排列數(shù)課件(1)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.2.2排列數(shù)

(1)一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并

排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(arrangement).1.排列的定義：2.排列問(wèn)題的判斷方法：(1)元素的無(wú)重復(fù)性；(2)元素的有序性.判斷關(guān)鍵是看選出的元素有沒(méi)有順序要求.復(fù)習(xí)引入思考：研究一個(gè)排列問(wèn)題，往往只需知道所有排列的個(gè)數(shù)而無(wú)需一一寫出所有的排列，那么能否不通過(guò)一一寫出所有的排列而直接“得”出所有排列的個(gè)數(shù)呢？探究一：排列數(shù)排列數(shù)：我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)

表示.排列的第一個(gè)字母元素總數(shù)取出元素個(gè)數(shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，前面問(wèn)題1是從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的排列為3×2＝6，可記作：?jiǎn)栴}2是從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列數(shù)為4×3×2＝24，可記作：排列數(shù)與排列的區(qū)別：一個(gè)排列就是完成一件事的一種方法，它不是數(shù)；排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù).探究二：排列數(shù)公式探究：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)(m≤n)是多少?我們先從特殊情況開始探究，思考從n個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)是多少？分析：由

的意義，假定有排好順序的2個(gè)空位，從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空，可分為兩個(gè)步驟：第1位第2位nn-1第1步,填第1個(gè)位置的元素，從這n個(gè)不同元素中任選1個(gè)，有n種選法；第2步,填第2個(gè)位置的元素，從剩下的（n-1）個(gè)元素中任選1個(gè)，有n-1種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)空位的填法種數(shù)共有同理：求排列數(shù)可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮：第1位第2位第3位n-2nn-1一般地：求排列數(shù)可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮：…第1位第2位第3位第m位nn-1n-2例如：①第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1；②最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1；③共有m個(gè)因數(shù)．說(shuō)明:(1)公式的特征：1.排列數(shù)公式:歸納總結(jié)這時(shí)，排列數(shù)公式中m＝n，有（2）階乘：正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示.全排列數(shù)公式：排列數(shù)公式的連乘形式2.全排列數(shù)：（1）全排列：從n個(gè)不同素中取出n個(gè)元素的一個(gè)排列稱為n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列.解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得：例1：計(jì)算：例題課本P19解：1.計(jì)算：課本P20練習(xí)2.12思考：由例3可以看到，觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中你發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？證明：排列數(shù)公式的連乘形式排列數(shù)公式的階乘形式排列數(shù)公式的應(yīng)用：排列數(shù)公式有兩種形式，一是連乘形式，這種形式主要用于計(jì)算，二是階乘形式，這種形式主要用于化簡(jiǎn)或證明（對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，寫成這種形式有利于發(fā)現(xiàn)相互之間的關(guān)系）.歸納總結(jié)排列數(shù)公式的階乘形式:

證明：證明：例題求證：證明：課本P20練習(xí)例3：用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?例題分析：在0~9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素.一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來(lái)考慮問(wèn)題.課本P19例3：用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法1：由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第2步，確定十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)，有種取法.百位十位個(gè)位第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè)，有種取法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為:特殊位置優(yōu)先法課本P19例3：用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法2：符合條件的三位數(shù)可以分成三類：百位十位個(gè)位0百位十位個(gè)位0百位十位個(gè)位第3類,十位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和個(gè)位,有種取法.第2類,個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和十位,有種取法；第1類,每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù),可以從1~9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè),有種取法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為特殊元素優(yōu)先法課本P19例3：用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解法3:從0~9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為

，即所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為它們的差就是用這10個(gè)數(shù)組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù),其中0在百位上的排列數(shù)為

，間接法課本P19（1）直接法：以元素為考察對(duì)象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素(又稱為特殊元素優(yōu)先法)；或以位置為考察對(duì)象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置(又稱特殊位置優(yōu)先法)．有限制條件的排列應(yīng)用題，可以有兩種不同的計(jì)算方法：反思?xì)w納（2）間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出總排列數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)．變式1：用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)?解：00變式2：用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)且是奇數(shù)?00在個(gè)位的有個(gè)；0在十位的有個(gè)；沒(méi)有0的有個(gè).∴共有解：0在十位的有個(gè)；沒(méi)有0的有個(gè).∴共有一個(gè)火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法?解：要停放4列不同的火車，需要從8股岔道上任選4股岔道，所以不同的停放方法有課本P20練習(xí)

隨堂檢測(cè)2.有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有（

）A.12種 B.24種

C.48種 D.120種解析：∵同學(xué)甲只能在周一值日，∴除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，4.從班委會(huì)的5名成員中選出3名分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有______種.(用數(shù)字作答)由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×12＝36(種)選法.5.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？解：(1)分三步：①先選百位數(shù)字，由于0不能作百位數(shù)字，因此有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個(gè)位數(shù)字有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100(個(gè)).(2)分三步：①百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有6種選法；③個(gè)位數(shù)字有6種選法.故所求三位數(shù)共有5×6×6＝180(個(gè)).(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位奇數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？解：(3)分三步：①先選個(gè)位數(shù)字，有3種選法；②再選百位數(shù)字，有4種選法；③選十位數(shù)字也有4種選法，所以所求三位奇數(shù)共有3×4×4＝48(個(gè)).(4)分三類：①一位數(shù)共有6個(gè)；②兩位數(shù)共有5×5＝25(個(gè))；③三位數(shù)共有5×5×4＝100(個(gè)).因此，比1000小的自然數(shù)共有6＋25＋100＝131(個(gè)).(5)可以組成多少個(gè)大于3000，小于5421的不重復(fù)的四位數(shù)？解：分四類：①千位數(shù)字為3，4之一時(shí)，共有2×5×4×3＝120(個(gè))；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0，1，2，3之一時(shí)，共有4×4×3＝48(個(gè))；③千位數(shù)字為5