2025人教版物理重難點(diǎn)-選擇性必修一人教版物理重難點(diǎn)-必修三專題2.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【八大題型】（含答案）

2025人教版物理重難點(diǎn)-選擇性必修一人教版物理重難點(diǎn)-必修三專題2.1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【八大題型】（含答案）專題1.3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1水平彈簧振子】 【題型2豎直彈簧振子】 【題型3單擺】 【題型4等效單擺】 【題型5振動(dòng)圖像的應(yīng)用】 【題型6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性】 【題型7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性】 【題型8簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的應(yīng)用】 【題型1水平彈簧振子】【例1】如圖所示，物體A置于物體B上，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與B相連，現(xiàn)從彈簧處于壓縮狀態(tài)開始釋放A、B，在彈簧的彈性限度內(nèi)，A、B在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止。若取向右為正方向，則從釋放開始，A、B向右運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，物體A的速度v和所受摩擦力Ff隨時(shí)間變化的關(guān)系圖像正確的是()【變式1-1】(多選)如圖甲所示，以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，彈簧振子在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，圖乙為這個(gè)彈簧振子的振動(dòng)圖象.下列說法中正確的是()A.在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子的加速度為正向最大B.在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子在同一位置C.從t＝0到t＝0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)D.在t＝0.6s時(shí)，彈簧振子有最小的彈性勢(shì)能【變式1-2】如圖甲所示，水平放置的彈簧振子在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O是平衡位置，以向右為正方向，其振動(dòng)圖像如圖乙所示，則()A．A、O間的距離為4cmB．0.1s末，小球位于A點(diǎn)C．0.2s末，小球有正向的最大速度D．在0.2～0.3s內(nèi)，小球從O向A做減速運(yùn)動(dòng)【變式1-3】(2022·青島調(diào)研)如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在光滑水平面上的A、B兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，A、B為分居O點(diǎn)左右兩側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)。取水平向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間t變化的正弦曲線如圖乙所示，下列說法正確的是()A．t＝0.6s時(shí)，振子在O點(diǎn)右側(cè)6cm處B．振子在t＝0.2s和t＝1.0s時(shí)的速度相同C．t＝1.2s時(shí)，振子的加速度方向水平向右D．t＝1.0s到t＝1.4s的時(shí)間內(nèi)，振子的加速度和速度都逐漸增大【題型2豎直彈簧振子】【例2】(多選)如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在C、D兩點(diǎn)之間做周期為T的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).已知在t1時(shí)刻物塊的速度大小為v、方向向下，動(dòng)能為Ek.下列說法正確的是()A.如果在t2時(shí)刻物塊的速度大小也為v，方向向下，則t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B.如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek，則t2－t1的最小值為eq\f(T,2)C.當(dāng)物塊通過O點(diǎn)時(shí)，其加速度最小D.物塊在C、D兩點(diǎn)的加速度相同【變式2-1】[多選]如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，物塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0時(shí)刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6s時(shí)，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g＝10m/s2。以下判斷正確的是()A.h＝1.7mB．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8sC．0.6s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程為0.2mD．t＝0.4s時(shí)，物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反【變式2-2】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定，下端懸掛一物塊，取物塊靜止時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，向下為正方向，建立Ox坐標(biāo)軸?，F(xiàn)將物塊豎直向下拉到A位置后由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力。已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，A位置的坐標(biāo)為x1，重力加速度為g。下列說法正確的是()A．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2x1B．在任意eq\f(1,4)周期內(nèi)物塊通過的路程一定等于x1C．物塊在A位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為kx1D．物塊到O位置時(shí)的動(dòng)能為eq\f(1,2)kx12－mgx1【變式2-3】如圖所示，彈簧下面掛一質(zhì)量為m的物體，物體在豎直方向上做振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，則物體在振動(dòng)過程中()A．彈簧的最大彈性勢(shì)能等于2mgAB．彈簧的彈性勢(shì)能和物體動(dòng)能總和不變C．物體在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小應(yīng)為2gD．物體在最低點(diǎn)時(shí)所受彈簧的彈力大小應(yīng)為mg【題型3單擺】【例3】[多選]圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說法中正確的是()A．甲、乙兩單擺的振幅之比為2∶1B．t＝2s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最小，乙單擺的動(dòng)能為零C．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定相等【變式3-1】如圖所示，房頂上固定一根長(zhǎng)2.5m的細(xì)線沿豎直墻壁垂到窗沿下，細(xì)線下端系了一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。打開窗子，讓小球在垂直于窗子的豎直平面內(nèi)小幅度擺動(dòng)，窗上沿到房頂?shù)母叨葹?.6m，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，則小球從最左端運(yùn)動(dòng)到最右端所用的最短時(shí)間為()A．2.0πsB．0.4πsC．0.6πs D．1.2πs【變式3-2】如圖所示，兩個(gè)擺長(zhǎng)均為L(zhǎng)的單擺，擺球A、B質(zhì)量分別為m1、m2，懸點(diǎn)均為O。在O點(diǎn)正下方0.19L處固定一小釘。初始時(shí)刻B靜止于最低點(diǎn)，其擺線緊貼小釘右側(cè)，A從圖示位置由靜止釋放(θ足夠小)，在最低點(diǎn)與B發(fā)生彈性正碰。兩擺在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中均滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)條件，懸線始終保持繃緊狀態(tài)且長(zhǎng)度不變，擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)碰撞時(shí)間及空氣阻力，重力加速度為g。下列選項(xiàng)正確的是()A．若m1＝m2，則A、B在擺動(dòng)過程中最大振幅之比為9∶10B．若m1＝m2，則每經(jīng)過1.9πeq\r(\f(L,g))時(shí)間A回到最高點(diǎn)C．若m1>m2，則A與B第二次碰撞不在最低點(diǎn)D．m1<m2，則A與B第二次碰撞必在最低點(diǎn)【變式3-3】如圖，長(zhǎng)為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在O點(diǎn)正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球a擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會(huì)受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對(duì)于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是()【變式3-4】(多選)關(guān)于單擺，下列說法正確的是()A.將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，單擺周期變大B.將單擺的擺角從4°改為2°，單擺的周期變小C.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大D.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，受到的合力為零【題型4等效單擺】【例4】如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，C為弧形槽最低點(diǎn)，R?Aeq\x\to(B)。甲球從弧形槽的球心處自由下落，乙球從A點(diǎn)由靜止釋放，問：(1)兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比；(2)若在弧形槽的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放甲球，讓其自由下落，同時(shí)將乙球從弧形槽左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在弧形槽最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度h是多少？