2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1排列學(xué)案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE11．2.1排列1.了解基本計(jì)數(shù)原理與排列的關(guān)系．2.理解排列的概念及排列數(shù)公式．3．能用排列的概念、排列數(shù)公式解決一些簡潔的實(shí)際問題．1．排列的相關(guān)概念(1)排列：一般地，從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，依據(jù)肯定的依次排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．(3)兩個(gè)排列相同：組成排列的元素相同，并且元素的排列依次也相同．2．排列數(shù)與排列數(shù)公式(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)排列數(shù)公式①排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)，這里n，m∈N＋，并且m≤n.②全排列數(shù)公式：Aeq\o\al(n,n)＝n！．③規(guī)定：0?。?．1．推斷(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)a，b，c與b，a，c是同一個(gè)排列．()(2)同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)．()(3)在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生改變．()(4)從4個(gè)不同元素中任取三個(gè)元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下列問題屬于排列問題的是()①從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個(gè)人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作冪運(yùn)算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④答案：A3．Aeq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________．答案：1264．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，則m＝________．答案：6排列的概念[學(xué)生用書P5]推斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)當(dāng)班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信．【解】(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在依次問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在依次問題，屬于排列問題．(3)(4)不存在依次問題，不屬于排列問題．(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在依次問題，屬于排列問題．(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著依次問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)屬于排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．eq\a\vs4\al()(1)推斷一個(gè)問題是不是排列問題，關(guān)鍵看是否與元素的依次有關(guān)．若與依次有關(guān)，就是排列問題，與依次無關(guān)，就不是排列問題，必要時(shí)可以變換元素的依次比較是否有改變．(2)枚舉全部排列時(shí)留意“樹形圖法”、“列表法”等方法的應(yīng)用．從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同的數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)．(1)能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)，并寫出這些三位數(shù)．(2)若組成這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)，并寫出這些三位數(shù)．解：(1)組成三位數(shù)分三個(gè)步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；其次步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個(gè)位上的數(shù)字，有2種不同的排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有3×3×2＝18個(gè)不同的三位數(shù)．畫出下列樹形圖：由樹形圖知，全部的三位數(shù)為102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.(2)干脆畫出樹形圖：由樹形圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201，210，230，231，301，302，310，312.排列數(shù)公式的有關(guān)運(yùn)算或證明[學(xué)生用書P5](1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)；(2)計(jì)算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))；(3)求證：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).【解】(1)因?yàn)?5－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15個(gè)元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)證明：法一：因?yàn)锳eq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·(eq\f(n＋1,n＋1－m)－1)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n)＋1－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二：Aeq\o\al(m,n＋1)表示從n＋1個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列個(gè)數(shù)，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)個(gè)．含有a1的可這樣進(jìn)行排列：先排a1，有m種排法，再從另外n個(gè)元素中取出m－1個(gè)元素排在剩下的m－1個(gè)位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)種排法．故Aeq\o\al(m,n)＋1＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n).eq\a\vs4\al()排列數(shù)公式的形式及選擇方法排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計(jì)算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進(jìn)行計(jì)算，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證時(shí)，一般用階乘式．解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).解：由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①、②及x∈N＋，得x＝8.排列的應(yīng)用[學(xué)生用書P6]某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最終一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同課程表的排法？【解】法一：6節(jié)課總的排法是Aeq\o\al(6,6)，其中不符合要求的可分為：體育排在第一節(jié)有A55種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)有Aeq\o\al(5,5)種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種方法，都包括體育在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種狀況有Aeq\o\al(4,4)種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504種．法二：依據(jù)要求，課程表支配可分為四種狀況：(1)體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最終一節(jié)，這種狀況有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法；(2)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最終一節(jié)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法；(3)體育排在最終一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法；(4)數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最終一節(jié)，有Aeq\o\al(4,4)種排法．這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝504種．eq\a\vs4\al()本例用間接法(法一)求解時(shí)，簡潔出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：在全排列中，解除了第一節(jié)排體育課，又解除了最終一節(jié)排數(shù)學(xué)課后，卻未加上第一節(jié)排體育課且最終一節(jié)排數(shù)學(xué)課這種狀況．