專題27 垂美四邊形（原卷版）

專題27垂美四邊形

一、填空題

1．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD

交于點(diǎn)O．若AD2，BC4，則AB2CD2．

二、解答題

2．概念理解：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形

（1）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出AB2、CD2、AD2、BC2的數(shù)量關(guān)系：．

（2）解決問(wèn)題：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連結(jié)CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)（可直接利用（1）中性質(zhì)）

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3．若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，判斷四邊形ABCD是否為垂美四邊形，

并說(shuō)明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE、BG、GE、CE交BG于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M．若AB=3，AC=2，求線段GE的長(zhǎng)．

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4．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB2，CD2與BC2，AD2之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）問(wèn)題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長(zhǎng)．

第3頁(yè)共19頁(yè).

5．若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，判斷四邊形ABCD是否為垂美四邊形，

并說(shuō)明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFD和正方形ABGE，

連接BD、CE、DE，CE分別交AB、BD于點(diǎn)M、N，若AB＝2，AC＝3，求線段DE的長(zhǎng)．

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6．如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填

寫序號(hào)）；

（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）問(wèn)題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長(zhǎng)．

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7．（1）【知識(shí)感知】如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過(guò)的：①平行四邊

形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______（只填序號(hào)）

（2）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由．

（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形ABCD的兩對(duì)角線交于點(diǎn)O，試探究AB，CD，BC，AD之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？寫出你的猜想__________________；

（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以RtABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE長(zhǎng)．

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8．閱讀理解：如圖1，若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則稱這個(gè)四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由；

（2）性質(zhì)探究：如圖1，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連結(jié)CE、BG、GE、CE交BG于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M．已知AC＝3，AB＝2，求GE的長(zhǎng)．

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三、證明題

9．如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)

明理由．

（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過(guò)程

（先畫出圖形）

（3）問(wèn)題解決：如圖，分別以RtACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE已知AC4，AB5，求GE的長(zhǎng)．

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10．連接四邊形不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對(duì)角線，如圖1，四邊形ABCD中線段AC、線段BD就

是四邊形ABCD的對(duì)角線.把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系．

猜想結(jié)論：（要求用文字語(yǔ)言敘述）

寫出證明過(guò)程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．

（3）問(wèn)題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長(zhǎng)．

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11．小新學(xué)習(xí)了特殊的四邊形一平行四邊形后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊

形，如圖1，我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是______．

(2)性質(zhì)探究：通過(guò)探究，直接寫出垂美四邊形ABCD的面積S與兩對(duì)角線AC，BD之間的數(shù)量關(guān)系：______．

(3)問(wèn)題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC8，AB10．

①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；

②直接寫出四邊形BCGE的面積．

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12．問(wèn)題情景：如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學(xué)過(guò)的平

行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“菱形”也是“垂美四邊形”．

概念理解：

（1）如圖2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四邊形”，AB6，CD8，求AD的長(zhǎng)．

性質(zhì)探究：

（2）如圖3，已知四邊形ABCD是“垂美四邊形”，試探究其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量

關(guān)系，并寫出證明過(guò)程．

問(wèn)題解決：

（3）如圖4，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG與正方形ABDE，連接CE，

BG，GE，CE與BG交于點(diǎn)O，已知AC3，AB5，求OGE的中線OH的長(zhǎng)．

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13．如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（如圖1）

（1）概念理解：在平行四邊形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四邊形的是；

（2）性質(zhì)證明：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)

系_________________________；

（3）問(wèn)題解決：如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．

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14．我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【概念理解】在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是.

(2)【性質(zhì)探究】如圖2，試探索垂美四邊形ABCD的兩組對(duì)邊AB,CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明

過(guò)程．

(3)【問(wèn)題解決】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE,BG,GE,已知AC=3,BC=1求GE的長(zhǎng).

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15．閱讀理解：如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：

垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等．

已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E．

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形

∴AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

拓展探究：

（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）如圖3，在Rt△ABC中，點(diǎn)F為斜邊BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角

形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說(shuō)明理

由；

問(wèn)題解決：

如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，

已知AC=4，AB=5．求GE長(zhǎng)．

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16．定義，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由．

性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，

并給出證明．

問(wèn)題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)

CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；

②GE=．

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17．我們定義：對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BE，CG，

GE．

①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；

②若AC＝4，AB＝5，求GE的長(zhǎng)．

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18．我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖1，四邊形ABCD中對(duì)角線ACBD于點(diǎn)O．所

以四邊形ABCD是垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，若ABAD，CBCD，試判斷四邊形ABCD是垂美四邊形

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）性質(zhì)探究：在圖1中，我們發(fā)現(xiàn)垂美四邊形ABCD的兩組對(duì)邊滿足：AB2CD2AD2BC2；請(qǐng)你證

明這個(gè)結(jié)論．

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，請(qǐng)你用“（2）性質(zhì)探究”中的結(jié)論解決下面問(wèn)題：分別以RtACB的直角邊AC和

斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC4，AB5，求GE的長(zhǎng)．

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四、作圖題

19．定義：有一組鄰邊垂直且對(duì)角線相等的