【變式4-1】如圖所示，小球m自A點(diǎn)以指向AD方向的初速度v逐漸接近固定在D點(diǎn)的小球n，已知=0.8m，AB圓弧半徑R=10m，AD=10m，A、B、C、D在同一水平面上，則v為多大時(shí)，才能使m恰好碰到小球n？（g取10m/s2，不計(jì)一切摩擦）【變式4-2】[多選]如圖所示，長(zhǎng)度為l的輕繩上端固定在點(diǎn)O，下端系一小球(小球可以看成質(zhì)點(diǎn))。在點(diǎn)O正下方，距點(diǎn)O為eq\f(3l,4)處的點(diǎn)P固定一顆小釘子?，F(xiàn)將小球拉到點(diǎn)A處，輕繩被拉直，然后由靜止釋放小球。點(diǎn)B是小球運(yùn)動(dòng)的最低位置，點(diǎn)C(圖中未標(biāo)出)是小球能夠到達(dá)的左方最高位置。已知點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的高度差為h，h?l。A、B、C、P、O在同一豎直平面內(nèi)。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是()A．點(diǎn)C與點(diǎn)B高度差小于hB．點(diǎn)C與點(diǎn)B高度差等于hC．小球擺動(dòng)的周期等于eq\f(3π,2)eq\r(\f(l,g))D．小球擺動(dòng)的周期等于eq\f(3π,4)eq\r(\f(l,g))【變式4-3】如圖所示，用兩根長(zhǎng)度都為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A，繩與水平方向的夾角為α。使球A垂直于紙面做擺角小于5°的擺動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過平衡位置的瞬間，另一小球B從A球的正上方自由下落，此后A球第3次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)B球恰擊中A球，求B球下落的高度h?！绢}型5振動(dòng)圖像的應(yīng)用】【例5】(多選)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以O(shè)為中心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移隨時(shí)間變化的圖象如圖7，a、b、c、d表示質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的相應(yīng)位置.下列說法正確的是()A.質(zhì)點(diǎn)通過位置c時(shí)速度最大，加速度為零B.質(zhì)點(diǎn)通過位置b時(shí)，相對(duì)平衡位置的位移為eq\f(A,2)C.質(zhì)點(diǎn)從位置a到位置c和從位置b到位置d所用時(shí)間相等D.質(zhì)點(diǎn)從位置a到位置b和從位置b到位置c的平均速度相等E.質(zhì)點(diǎn)通過位置b和通過位置d時(shí)速度方向相同，加速度方向相反【變式5-1】(多選)如圖所示是甲、乙兩個(gè)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列說法中正確的是()A.甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1B.t＝2s時(shí)，甲擺的重力勢(shì)能最小，乙擺的動(dòng)能為零C.甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1D.甲、乙兩擺擺球在最低點(diǎn)時(shí)擺線的拉力大小一定相等【變式5-2】如圖是質(zhì)量相等的甲、乙兩個(gè)物體分別做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像，下列說法錯(cuò)誤的是()A．甲、乙兩物體的振幅分別是2m和1mB．甲的振動(dòng)頻率比乙的大C．前2s內(nèi)，兩物體的加速度均為負(fù)值D．第2s末，甲的速度最大，乙的加速度最大【變式5-3】(多選)某彈簧振子在水平方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖所示，則()A.彈簧振子在t＝0到t＝10s內(nèi)路程為0.5mB.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率是0.125HzC.彈簧振子在第4s末的位移為零D.在第3s末與第5s末彈簧振子的速度方向相同E.第5s末，彈簧振子的速度與加速度均為正值【變式5-4】如圖所示為某彈簧振子在0～5s內(nèi)的振動(dòng)圖像，由圖可知，下列說法中正確的是()A．振動(dòng)周期為5s，振幅為8cmB．第2s末振子的速度為零，加速度為負(fù)向的最大值C．從第1s末到第2s末振子在做加速運(yùn)動(dòng)D．第3s末振子的速度為正向的最大值【題型6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性】【例6】(多選)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，從它經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過0.3s第一次到達(dá)點(diǎn)M，再經(jīng)過0.2s第二次到達(dá)點(diǎn)M，則彈簧振子的周期可能為()A．0.53sB．1.4sC．1.6s D．2s【變式6-1】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O點(diǎn)附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過3s質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過M點(diǎn)，如圖所示，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過4s第二次經(jīng)過M點(diǎn)，則再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第三次經(jīng)過M點(diǎn)()A.7s B.14sC.16s D.eq\f(10,3)s【變式6-2】(多選)一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則以下說法正確的是()A.振子的加速度方向始終指向平衡位置B.已知振動(dòng)周期為T，若Δt＝T，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相同C.若t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度相等，則Δt一定為振動(dòng)周期的整數(shù)倍D.振子的動(dòng)能相等時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度不一定相等【變式6-3】彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在水平方向上的A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是（）A．振子在A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度和位移均為零B．振子在通過O點(diǎn)時(shí)速度的方向?qū)l(fā)生改變C．振子所受的彈力方向總跟速度方向相反D．振子離開O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是減速運(yùn)動(dòng)，靠近O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是加速運(yùn)動(dòng)【題型7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性】【例7】彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B、C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在t＝0時(shí)刻，振子從O、B間的P點(diǎn)以速度v向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；在t＝0.2s時(shí)，振子速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.5s時(shí)，振子速度第二次變?yōu)椋璿。(1)求彈簧振子振動(dòng)周期T；(2)若B、C之間的距離為25cm，求振子在4.0s內(nèi)通過的路程；(3)若B、C之間的距離為25cm，從平衡位置計(jì)時(shí)，寫出彈簧振子位移表達(dá)式，并畫出彈簧振子的振動(dòng)圖像。【變式7-1】做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，其擺長(zhǎng)不變，若擺球的質(zhì)量增加為原來的eq\f(9,4)倍，擺球經(jīng)過平衡位置的速度減為原來的eq\f(2,3)，則單擺振動(dòng)的()A．周期不變，振幅不變 B．周期不變，振幅變小C．周期改變，振幅不變 D．周期改變，振幅變大【變式7-2】關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及完成一次全振動(dòng)的意義，以下說法正確的是()A．位移的方向總跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同B．動(dòng)能或勢(shì)能第一次恢復(fù)為原來的大小所經(jīng)歷的過程為一次全振動(dòng)C．速度和加速度第一次同時(shí)恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動(dòng)D．物體運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，速度的方向與位移的方向相同；背離平衡位置時(shí)，速度方向與位移方向相反【變式7-3】一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦井底部擺動(dòng)周期的比值為k.設(shè)地球的半徑為R，地球的密度均勻．已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度d.【題型8簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的應(yīng)用】【例8】(2021·江蘇高考)如圖所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線下，圓盤的轉(zhuǎn)軸A和釘子B在右側(cè)墻壁上形成影子O和P，以O(shè)為原點(diǎn)在豎直方向上建立x坐標(biāo)系。t＝0時(shí)從圖示位置沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，角速度為ω，則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為()A．x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2))) B．x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,2)))C．x＝2Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2))) D．