2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.6.1垂直關(guān)系的判定課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(八)垂直關(guān)系的判定(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直 B．斜交C．平行 D．不能確定A[梯形的兩腰所在的直線相交，依據(jù)線面垂直的判定定理知選項(xiàng)A正確．]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1A．平面DD1B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1DD．平面A1DBB[連接A1D、B1C，由ABCD-A1B1C1D1為正方體可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB3．假如直線l，m與平面α，β，γ滿意：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γA[B錯(cuò)，有可能m與β相交；C錯(cuò)，有可能m與β相交；D錯(cuò)，有可能α與β相交．]4．從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定C[若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.]5．如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，則圖中相互垂直的平面有()A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．5對(duì)D[∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對(duì)．]二、填空題6．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有________．4[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.]7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則折疊后BC＝________.1[由題意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.連接BC(圖略)，則BC＝eq\r(BD2＋DC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.]8．正四面體的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值是________．eq\f(1,3)[如圖所示，設(shè)正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)A在底面上的射影為O，連接DO，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接AE，則E為BC的中點(diǎn)，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO為側(cè)面ABC與底面BCD所成的二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).]三、解答題9．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，EO∥PC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因?yàn)镋O平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明](1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.1．以下命題正確的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α.A．① B．①③C．②③ D．①②A[①由線面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；②中b，α的關(guān)系可以線面平行或直線在平面內(nèi)；③中直線可以與平面平行，相交或直線在平面內(nèi)．]2．如圖，在四面體P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不肯定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABCD[因?yàn)镈，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DF為△ABC的中位線，則BC∥DF，依據(jù)線面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E為BC的中點(diǎn)，且PB＝PC，AB＝AC，則BC⊥PE，BC⊥AE，依據(jù)線面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因?yàn)锽C∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF平面PDF，則平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，則必需有AE⊥PD或AE⊥PF，由條件知此垂直關(guān)系不肯定成立，故選D.]3．在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，則二面角B-AC-D的余弦值為________．60°[如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°.]4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，則a的最小值為________．2[因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC邊上存在一點(diǎn)Q，使得QD⊥PQ，則有QD⊥平面PAQ，從而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，當(dāng)AD＝a<2時(shí)，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥DQ.所以當(dāng)a≥2時(shí)，才存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值為2.]5．如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求證：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.[證明](1)因?yàn)椤鱌DB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD＝BD＝