事實(shí)上這種狀況在兩種狀況(2Aeq\o\al(5,5))都被解除了，因而被解除了兩次，但事實(shí)上只能解除一次，故須要重新加上這種狀況．從六名老師中選四名老師去西藏、新疆、青海、甘肅援教，要求每個(gè)省份去一名老師，且這六名老師中甲、乙兩名老師不去西藏，則有多少種不同的方案？解：法一：先從六名老師中把甲、乙兩名老師去掉，然后從余下的四名老師中選一名老師去西藏的方案有Aeq\o\al(1,4)種，然后從包括甲、乙兩名老師在內(nèi)的五名老師中選三名老師去其他三個(gè)省份的方案有Aeq\o\al(3,5)種，所以符合要求的方案為Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240種．法二：去除法(間接法)6名老師中任選4名去4個(gè)省份的方案有N1＝Aeq\o\al(4,6)＝360種，甲老師去西藏的方案有N2＝Aeq\o\al(3,5)＝60種，乙老師去西藏的方案有N3＝Aeq\o\al(3,5)＝60種．所以符合要求的方案為N＝N1－N2－N3＝240種．————————————————————————————————————————————————1．排列數(shù)兩個(gè)公式的選取技巧(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式．在運(yùn)用時(shí)要留意它的特點(diǎn)，從n起連續(xù)寫出m個(gè)數(shù)的乘積即可．(2)排列數(shù)的其次個(gè)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在詳細(xì)運(yùn)用時(shí)，應(yīng)留意先提取公因式再計(jì)算．2．求解排列問題的主要方法干脆法把符合條件的排列數(shù)干脆列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先支配特別元素或特別位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中

續(xù)表定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法1．在排列數(shù)公式中，Aeq\o\al(m,n)中的m、n滿意條件m≤n且m、n∈N＋，在解方程和不等式時(shí)，要留意限制條件．2．對于間接法，要清晰不適合題意的排法總數(shù)，不要“多減”或“少減”．1．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)解析：選D.原式可寫成n·(n－1)·…×6×5×4，故選D.2.已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，則n＝________．解析：由Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，得(n＋1)·n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：53．6名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為________．解析：排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.答案：7204．5位母親帶領(lǐng)5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有________種．解析：第1步，先排5位母親的位置，有Aeq\o\al(5,5)種排法；第2步，把5名兒童插入5位母親所形成的6個(gè)空位中，如下所示：母親____母親____母親____母親____母親____，共有Aeq\o\al(5,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400種．答案：86400[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知下列問題：①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參與數(shù)學(xué)、物理愛好小組；②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參與一項(xiàng)活動(dòng)；③從a，b，c，d中選出3個(gè)字母；④從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)．其中是排列問題的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選B.由排列的定義知①④是排列問題．2．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，則n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：選B.Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，且n∈N＋，所以n＝12.3．要從a，b，c，d，e5個(gè)人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當(dāng)副組長，則不同的選法種數(shù)是()A．20 B．16C．10 D．6解析：選B.不考慮限制條件有Aeq\o\al(2,5)種選法，若a當(dāng)副組長，有Aeq\o\al(1,4)種選法，故a不當(dāng)副組長，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16種選法．4．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析：選B.若選0，則0只能在十位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,3)；若選2，則2只能在十位或百位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2×Aeq\o\al(2,3)＝12，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得總個(gè)數(shù)為6＋12＝18.5．12名選手參與校內(nèi)歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種數(shù)為()A．123 B．312C．Aeq\o\al(3,12) D．12＋11＋10解析：選C.從12名選手中選出3名并支配獎(jiǎng)次，共有Aeq\o\al(3,12)種不同的獲獎(jiǎng)狀況．6．若集合P＝{x|x＝Aeq\o\al(m,4)，m∈N＋}，則集合P中共有________個(gè)元素．解析：因?yàn)閤＝Aeq\o\al(m,4)，所以有m∈N＋且m≤4，所以P中的元素為Aeq\o\al(1,4)＝4，Aeq\o\al(2,4)＝12，Aeq\o\al(3,4)＝Aeq\o\al(4,4)＝24，即集合P中有3個(gè)元素．答案：37．六個(gè)停車位置，有3輛汽車須要停放，若要使三個(gè)空位連在一起，則停放的方法數(shù)為________．解析：把3個(gè)空位看作一個(gè)元素，與3輛汽車共有4個(gè)元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24種．答案：248．若Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)，則x＝________．解析：因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))所以x≥3，x∈N＋，由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)．化簡得，4x2－35x＋69＝0，解得，x1＝3，x2＝eq\f(23,4)(舍)．所以方程的解為x＝3.答案：39．分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)．(1)6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰．解：(1)分排與直排一一對應(yīng)，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排頭尾，讓受特別限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；其次步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480種排法．10．用1，2，3，4，5，6，7排出無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，按下述要求各有多少個(gè)？(1)偶數(shù)不相鄰；(2)偶數(shù)肯定在奇數(shù)位上；(3)1和2之間恰夾有一個(gè)奇數(shù)，沒有偶數(shù)．解：(1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440個(gè)．(2)先把偶數(shù)排在奇數(shù)位上有Aeq\o\al(3,4)種排法，再排奇數(shù)有Aeq\o\al(4,4)種排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576個(gè)．(3)在1和2之間放一個(gè)奇數(shù)有Aeq\o\al(1,3)種方法，把1，2和相應(yīng)的奇數(shù)看成整體和其他4個(gè)數(shù)進(jìn)行排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)＝720個(gè)．[B實(shí)力提升]11．某班從8名運(yùn)動(dòng)員中選取4人參與4×100米接力賽，則不同參賽方案的種數(shù)是()A．1680 B．24C．1681 D．25解析：選A.不同的參賽方案共有Aeq\o\al(4,8)＝1680種．12．某停車站畫出一排12個(gè)停車位置，今有8輛不同的車須要停放，若要求剩余的4個(gè)空車位連在一起，則不同的停車方法有()A．Aeq\o\al(8,12)種 B．2Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,4)種C．8Aeq\o\al(8,8)種 D．9Aeq\o\al(8,8)種解析：選D.將4個(gè)空車位視為一個(gè)元素，與8輛車共9個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)種．13．一條鐵路有n個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)須要，新增了m個(gè)車站，