x＝2Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,2)))【變式8-1】(多選)某質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系式為x＝3sin(eq\f(2π,3)t＋eq\f(π,2))cm，則()A.質(zhì)點(diǎn)的振幅為3cmB.質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為3sC.質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為eq\f(2π,3)sD.t＝0.75s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置【變式8-2】一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程是x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50πt＋\f(π,2)))cm，則()A．在0至0.02s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的速度與加速度方向始終相同B．在0.02s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)具有沿x軸正方向的最大加速度C．在0.035s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度方向與加速度方向均沿x軸正方向D．在0.04s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受回復(fù)力最大，速度方向沿x軸負(fù)方向【變式8-3】一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當(dāng)日風(fēng)浪較大，游船上下浮動(dòng)。可把游船浮動(dòng)簡(jiǎn)化成豎直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為20cm，周期為3.0s。當(dāng)船上升到最高點(diǎn)時(shí)，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10cm時(shí)，游客能舒服地登船。在一個(gè)周期內(nèi)，游客能舒服登船的時(shí)間是()A．0.5s B．0.75sC．1.0s D．1.5s

參考答案【題型1水平彈簧振子】【例1】如圖所示，物體A置于物體B上，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與B相連，現(xiàn)從彈簧處于壓縮狀態(tài)開始釋放A、B，在彈簧的彈性限度內(nèi)，A、B在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止。若取向右為正方向，則從釋放開始，A、B向右運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，物體A的速度v和所受摩擦力Ff隨時(shí)間變化的關(guān)系圖像正確的是()解析：選B由于物體A、B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)物體A、B向右運(yùn)動(dòng)，速度為正，位移越來越小，則速度越來越大，A、B的回復(fù)力由彈簧彈力提供，從開始釋放到回到平衡位置過程中回復(fù)力減小，則加速度減小，運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為0，加速度為0，此過程中加速度逐漸減小，v-t圖像的斜率減小，過平衡位置后，物體A、B繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，速度仍為正，位移越來越大，速度越來越小，回復(fù)力越來越大，回復(fù)力方向變?yōu)橄蜃?，則加速度大小變大，方向改變，即v-t圖像的斜率變大，斜率切線變?yōu)樨?fù)，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)A受力分析可知，A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力由B對(duì)A的摩擦力提供，A從初始位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)過程中，回復(fù)力方向向右，則摩擦力方向向右即為正，回復(fù)力大小為F＝－kx＝Ff，此過程中位移減小，摩擦力減小，即摩擦力與位移呈線性關(guān)系，且為正值，但此過程中物體A做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，同理，物體A從平衡位置向右運(yùn)動(dòng)的過程中，摩擦力與位移也呈線性關(guān)系，但此過程中物體A做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)即加速度向左，摩擦力向左，應(yīng)為負(fù)值，C、D錯(cuò)誤。【變式1-1】(多選)如圖甲所示，以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，彈簧振子在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，圖乙為這個(gè)彈簧振子的振動(dòng)圖象.下列說法中正確的是()A.在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子的加速度為正向最大B.在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子在同一位置C.從t＝0到t＝0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)D.在t＝0.6s時(shí)，彈簧振子有最小的彈性勢(shì)能答案BC解析在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子的位移為正向最大值，a＝－eq\f(kx,m)，知彈簧振子的加速度為負(fù)向最大，A錯(cuò)誤；在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的位移相同，說明彈簧振子在同一位置，B正確；從t＝0到t＝0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)，位移逐漸增大，加速度逐漸增大，加速度方向與速度方向相反，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，C正確；在t＝0.6s時(shí)，彈簧振子的位移為負(fù)向最大值，即彈簧的形變量最大，彈簧振子的彈性勢(shì)能最大，D錯(cuò)誤.【變式1-2】如圖甲所示，水平放置的彈簧振子在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O是平衡位置，以向右為正方向，其振動(dòng)圖像如圖乙所示，則()A．A、O間的距離為4cmB．0.1s末，小球位于A點(diǎn)C．0.2s末，小球有正向的最大速度D．在0.2～0.3s內(nèi)，小球從O向A做減速運(yùn)動(dòng)解析：選D由振動(dòng)圖像可知，振幅為2cm，所以A、O間的距離為2cm，A錯(cuò)誤；0.1s末，小球在正向最大位移處，即位于B點(diǎn)，B錯(cuò)誤；0.2s末，小球速度方向沿x軸負(fù)方向，并且速度最大，C錯(cuò)誤；在0.2～0.3s內(nèi)，小球沿負(fù)向的速度逐漸減小，到達(dá)負(fù)向最大位移A處時(shí)速度減為零，則小球從O向A做減速運(yùn)動(dòng)，D正確?！咀兪?-3】(2022·青島調(diào)研)如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在光滑水平面上的A、B兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，A、B為分居O點(diǎn)左右兩側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)。取水平向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間t變化的正弦曲線如圖乙所示，下列說法正確的是()A．t＝0.6s時(shí)，振子在O點(diǎn)右側(cè)6cm處B．振子在t＝0.2s和t＝1.0s時(shí)的速度相同C．t＝1.2s時(shí)，振子的加速度方向水平向右D．t＝1.0s到t＝1.4s的時(shí)間內(nèi)，振子的加速度和速度都逐漸增大解析：選C由題圖可知，彈簧振子的振幅為0.12m，周期為1.6s，所以ω＝eq\f(2π,T)＝1.25πrad/s，結(jié)合振動(dòng)圖像得，振動(dòng)方程為x＝0.12sin(1.25πt)m，在t＝0.6s時(shí)，振子的位移x1＝0.12sin(1.25π×0.6)m＝6eq\r(2)cm，A錯(cuò)誤；由振動(dòng)圖像可知，t＝0.2s時(shí)振子從平衡位置向右運(yùn)動(dòng)，t＝1.0s時(shí)振子從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)，速度方向不同，B錯(cuò)誤；t＝1.2s時(shí)，振子到達(dá)A處，振子的加速度方向水平向右，C正確；t＝1.0s到t＝1.2s的時(shí)間內(nèi)振子向負(fù)向最大位移處運(yùn)動(dòng)，速度減小，加速度增大；t＝1.2s到t＝1.4s時(shí)間內(nèi)振子從負(fù)向最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則速度增大，加速度減小，D錯(cuò)誤。【題型2豎直彈簧振子】【例2】(多選)如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在C、D兩點(diǎn)之間做周期為T的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).已知在t1時(shí)刻物塊的速度大小為v、方向向下，動(dòng)能為Ek.下列說法正確的是()A.如果在t2時(shí)刻物塊的速度大小也為v，方向向下，則t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B.如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek，則t2－t1的最小值為eq\f(T,2)C.當(dāng)物塊通過O點(diǎn)時(shí)，其加速度最小D.物塊在C、D兩點(diǎn)的加速度相同答案AC解析如果在t1時(shí)刻物塊位于O點(diǎn)上方且向下運(yùn)動(dòng)，t2時(shí)刻物塊位于O點(diǎn)下方且與t1時(shí)刻物塊速度相同，則t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，選項(xiàng)A正確；如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek，則t2時(shí)刻物塊速度與t1時(shí)刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；題圖中O點(diǎn)是平衡位置，物塊通過O點(diǎn)時(shí)位移最小，根據(jù)a＝－eq\f(kx,m)知，其加速度最小，選項(xiàng)C正確；C、D兩點(diǎn)關(guān)于平衡位置對(duì)稱，加速度等大反向，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【變式2-1】[多選]如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，物塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0時(shí)刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6s時(shí)，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g＝10m/s2。