第17講 實數全章復習與測試-【暑假自學課】2022年新八年級數學暑假課（蘇科版）

第17講實數全章復習與測試【學習目標】1.了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根，會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；了解數的范圍由有理數擴大為實數后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數估計一個無理數的大致范圍.【基礎知識】一．近似數和有效數字（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．（3）規(guī)律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．二．平方根（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“﹣”．正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作．零的算術平方根仍舊是零．平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．三．算術平方根（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．記為．（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．四．非負數的性質：算術平方根（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性．（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出不等式求解．非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．五．立方根（1）定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數．注意：符號a3中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一個立方根．【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．六．計算器—數的開方正數a的算術平方根a與被開方數a的變化規(guī)律是：當被開方數a的小數點每向左或向右平移2位時，它的算術平方根的小數點也相應向左或向右平移1位，即a每擴大（或縮小）100倍，a相應擴大（或縮?。?0倍．七．無理數（1）、定義：無限不循環(huán)小數叫做無理數．說明：無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環(huán)小數．如圓周率、2的平方根等．（2）、無理數與有理數的區(qū)別：①把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環(huán)小數，比如4＝4.0，13＝0.33333…而無理數只能寫成無限不循環(huán)小數，比如2＝1.414213562．②所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能．（3）學習要求：會判斷無理數，了解它的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環(huán)小數，③含有π的數，如分數π2是無理數，因為π是無理數．無理數常見的三種類型（1）開不盡的方根，如等．（2）特定結構的無限不循環(huán)小數，如0.303003000300003…（兩個3之間依次多一個0）．（3）含有π的絕大部分數，如2π．注意：判斷一個數是否為無理數，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數，而不是無理數．八．實數（1）實數的定義：有理數和無理數統(tǒng)稱實數．（2）實數的分類：實數：或實數：九．實數的性質（1）在實數范圍內絕對值的概念與在有理數范圍內一樣．實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．（2）實數的絕對值：正實數a的絕對值是它本身，負實數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．（3）實數a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數a的絕對值一定是一個非負數，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．實數的倒數乘積為1的兩個實數互為倒數，即若a與b互為倒數，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數，這里應特別注意的是0沒有倒數．十．實數與數軸（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。唬畬崝荡笮”容^實數大小比較（1）任意兩個實數都可以比較大?。龑崝刀即笥?，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數比大小，絕對值大的反而小．（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而?。浪銦o理數的大小估算無理數大小要用逼近法．思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．十三．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規(guī)律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．【考點剖析】一．近似數和有效數字（共1小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)期末）某班級共有學生36人，其中的同學報名參加乒乓球社團，25%的同學報名參加羽毛球社團．問：報名參加乒乓球社團的同學比報名參加羽毛球社團的同學多百分之幾？（百分號前保留1位小數）二．平方根（共1小題）2．（2022春?昭陽區(qū)校級月考）一個正數x的兩平方根分別是2a﹣3和1﹣6a，求x的值．三．算術平方根（共1小題）3．（2022春?海淀區(qū)校級期中）一個數值轉換器，如圖所示：（1）當輸入的x為81時，輸出的y值是；（2）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值；（3）若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值．四．非負數的性質：算術平方根（共1小題）4．（2022春?西城區(qū)校級期中）設a、b、c都是實數，且+|b+c+5|＝0，求代數式3a+b﹣2c的值．五．立方根（共1小題）5．（2022春?長樂區(qū)期中）已知某個正數的兩個平方根分別是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a+b的值．六．計算器—數的開方（共1小題）6．（2020?朝陽區(qū)校級開學）求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如，有些數則不能直接求得，如，但可以通過計算器求．還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規(guī)律求得，請同學們觀察下表：n160.160.00161600160000…4x0.04y400…（1）表格中x＝；y＝；（2）從表格中探究n與數位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知≈1.435，則≈；②已知＝1.83，若＝0.183，則x＝．七．無理數（共1小題）7．（2022?賀州二模）下列各數是無理數的是（）A．0 B．1 C．2 D．π八．實數（共1小題）8．（2022春?宜秀區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．實數包括有理數、無理數和零 B．有理數包括正有理數和負有理數 C．無限不循環(huán)小數和無限循環(huán)小數都是無理數 D．無論是有理數還是無理數都是實數九．實數的性質（共1小題）9．（2022春?長垣市期中）﹣2的絕對值是（）A．2﹣ B．﹣2 C． D．1一十．實數與數軸（共1小題）10．（2022?石景山區(qū)二模）實數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）A．|a|＞b B．b＞a C．a+b＜0 D．ab＞0一十一．實數大小比較（共1小題）11．（2022?和縣二模）下列四個無理數中，大于1且小于2的是（）A．3﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．2﹣一十二．估算無理數的大小（共1小題）12．（2022?和平區(qū)三模）估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間一十三．實數的運算（共1小題）13．（2022春?西城區(qū)校級期中）計算：+|1﹣|﹣．【過關檢測】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）方程|4x﹣8|+＝0，當y＞0時，m的取值范圍是（）A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤22．（3分）在實數范圍內，代數式||﹣2|﹣3|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對3．（3分）若a、b是實數，且，則a+b的值是（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．﹣3或﹣1 D．3或14．（3分）代數式的最小值是（）A．0 B．3 C． D．不存在5．（3分）估計的值在（）A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間6．（3分）已知（x﹣y+3）2+＝0，則x+y的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．57．（3分）若，則a的取值范圍是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤38．（3分）資陽市2012年財政收入取得重大突破，地方公共財政收入用四舍五入取近似值后為27.39億元，那么這個數值（）A．精確到億位 B．精確到百分位 C．精確到千萬位 D．精確到百萬位9．（3分）已知實數的小數部分為a，的小數部分為b，則7a+5b的值為（）A． B．0.504 C．2﹣ D．10．（3分）若|x+2|+，則xy的值為（）A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）11．（3分）實數，0，，，0.1010010001…（兩個1之間依次多一個0），，中，無理數有．12．（3分）數軸上到原點距離為的點所表示的實數是．13．（3分）近似數1.96精確到了位；近似數3698000保留3個有效數字，用科學記數法表示為．14．（3分）若的值在兩個整數a與a+1之間，則a＝．15．（3分）如圖，在數軸上點A和點B之間的整數是．16．（3分）等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為．17．（3分）2的平方根是，計算：＝．18．（3分）如圖是由4個邊長為1的正方形構成的“田字格”．只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出以格點為端點、長度為的線段條．三．解答題（共7小題，滿分46分）19．（6分）若a、b、c是有理數，且滿足等式a+b+c＝2﹣+3，試計算（a﹣c）2013+b2014的值．20．（6分）把下列各數填入相應的大括號里．π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．（1）整數集：{…}；（2）有理數集：{…}；（3）無理數集：{…}．21．（6分）計算下列各題．（1）+﹣；（2）﹣16﹣4；（3）|﹣|﹣+；（4）×﹣2（﹣π）0．