勾股定理回顧與思考教案

勾股定理回顧與思考（教案）（北師大版八年級第一章）渭南市臨渭區(qū)三馬路中學孫莉玲教學目標教學知識點對直角三角形的特殊性質全面進行總結。讓學生回顧本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，在勾股定理及其逆定理應用過程中，體會各種數學思想方法的應用。了解勾股定理的歷史。能力訓練要求體會在結論獲得和驗證過程中的數形結合的思想方法。在回顧與思考的過程中，提高學生分析問題、解決問題的能力，鼓勵學生要善于思考、善于創(chuàng)新。情感與價值觀要求在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡樂趣。通過對勾股定理歷史的了解，培養(yǎng)學生的愛國主義精神，體驗科學給人類帶來的力量。教學重點回顧并思考勾股定理及其逆定理的獲得和驗證過程；總結直角三角形邊、角之間分別存在的關系。在勾股定理及其逆定理應用過程中，體會各種數學思想方法。教學難點在勾股定理及其逆定理應用過程中，體會各種數學思想方法。建立本章的知識框架圖。教學方法交流與反思-----合作與探究教具準備無教學過程創(chuàng)設情境，導入新課活動一：展示兩幅圖片，第一幅圖片為20XX年在我國北京召開的第24屆國際數學家大會的場景，值得一提的是這次大會的會徽，為著名的趙爽弦圖。第二幅圖片為我國著名數學家華羅庚教授提議的向宇宙發(fā)射的勾股定理的圖形，用來與外星人聯(lián)系。我國著名數學家華羅庚曾經說過：“把勾股定理送到外星球，與外星人進行數學交流”。勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學的發(fā)展中起著重要作用，在現實世界中有著廣泛的應用。勾股定理的發(fā)現、驗證及應用的過程蘊含了豐富的文化價值。這節(jié)課，我們將通過回顧與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史和它的廣泛應用。設計意圖：這樣的導入富有科學特色和濃郁的數學氣息，激起學生強烈的興趣和求知欲。二、反思交流，探求新知，：一、議一議：1、直角三角形的邊、角之間分別存在什么關系？⑴在△ABC中，∠C＝90o，a，b，c為三角形的三邊，則角與角之間的關系：∠A＋∠B＝90o邊與邊之間的關系：a2+b2=c2⑵在△ABC中，a，b，c為三角形的三邊，如果∠A＋∠B＝90o，則三角形為直角三角形。a2+b2=c2則三角形為直角三角形?；顒尤夯仡櫣垂啥ɡ砑爸苯侨切蔚呐袆e條件如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形的判別條件：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數游戲：叫一列學生玩常見勾股數的接龍游戲。3、4、5；6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41等。二、方格紙中勾股定理的驗證方法一：分割為四個直角三角形和一個小正方形。方法二：補成大正方形，用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積。方法三：將幾個小塊拼成一個正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個小正方形。方法四：利用皮克公式正方形周邊上的格點數a=12，正方形內部的格點數b=13，所以，正方形C的面積為：S=1/2a+b-1.三、史話勾股定理的證明1、三國時期數學家趙爽在為《周髀算經》作注時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明.它用幾何圖形來證明代數式之間的恒等關系,體現了以形證數、形數統(tǒng)一、代數和幾何的緊密結合.2、傳說古希臘的畢達哥拉斯用下面的兩個圖形證明了勾股定理,你能直接觀察驗證勾股定理嗎？活動：通過本章的學習，你還知道勾股定理的哪些證明方法？請同學們介紹。1、美國總統(tǒng)伽菲爾德的證明.他的方法直觀、簡捷、易懂、明了。2、劉徽的“青朱出入圖”，證明不需用任何數學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”.3、著名畫家達芬奇的證明同學們，通過了解勾股定理的歷史，我們感受到古代數學家的偉大成就和勾股定理豐富的文化價值，希望同學們在今后的學習中善于探索，善于創(chuàng)新，并且把這些成就發(fā)揚光大。四、欣賞美麗的勾股樹，感受數學圖形之美，創(chuàng)造之美。五、拓展與應用勾股定理中的思想方法數學思想方法是解決數學問題的靈魂．正解的運用數學思想方法也是成功解題的關鍵．尤其是在運用勾股定理解題時，更應注重思想方法的運用，那么你知道運用勾股定理解題應注重哪些思想方法呢？為了幫助同學們能清楚地知道這一問題，現就常用的思想方法舉例說明，供同學們學習時參考．類型之一、分類討論思想已知一個直角三角形的兩邊長是和，求第三邊的長．分析已知一個直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論．解當和是兩條直角邊時，則利用勾股定理求得第三條邊即斜邊是＝5；當是直角邊，是斜邊時，仍由勾股定理求得另一條直角邊是㎝．說明求解本題許多同學往往受勾3股4弦5的思維定勢，而誤認為和就是直角三角形的兩條直角邊，斜邊當然是了，從而漏掉一解導致錯誤．構造直角三角形解題類型之二轉化思想臺階中的最值問題空間圖形的距離最短問題是勾股定理在實際生活中的具體應用，一般地求距離最短問題要把“立體圖形”轉化為“平面圖形”，再利用“兩點之間線段最短”，以及“勾股定理”等知識來解決問題，這類問題涉及的幾何體主要有長方體、正方體、圓柱等。1、臺階中的最值問題如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于５cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物。請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？解：臺階展開成平面如圖所示，連接AB因為BＣ＝３×３＋１×３＝１２，AC=5，所以AB2=AC2+BC2=169，ＡＢ＝１３㎝，所以螞蟻爬行的最短路線為１３㎝。BBACABA類型之三方程思想3、如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3尺。突然，一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺，請問水深多少？分析：由題意，我們知在圖1-1中為AB湖水的深度，AC為荷花的長，△ABC為直角三角形．解：設水深為x尺，則荷花的長為（x+3）尺，由勾股定理得：62+x2=（x+3）2解得：x=4.5,所以這個湖的水深為4.5尺．類型之四數形結合思想應用勾股定理及其逆用解決有關航海問題的應用題，首先要能從實際問題中抽象出數學模型，畫出圖形，結合其他知識求出直角三角形的未知邊或相關的量。A35°⌒BC例如：甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以30海里/小時的速度向北偏東35°的方向航行，乙船以40海里/小時的速度另一個方向航行,2A35°⌒BC解：如圖所示，在△ABC中，因為AC=2×30=60，AB=2×40=80，BC=100，所以AC2+BC2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.由于180°－35°－90°=55°，所以乙船航行的方向是南偏東55°。六、跟蹤練習1、已知一個Rt△ABC的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是2、有一個圓柱，它的高等于13厘米，底面半徑等于3厘米.一只螞蟻從距底面1米的A點爬行到對角B點處去食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3).解：將圓柱的側面展開成平面圖形，連接AB因為ＡＣ＝１３－１＝１２㎝，BC=３×３＝９㎝，所以AB2=AC2+BC2=２２５，ＡＢ＝１５㎝，所以螞蟻爬行的最短路線為１５㎝。CAB七、CAB1、通過這節(jié)課的學習活動你有哪些收獲？2、通過本節(jié)課的學習，你獲得了那些