以下判斷正確的是()A.h＝1.7mB．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8sC．0.6s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程為0.2mD．t＝0.4s時(shí)，物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反[思路點(diǎn)撥](1)由物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式確定物塊的振幅和振動(dòng)周期。(2)確定0.6s時(shí)物塊所在的位置。(3)確定0.6s時(shí)小球下落的高度與h的關(guān)系。[解析]由物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式y(tǒng)＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，選項(xiàng)B正確；t＝0.6s時(shí)，y＝－0.1m，對(duì)小球：h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，選項(xiàng)A正確；物塊0.6s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為0.3m，t＝0.4s時(shí)，物塊經(jīng)過平衡位置向下運(yùn)動(dòng)，與小球運(yùn)動(dòng)方向相同，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。[答案]AB【變式2-2】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定，下端懸掛一物塊，取物塊靜止時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，向下為正方向，建立Ox坐標(biāo)軸?，F(xiàn)將物塊豎直向下拉到A位置后由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力。已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，A位置的坐標(biāo)為x1，重力加速度為g。下列說法正確的是()A．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2x1B．在任意eq\f(1,4)周期內(nèi)物塊通過的路程一定等于x1C．物塊在A位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為kx1D．物塊到O位置時(shí)的動(dòng)能為eq\f(1,2)kx12－mgx1解析：選C該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為x1，A錯(cuò)誤；物塊運(yùn)動(dòng)過程中，靠近平衡位置時(shí)運(yùn)動(dòng)比較快，遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)運(yùn)動(dòng)比較慢，所以在不經(jīng)過平衡位置的eq\f(1,4)周期內(nèi)物塊通過的路程小于x1，B錯(cuò)誤；物塊在O位置時(shí)受力平衡，有kx0＝mg，x0為彈簧伸長(zhǎng)量，在A位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正確；物塊從A位置回到O位置時(shí)，根據(jù)能量守恒定律得eq\f(1,2)k(x1＋x0)2＝mgx1＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)kx02，解得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)k(x1＋x0)2－mgx1－eq\f(1,2)kx02，D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖所示，彈簧下面掛一質(zhì)量為m的物體，物體在豎直方向上做振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，則物體在振動(dòng)過程中()A．彈簧的最大彈性勢(shì)能等于2mgAB．彈簧的彈性勢(shì)能和物體動(dòng)能總和不變C．物體在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小應(yīng)為2gD．物體在最低點(diǎn)時(shí)所受彈簧的彈力大小應(yīng)為mg解析：選A因物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，此時(shí)彈簧彈力等于零，物體的重力mg＝F回＝kA，當(dāng)物體在最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大等于2mgA，A對(duì)；在最低點(diǎn)，由F回＝mg＝ma知，C錯(cuò)；由F彈－mg＝F回得F彈＝2mg，D錯(cuò)；由能量守恒知，彈簧的彈性勢(shì)能和物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能三者的總和不變，B錯(cuò)?！绢}型3單擺】【例3】[多選]圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說法中正確的是()A．甲、乙兩單擺的振幅之比為2∶1B．t＝2s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最小，乙單擺的動(dòng)能為零C．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定相等解析：選AB由題圖知，甲、乙兩單擺的振幅分別為4cm、2cm，故選項(xiàng)A正確；t＝2s時(shí)，甲單擺在平衡位置處，乙單擺在振動(dòng)的正方向最大位移處，故選項(xiàng)B正確；由單擺的周期公式，推出甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝T甲2∶T乙2＝1∶4，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)擺球擺動(dòng)的最大偏角為θ，由mgl(1－cosθ)＝eq\f(1,2)mv2及a＝eq\f(v2,l)可得，擺球在最低點(diǎn)時(shí)向心加速度a＝2g(1－cosθ)，因兩擺球的最大偏角θ滿足sinθ＝eq\f(A,l)，故θ甲>θ乙，所以a甲>a乙，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖所示，房頂上固定一根長(zhǎng)2.5m的細(xì)線沿豎直墻壁垂到窗沿下，細(xì)線下端系了一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。打開窗子，讓小球在垂直于窗子的豎直平面內(nèi)小幅度擺動(dòng)，窗上沿到房頂?shù)母叨葹?.6m，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，則小球從最左端運(yùn)動(dòng)到最右端所用的最短時(shí)間為()A．2.0πsB．0.4πsC．0.6πs D．1.2πs解析：選B小球的擺動(dòng)可視為單擺運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為線長(zhǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期：T1＝2πeq\r(\f(l1,g))＝πs，擺長(zhǎng)為線長(zhǎng)減去墻體長(zhǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期T2＝2πeq\r(\f(l1－l2,g))＝0.6πs，故小球從最左端到最右端所用的最短時(shí)間為t＝eq\f(T1＋T2,4)＝0.4πs，B正確?！咀兪?-2】如圖所示，兩個(gè)擺長(zhǎng)均為L(zhǎng)的單擺，擺球A、B質(zhì)量分別為m1、m2，懸點(diǎn)均為O。在O點(diǎn)正下方0.19L處固定一小釘。初始時(shí)刻B靜止于最低點(diǎn)，其擺線緊貼小釘右側(cè)，A從圖示位置由靜止釋放(θ足夠小)，在最低點(diǎn)與B發(fā)生彈性正碰。兩擺在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中均滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)條件，懸線始終保持繃緊狀態(tài)且長(zhǎng)度不變，擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)碰撞時(shí)間及空氣阻力，重力加速度為g。下列選項(xiàng)正確的是()A．若m1＝m2，則A、B在擺動(dòng)過程中最大振幅之比為9∶10B．若m1＝m2，則每經(jīng)過1.9πeq\r(\f(L,g))時(shí)間A回到最高點(diǎn)C．若m1>m2，則A與B第二次碰撞不在最低點(diǎn)D．m1<m2，則A與B第二次碰撞必在最低點(diǎn)解析：選D若m1＝m2，則兩球碰撞后交換速度，所以A、B在擺動(dòng)過程中最大振幅相等，兩球的振動(dòng)完全一樣，所以每經(jīng)過2πeq\r(\f(L,g))時(shí)間A回到最高點(diǎn)，A、B錯(cuò)誤；擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的周期為T＝2πeq\r(\f(L,g))，擺長(zhǎng)為0.81L的周期為T′＝1.8πeq\r(\f(L,g))，若m1>m2，則碰后A球向右運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)變?yōu)?.81L，B球擺回最低點(diǎn)后向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)為0.81L，所以兩擺的周期均為T″＝eq\f(1,2)T＋eq\f(1,2)T′＝1.9πeq\r(\f(L,g))，即第一次在最低點(diǎn)碰撞后，經(jīng)過一個(gè)周期發(fā)生第二次碰撞，位置仍然在最低點(diǎn)，C錯(cuò)誤；若m1<m2，則A與B碰后，A反彈，兩球的擺長(zhǎng)一樣，周期一樣，所以各經(jīng)過半個(gè)周期后，在最低點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞，D正確?！咀兪?-3】如圖，長(zhǎng)為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在O點(diǎn)正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球a擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會(huì)受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對(duì)于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是()解析：選A擺長(zhǎng)為l時(shí)單擺的周期T1＝2πeq\r(\f(l,g))，振幅A1＝lα(α為擺角，α很小時(shí)，sinα＝α)，擺長(zhǎng)為eq\f(1,4)l時(shí)單擺的周期T2＝2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(T1,2)，振幅A2＝eq\f(1,4)lβ(β為擺角)。