(shù)爆炸

一般地,對于指數(shù)函數(shù)

和冪函數(shù)

在區(qū)間

上無論

比

大多少,盡管在

的一定變化范圍內(nèi),但由于

的增長速度快于,因此總存在一個,當

時.直線上升當自變量變化單位1時，一次函數(shù)

的增長量恒定不變，我們把這種增長特征稱為“直線上升”；對數(shù)增長

一般地,對于對數(shù)函數(shù)

和冪函數(shù)

在區(qū)間

上隨著

的變大,盡管在

的一定范圍內(nèi),可能會大于,但由于

的增長速度慢于,因此總存在一個,當

時.

在區(qū)間

上,盡管函數(shù)

都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一“檔次”上,隨著

的增長,總會存在一個,當

時,就有:

歸納小結(jié)

課堂練習下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是(