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mgeq\f(l,4)(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，cosβ＝1－2sin2eq\f(β,2)，以及sinα＝tanα＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq\f(1,2)A1，A正確。【變式3-4】(多選)關(guān)于單擺，下列說法正確的是()A.將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，單擺周期變大B.將單擺的擺角從4°改為2°，單擺的周期變小C.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大D.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，受到的合力為零答案AC解析將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，因重力加速度減小，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺周期變大，選項(xiàng)A正確；單擺的周期與擺角無(wú)關(guān)，將單擺的擺角從4°改為2°，單擺的周期不變，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大，有向心加速度，則受到的合力不為零，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.【題型4等效單擺】【例4】如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，C為弧形槽最低點(diǎn)，R?Aeq\x\to(B)。甲球從弧形槽的球心處自由下落，乙球從A點(diǎn)由靜止釋放，問：(1)兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比；(2)若在弧形槽的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放甲球，讓其自由下落，同時(shí)將乙球從弧形槽左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在弧形槽最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度h是多少？解析：(1)甲球做自由落體運(yùn)動(dòng)R＝eq\f(1,2)gt12，所以t1＝eq\r(\f(2R,g))乙球沿弧形槽做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(由于Aeq\x\to(C)?R，可認(rèn)為偏角θ<5°)。此運(yùn)動(dòng)與一個(gè)擺長(zhǎng)為R的單擺運(yùn)動(dòng)模型相同，故此等效擺長(zhǎng)為R，因此乙球第1次到達(dá)C處的時(shí)間為t2＝eq\f(1,4)T＝eq\f(1,4)×2πeq\r(\f(R,g))＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))，所以t1∶t2＝2eq\r(2)∶π。(2)甲球從離弧形槽最低點(diǎn)h高處自由下落，到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t甲＝eq\r(\f(2h,g))由于乙球運(yùn)動(dòng)的周期性，所以乙球到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t乙＝eq\f(T,4)＋neq\f(T,2)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))(2n＋1)(n＝0,1,2，…)由于甲、乙兩球在C點(diǎn)相遇，故t甲＝t乙聯(lián)立解得h＝eq\f(2n＋12π2R,8)(n＝0,1,2，…)。答案：(1)2eq\r(2)∶π(2)eq\f(2n＋12π2R,8)(n＝0,1,2，…)【變式4-1】如圖所示，小球m自A點(diǎn)以指向AD方向的初速度v逐漸接近固定在D點(diǎn)的小球n，已知=0.8m，AB圓弧半徑R=10m，AD=10m，A、B、C、D在同一水平面上，則v為多大時(shí)，才能使m恰好碰到小球n？（g取10m/s2，不計(jì)一切摩擦）答案：v=m/s（k=1，2，3…）解析：小球m的運(yùn)動(dòng)是由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成的。這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)分別是：以速度v在AD方向的勻速運(yùn)動(dòng)和在圓弧面上的往復(fù)滑動(dòng)。因?yàn)?R，所以小球在圓弧面上的往復(fù)滑動(dòng)具有等時(shí)性，其周期為T=2π設(shè)小球m恰好能碰到小球n，則有且滿足t=kT（k=1，2，3…）又T=2π聯(lián)立解得v=m/s（k=1，2，3…）【變式4-2】[多選]如圖所示，長(zhǎng)度為l的輕繩上端固定在點(diǎn)O，下端系一小球(小球可以看成質(zhì)點(diǎn))。在點(diǎn)O正下方，距點(diǎn)O為eq\f(3l,4)處的點(diǎn)P固定一顆小釘子?，F(xiàn)將小球拉到點(diǎn)A處，輕繩被拉直，然后由靜止釋放小球。點(diǎn)B是小球運(yùn)動(dòng)的最低位置，點(diǎn)C(圖中未標(biāo)出)是小球能夠到達(dá)的左方最高位置。已知點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的高度差為h，h?l。A、B、C、P、O在同一豎直平面內(nèi)。當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間，不計(jì)空氣阻力。下列說法正確的是()A．點(diǎn)C與點(diǎn)B高度差小于hB．點(diǎn)C與點(diǎn)B高度差等于hC．小球擺動(dòng)的周期等于eq\f(3π,2)eq\r(\f(l,g))D．小球擺動(dòng)的周期等于eq\f(3π,4)eq\r(\f(l,g))解析：選BC由于h?l，故小球的運(yùn)動(dòng)可看成單擺運(yùn)動(dòng)，其周期T＝eq\f(1,2)·2πeq\r(\f(l,g))＋eq\f(1,2)·2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝eq\f(3π,2)eq\r(\f(l,g))，故C正確，D錯(cuò)誤；小球擺動(dòng)過程不計(jì)空氣阻力，其機(jī)械能守恒，點(diǎn)A、C應(yīng)等高，故A錯(cuò)誤，B正確。【變式4-3】如圖所示，用兩根長(zhǎng)度都為L(zhǎng)的細(xì)繩懸掛一個(gè)小球A，繩與水平方向的夾角為α。使球A垂直于紙面做擺角小于5°的擺動(dòng)，當(dāng)它經(jīng)過平衡位置的瞬間，另一小球B從A球的正上方自由下落，此后A球第3次經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)B球恰擊中A球，求B球下落的高度h。答案：π2Lsinα【解析】球A垂直于紙面做擺角小于5°的擺動(dòng)等效于一個(gè)單擺，擺長(zhǎng)為l=Lsinα所以A球振動(dòng)周期T=2π設(shè)B球自由下落的時(shí)間為t，則它擊中A球時(shí)下落的高度h=gt2則t=A球經(jīng)過平衡位置，接著返回到平衡位置的時(shí)間為半個(gè)周期，即=π從B球開始下落至擊中A球，A球振動(dòng)的時(shí)間為的3倍t=3×=3π則解得h=π2Lsinα

?【題型5振動(dòng)圖像的應(yīng)用】【例5】(多選)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以O(shè)為中心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移隨時(shí)間變化的圖象如圖7，a、b、c、d表示質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的相應(yīng)位置.下列說法正確的是()A.質(zhì)點(diǎn)通過位置c時(shí)速度最大，加速度為零B.質(zhì)點(diǎn)通過位置b時(shí)，相對(duì)平衡位置的位移為eq\f(A,2)C.質(zhì)點(diǎn)從位置a到位置c和從位置b到位置d所用時(shí)間相等D.質(zhì)點(diǎn)從位置a到位置b和從位置b到位置c的平均速度相等E.質(zhì)點(diǎn)通過位置b和通過位置d時(shí)速度方向相同，加速度方向相反答案ACE解析質(zhì)點(diǎn)通過位置c，即平衡位置時(shí)，此時(shí)速度最大，加速度為零，故A正確；x－t圖象是正弦圖象，故質(zhì)點(diǎn)通過位置b時(shí)，相對(duì)平衡位置的位移為eq\f(\r(2),2)A，故B錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)從位置a到c和從位置b到d所用的時(shí)間相等，均為2s，故C正確；質(zhì)點(diǎn)從位置a到b和從b到c的過程中時(shí)間相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D錯(cuò)誤.因?yàn)閤－t圖象的斜率表示速度，則質(zhì)點(diǎn)通過位置b和通過位置d時(shí)速度方向相同，加速度方向均指向平衡位置，即方向相反，故E正確.【變式5-1】(多選)如圖所示是甲、乙兩個(gè)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列說法中正確的是()A.甲、乙兩擺的振幅之比為2∶1B.t＝2s時(shí)，甲擺的重力勢(shì)能最小，乙擺的動(dòng)能為零C.甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1D.甲、乙兩擺擺球在最低點(diǎn)時(shí)擺線的拉力大小一定相等答案AB解析由題圖知甲、乙兩擺的振幅分別為2cm、1cm，故A正確；t＝2s時(shí)，甲擺在平衡位置處，重力勢(shì)能最小，乙擺在正的最大位移處，動(dòng)能為零，B正確；甲、乙兩擺的周期之比為1∶2，由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，得到甲、乙兩擺的擺長(zhǎng)之比為1∶4，C錯(cuò)誤；由題目中的條件不能比較甲、乙兩擺擺球在最低點(diǎn)時(shí)擺線的拉力大小，D錯(cuò)誤.【變式5-2】如圖是質(zhì)量相等的甲、乙兩個(gè)物體分別做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的圖像，下列說法錯(cuò)誤的是()A．甲、乙兩物體的振幅分別是2m和1mB．甲的振動(dòng)頻率比乙的大C．前2s內(nèi)，兩物體的加速度均為負(fù)值D．第2s末，甲的速度最大，乙的加速度最大解析：選A由題圖知，甲、乙兩物體的振幅分別為2cm和1cm，A錯(cuò)誤；8s內(nèi)甲完成2次全振動(dòng)，乙完成1次全振動(dòng)，甲的振動(dòng)頻率比乙的大，B正確；前2s內(nèi)，甲、乙的位移均為正，所以加速度均為負(fù)值，C正確；第2s末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移處，加速度最大，D正確?！咀兪?-3】(多選)某彈簧振子在水平方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖所示，則()A.彈簧振子在t＝0到t＝10s內(nèi)路程為0.5mB.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率是0.125HzC.彈簧振子在第4s末的位移為零D.在第3s末與第5s末彈簧振子的速度方向相同E.第5s末，彈簧振子的速度與加速度均為正值答案BCD解析彈簧振子在t＝0到t＝10s內(nèi)路程為5A，即2.5m，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝8s，則頻率是f＝eq\f(1,T)＝0.125Hz，選項(xiàng)B正確；彈簧振子第4s末在平衡位置，位移為零，選項(xiàng)C正確；因x－t圖象的斜率表示速度，可知在第3s末與第5s末彈簧振子的速度方向不變，選項(xiàng)D正確；第5s末，彈簧振子的速度沿y軸負(fù)方向，加速度沿y軸正方向，選項(xiàng)E錯(cuò)誤.【變式5-4】如圖所示為某彈簧振子在0～5s內(nèi)的振動(dòng)圖像，由圖可知，下列說法中正確的是()A．振動(dòng)周期為5s，振幅為8cmB．第2s末振子的速度為零，加速度為負(fù)向的最大值C．從第1s末到第2s末振子在做加速運(yùn)動(dòng)D．第3s末振子的速度為正向的最大值[解析]振幅是位移的最大值的大小，故振幅為8cm，而周期是完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，振動(dòng)周期為4s，故A錯(cuò)誤；第2s末振子的速度為零，加速度為正向的最大值，故B錯(cuò)誤；從第1s末到第2s末振子的位移逐漸增大，速度逐漸減小，振子做減速運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；第3s末振子的位移為零，經(jīng)過平衡位置，故速度最大，且方向?yàn)檎蔇正確。[答案]D【題型6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性】【例6】(多選)彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，從它經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過0.3s第一次到達(dá)點(diǎn)M，再經(jīng)過0.2s第二次到達(dá)點(diǎn)M，則彈簧振子的周期可能為()A．0.53sB．1.4sC．1.6s D．2s解析：選AC如圖甲所示，若振子從O點(diǎn)開始向右按所示路線振動(dòng)，則振子的振動(dòng)周期為T1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.3＋\f(0.2,2)))s＝1.6s；如圖乙所示，若振子從O點(diǎn)開始向左按所示路線振動(dòng)，令從M運(yùn)動(dòng)到O的時(shí)間為t，則有eq\f(0.2s,2)＋t＝eq\f(0.3s－t,2)，解得t＝eq\f(0.1,3)s，振子的振動(dòng)周期為T2＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.2,2)＋\f(0.1,3)))s≈0.53s，A、C正確?！咀兪?-1】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置O點(diǎn)附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過3s質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過M點(diǎn)，如圖所示，再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過4s第二次經(jīng)過M點(diǎn)，則再經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間第三次經(jīng)過M點(diǎn)()A.7s B.14sC.16s D.eq\f(10,3)s答案C解析由題意可知質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向向右，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝4×(3＋2)s＝20s，則第三次經(jīng)過M點(diǎn)的時(shí)間為t＝(20－4)s＝16s，故C選項(xiàng)正確.【變式6-2】(多選)一彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則以下說法正確的是()A.振子的加速度方向始終指向平衡位置B.已知振動(dòng)周期為T，若Δt＝T，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相同C.若t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度相等，則Δt一定為振動(dòng)周期的整數(shù)倍D.振子的動(dòng)能相等時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度不一定相等答案ABD解析振子的加速度方向始終指向平衡位置，故A正確；若Δt＝T，則在t時(shí)刻和(t＋Δt)時(shí)刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正確；從平衡位置再回到平衡位置，經(jīng)歷的時(shí)間最短為eq\f(T,2)，彈簧的長(zhǎng)度相等，故C錯(cuò)誤；關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩個(gè)位置，振子的動(dòng)能相等，彈簧的長(zhǎng)度不相等，故D正確.【變式6-3】彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在水平方向上的A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是（）A．振子在A、B兩點(diǎn)時(shí)的速度和位移均為零B．振子在通過O點(diǎn)時(shí)速度的方向?qū)l(fā)生改變C．振子所受的彈力方向總跟速度方向相反D．振子離開O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是減速運(yùn)動(dòng)，靠近O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)總是加速運(yùn)動(dòng)【詳解】A．彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在水平方向上的A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，故A、B速度為零，位移值最大，故A錯(cuò)誤；B．振子在通過O點(diǎn)前后速度的方向不發(fā)生改變，B錯(cuò)誤；C．由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律的定義，振子的彈力方向總跟位移的方向相反，而跟振子的速度方向有時(shí)相同，有時(shí)相反，C錯(cuò)誤；D．振子離開O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)方向與加速度方向相反，故為減速運(yùn)動(dòng)，振子靠近O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與加速度方向相同故為加速運(yùn)動(dòng)，D正確。【答案】D。【題型7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性】【例7】彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B、C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在t＝0時(shí)刻，振子從O、B間的P點(diǎn)以速度v向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；在t＝0.2s時(shí)，振子速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.5s時(shí)，振子速度第二次變?yōu)椋璿。(1)求彈簧振子振動(dòng)周期T；(2)若B、C之間的距離為25cm，求振子在4.0s內(nèi)通過的路程；(3)若B、C之間的距離為25cm，從平衡位置計(jì)時(shí)，寫出彈簧振子位移表達(dá)式，并畫出彈簧振子的振動(dòng)圖像。解析：(1)彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示，由對(duì)稱性可得：T＝0.5×2s＝1.0s。(2)若B、C之間距離為25cm，則振幅A＝eq\f(1,2)×25cm＝12.5cm，振子4.0s內(nèi)通過的路程s＝eq\f(4,T)×4×12.5cm＝200cm。(3)根據(jù)x＝Asinωt，A＝12.5cm，ω＝eq\f(2π,T)＝2π得x＝12.5sin(2πt)cm。振動(dòng)圖像為答案：(1)1.0s(2)200cm(3)x＝12.5sin(2πt)cm【變式7-1】做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，其擺長(zhǎng)不變，若擺球的質(zhì)量增加為原來的eq\f(9,4)倍，擺球經(jīng)過平衡位置的速度減為原來的eq\f(2,3)，則單擺振動(dòng)的()A．周期不變，振幅不變 B．周期不變，振幅變小C．周期改變，振幅不變 D．周期改變，振幅變大解析：選B由單擺的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，當(dāng)擺長(zhǎng)l不變時(shí)，周期不變，C、D錯(cuò)誤；由機(jī)械能守恒定律可知eq\f(1,2)mv2＝mgh，其擺動(dòng)的高度與質(zhì)量無(wú)關(guān)，因擺球經(jīng)過平衡位置的速度減小，則最大高度減小，故振幅變小，B正確，A錯(cuò)誤?！咀兪?-2】關(guān)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及完成一次全振動(dòng)的意義，以下說法正確的是()A．位移的方向總跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同B．動(dòng)能或勢(shì)能第一次恢復(fù)為原來的大小所經(jīng)歷的過程為一次全振動(dòng)C．速度和加速度第一次同時(shí)恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動(dòng)D．物體運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，速度的方向與位移的方向相同；背離平衡位置時(shí)，速度方向與位移方向相反解析：選C回復(fù)力與位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度與位移方向可以相同，也可以相反，物體運(yùn)動(dòng)方向指向平衡位置時(shí)，速度的方向與位移的方向相反，背離平衡位置時(shí)，速度方向與位移方向相同，A、D錯(cuò)誤；一次全振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能可以多次恢復(fù)為原來的大小，B錯(cuò)誤；速度和加速度第一次同時(shí)恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動(dòng)，C正確?！咀兪?-3】一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦井底部擺動(dòng)周期的比值為k.設(shè)地球的半徑為R，地球的密度均勻．已知質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，求礦井的深度d.解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律，地面處質(zhì)量為m的物體的重力mg＝Geq\f(mM,R2)式中g(shù)是地面處的重力加速度，M是地球的質(zhì)量．設(shè)ρ是地球的密度，則有M＝eq\f(4,3)πρR3擺長(zhǎng)為l的單擺在地面處的擺動(dòng)周期為T＝2πeq\r(\f(l,g))若該物體位于礦井底部，則其重力為mg′＝Geq\f(mM′,R－d2)式中g(shù)′是礦井底部的重力加速度，且M′＝eq\f(4,3)πρ(R－d)3在礦井底部此單擺的周期為T′＝2πeq\r(\f(l,g′))由題意：T＝kT′聯(lián)立以上各式得d＝R(1－k2)【題型8簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的應(yīng)用】【例8】(2021·江蘇高考)如圖所示，半徑為R的圓盤邊緣有一釘子B，在水平光線下，圓盤的轉(zhuǎn)軸A和釘子B在右側(cè)墻壁上形成影子O和P，以O(shè)為原點(diǎn)在豎直方向上建立x坐標(biāo)系。t＝0時(shí)從圖示位置沿逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，角速度為ω，則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為()A．x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2))) B．x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,2)))C．x＝2Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2))) D．x＝2Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,2)))解析：選B影子P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為R，以向上為正方向，設(shè)P的振動(dòng)方程為x＝Rsin(ωt＋φ)，當(dāng)t＝0時(shí)，P的位移為R，代入解得φ＝eq\f(π,2)，則P做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x＝Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,2)))，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。【變式8-1】(多選)某質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系式為x＝3sin(eq\f(2π,3)t＋eq\f(π,2))cm，則()A.質(zhì)點(diǎn)的振幅為3cmB.質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為3sC.質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為eq\f(2π,3)sD.t＝0.75s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置答案ABD解析質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移與時(shí)間的關(guān)系式為x＝3sin(eq\f(2π,3)t＋eq\f(π,2))cm，對(duì)照公式x＝Asin(ωt＋φ0)，振幅為3cm，角速度為eq\f(2π,3)，根據(jù)公式ω＝eq\f(2π,T)，周期為3s，故A、B正確，C錯(cuò)誤；t＝0.75s時(shí)刻，x＝3sin(eq\f(2π,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(π,2))cm＝0，即質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，故D正確.【變式8-2】一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程是x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(50πt＋\f(π,2)))cm，則()A．在0至0.02s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的速度與加速度方向始終相同B．在0.02s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)具有沿x軸正方向的最大加速度C．在0.035s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度方向與加速度方向均沿x軸正方向D．在0.04s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受回復(fù)力最大，速度方向沿x軸負(fù)方向解析：選B由振動(dòng)方程可知，振幅A＝2cm，T＝0.04s，初相位φ＝eq\f(π,2)，即t＝0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于正向最大位移處，在0至0.01s內(nèi)，速度與加速度方向相同，0.01s至0.02s內(nèi)，速度與加速度方向相反，A錯(cuò)誤；在0.02s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在負(fù)向最大位移處，具有正向最大加速度，B正確；在0.035s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)，速度方向沿x軸正方向，加速度方向沿x軸負(fù)方向，C錯(cuò)誤；在0.04s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)回到正向最大位移處，回復(fù)力最大，速度為零，D錯(cuò)誤。【變式8-3】一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當(dāng)日風(fēng)浪較大，游船上下浮動(dòng)。可把游船浮動(dòng)簡(jiǎn)化成豎直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為20cm，周期為3.0s。當(dāng)船上升到最高點(diǎn)時(shí)，甲板剛好與碼頭地面平齊。地面與甲板的高度差不超過10cm時(shí)，游客能舒服地登船。在一個(gè)周期內(nèi)，游客能舒服登船的時(shí)間是()A．0.5s B．0.75sC．1.0s D．1.5s[解析]由于振幅A為20cm，振動(dòng)方程為y＝Asinωteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(從游船位于平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，ω＝\f(2π,T)))，由于高度差不超過10cm時(shí)，游客能舒服登船，代入數(shù)據(jù)可知，在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，臨界時(shí)刻為t1＝eq\f(T,12)，t2＝eq\f(5T,12)，所以在一個(gè)周期內(nèi)能舒服登船的時(shí)間為Δt＝t2－t1＝eq\f(T,3)＝1.0s，選項(xiàng)C正確。[答案]C專題1.3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)【八大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1水平彈簧振子】 【題型2豎直彈簧振子】 【題型3單擺】 【題型4等效單擺】 【題型5振動(dòng)圖像的應(yīng)用】 【題型6簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性】 【題型7簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性】 【題型8簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式的應(yīng)用】 【題型1水平彈簧振子】【例1】如圖所示，物體A置于物體B上，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與B相連，現(xiàn)從彈簧處于壓縮狀態(tài)開始釋放A、B，在彈簧的彈性限度內(nèi)，A、B在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并保持相對(duì)靜止。若取向右為正方向，則從釋放開始，A、B向右運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，物體A的速度v和所受摩擦力Ff隨時(shí)間變化的關(guān)系圖像正確的是()解析：選B由于物體A、B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)物體A、B向右運(yùn)動(dòng)，速度為正，位移越來越小，則速度越來越大，A、B的回復(fù)力由彈簧彈力提供，從開始釋放到回到平衡位置過程中回復(fù)力減小，則加速度減小，運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，回復(fù)力為0，加速度為0，此過程中加速度逐漸減小，v-t圖像的斜率減小，過平衡位置后，物體A、B繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，速度仍為正，位移越來越大，速度越來越小，回復(fù)力越來越大，回復(fù)力方向變?yōu)橄蜃?，則加速度大小變大，方向改變，即v-t圖像的斜率變大，斜率切線變?yōu)樨?fù)，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)A受力分析可知，A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力由B對(duì)A的摩擦力提供，A從初始位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)過程中，回復(fù)力方向向右，則摩擦力方向向右即為正，回復(fù)力大小為F＝－kx＝Ff，此過程中位移減小，摩擦力減小，即摩擦力與位移呈線性關(guān)系，且為正值，但此過程中物體A做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，同理，物體A從平衡位置向右運(yùn)動(dòng)的過程中，摩擦力與位移也呈線性關(guān)系，但此過程中物體A做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)即加速度向左，摩擦力向左，應(yīng)為負(fù)值，C、D錯(cuò)誤?！咀兪?-1】(多選)如圖甲所示，以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，彈簧振子在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，圖乙為這個(gè)彈簧振子的振動(dòng)圖象.下列說法中正確的是()A.在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子的加速度為正向最大B.在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子在同一位置C.從t＝0到t＝0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)D.在t＝0.6s時(shí)，彈簧振子有最小的彈性勢(shì)能答案BC解析在t＝0.2s時(shí)，彈簧振子的位移為正向最大值，a＝－eq\f(kx,m)，知彈簧振子的加速度為負(fù)向最大，A錯(cuò)誤；在t＝0.1s與t＝0.3s兩個(gè)時(shí)刻，彈簧振子的位移相同，說明彈簧振子在同一位置，B正確；從t＝0到t＝0.2s時(shí)間內(nèi)，彈簧振子從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)，位移逐漸增大，加速度逐漸增大，加速度方向與速度方向相反，彈簧振子做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，C正確；在t＝0.6s時(shí)，彈簧振子的位移為負(fù)向最大值，即彈簧的形變量最大，彈簧振子的彈性勢(shì)能最大，D錯(cuò)誤.【變式1-2】如圖甲所示，水平放置的彈簧振子在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O是平衡位置，以向右為正方向，其振動(dòng)圖像如圖乙所示，則()A．A、O間的距離為4cmB．0.1s末，小球位于A點(diǎn)C．0.2s末，小球有正向的最大速度D．在0.2～0.3s內(nèi)，小球從O向A做減速運(yùn)動(dòng)解析：選D由振動(dòng)圖像可知，振幅為2cm，所以A、O間的距離為2cm，A錯(cuò)誤；0.1s末，小球在正向最大位移處，即位于B點(diǎn)，B錯(cuò)誤；0.2s末，小球速度方向沿x軸負(fù)方向，并且速度最大，C錯(cuò)誤；在0.2～0.3s內(nèi)，小球沿負(fù)向的速度逐漸減小，到達(dá)負(fù)向最大位移A處時(shí)速度減為零，則小球從O向A做減速運(yùn)動(dòng)，D正確。【變式1-3】(2022·青島調(diào)研)如圖甲所示，彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在光滑水平面上的A、B兩點(diǎn)之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，A、B為分居O點(diǎn)左右兩側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)。取水平向右為正方向，振子的位移x隨時(shí)間t變化的正弦曲線如圖乙所示，下列說法正確的是()A．t＝0.6s時(shí)，振子在O點(diǎn)右側(cè)6cm處B．振子在t＝0.2s和t＝1.0s時(shí)的速度相同C．t＝1.2s時(shí)，振子的加速度方向水平向右D．t＝1.0s到t＝1.4s的時(shí)間內(nèi)，振子的加速度和速度都逐漸增大解析：選C由題圖可知，彈簧振子的振幅為0.12m，周期為1.6s，所以ω＝eq\f(2π,T)＝1.25πrad/s，結(jié)合振動(dòng)圖像得，振動(dòng)方程為x＝0.12sin(1.25πt)m，在t＝0.6s時(shí)，振子的位移x1＝0.12sin(1.25π×0.6)m＝6eq\r(2)cm，A錯(cuò)誤；由振動(dòng)圖像可知，t＝0.2s時(shí)振子從平衡位置向右運(yùn)動(dòng)，t＝1.0s時(shí)振子從平衡位置向左運(yùn)動(dòng)，速度方向不同，B錯(cuò)誤；t＝1.2s時(shí)，振子到達(dá)A處，振子的加速度方向水平向右，C正確；t＝1.0s到t＝1.2s的時(shí)間內(nèi)振子向負(fù)向最大位移處運(yùn)動(dòng)，速度減小，加速度增大；t＝1.2s到t＝1.4s時(shí)間內(nèi)振子從負(fù)向最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)，則速度增大，加速度減小，D錯(cuò)誤?！绢}型2豎直彈簧振子】【例2】(多選)如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在C、D兩點(diǎn)之間做周期為T的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).已知在t1時(shí)刻物塊的速度大小為v、方向向下，動(dòng)能為Ek.下列說法正確的是()A.如果在t2時(shí)刻物塊的速度大小也為v，方向向下，則t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)B.如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek，則t2－t1的最小值為eq\f(T,2)C.當(dāng)物塊通過O點(diǎn)時(shí)，其加速度最小D.物塊在C、D兩點(diǎn)的加速度相同答案AC解析如果在t1時(shí)刻物塊位于O點(diǎn)上方且向下運(yùn)動(dòng)，t2時(shí)刻物塊位于O點(diǎn)下方且與t1時(shí)刻物塊速度相同，則t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，選項(xiàng)A正確；如果在t2時(shí)刻物塊的動(dòng)能也為Ek，則t2時(shí)刻物塊速度與t1時(shí)刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq\f(T,2)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；題圖中O點(diǎn)是平衡位置，物塊通過O點(diǎn)時(shí)位移最小，根據(jù)a＝－eq\f(kx,m)知，其加速度最小，選項(xiàng)C正確；C、D兩點(diǎn)關(guān)于平衡位置對(duì)稱，加速度等大反向，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【變式2-1】[多選]如圖，輕彈簧上端固定，下端連接一小物塊，物塊沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。以豎直向上為正方向，物塊簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0時(shí)刻，一小球從距物塊h高處自由落下；t＝0.6s時(shí)，小球恰好與物塊處于同一高度。取重力加速度的大小g＝10m/s2。以下判斷正確的是()A.h＝1.7mB．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是0.8sC．0.6s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程為0.2mD．t＝0.4s時(shí)，物塊與小球運(yùn)動(dòng)方向相反[思路點(diǎn)撥](1)由物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式確定物塊的振幅和振動(dòng)周期。(2)確定0.6s時(shí)物塊所在的位置。(3)確定0.6s時(shí)小球下落的高度與h的關(guān)系。[解析]由物塊做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式y(tǒng)＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，選項(xiàng)B正確；t＝0.6s時(shí)，y＝－0.1m，對(duì)小球：h＋|y|＝eq\f(1,2)gt2，解得h＝1.7m，選項(xiàng)A正確；物塊0.6s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為0.3m，t＝0.4s時(shí)，物塊經(jīng)過平衡位置向下運(yùn)動(dòng)，與小球運(yùn)動(dòng)方向相同，故選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。[答案]AB【變式2-2】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定，下端懸掛一物塊，取物塊靜止時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，向下為正方向，建立Ox坐標(biāo)軸?，F(xiàn)將物塊豎直向下拉到A位置后由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力。已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，A位置的坐標(biāo)為x1，重力加速度為g。下列說法正確的是()A．該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為2x1B．在任意eq\f(1,4)周期內(nèi)物塊通過的路程一定等于x1C．物塊在A位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為kx1D．物塊到O位置時(shí)的動(dòng)能為eq\f(1,2)kx12－mgx1解析：選C該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為x1，A錯(cuò)誤；物塊運(yùn)動(dòng)過程中，靠近平衡位置時(shí)運(yùn)動(dòng)比較快，遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)運(yùn)動(dòng)比較慢，所以在不經(jīng)過平衡位置的eq\f(1,4)周期內(nèi)物塊通過的路程小于x1，B錯(cuò)誤；物塊在O位置時(shí)受力平衡，有kx0＝mg，x0為彈簧伸長(zhǎng)量，在A位置時(shí)所受的回復(fù)力大小為F＝k(x0＋x1)－mg＝kx1，C正確；物塊從A位置回到O位置時(shí)，根據(jù)能量守恒定律得eq\f(1,2)k(x1＋x0)2＝mgx1＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)kx02，解得eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)k(x1＋x0)2－mgx1－eq\f(1,2)kx02，D錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖所示，彈簧下面掛一質(zhì)量為m的物體，物體在豎直方向上做振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，彈簧在彈性限度內(nèi)，則物體在振動(dòng)過程中()A．彈簧的最大彈性勢(shì)能等于2mgAB．彈簧的彈性勢(shì)能和物體動(dòng)能總和不變C．物體在最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小應(yīng)為2gD．物體在最低點(diǎn)時(shí)所受彈簧的彈力大小應(yīng)為mg解析：選A因物體振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧正好處于原長(zhǎng)，此時(shí)彈簧彈力等于零，物體的重力mg＝F回＝kA，當(dāng)物體在最低點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大等于2mgA，A對(duì)；在最低點(diǎn)，由F回＝mg＝ma知，C錯(cuò)；由F彈－mg＝F回得F彈＝2mg，D錯(cuò)；由能量守恒知，彈簧的彈性勢(shì)能和物體的動(dòng)能、重力勢(shì)能三者的總和不變，B錯(cuò)?！绢}型3單擺】【例3】[多選]圖1、2分別是甲、乙兩個(gè)單擺在同一位置處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，則下列說法中正確的是()A．甲、乙兩單擺的振幅之比為2∶1B．t＝2s時(shí)，甲單擺的重力勢(shì)能最小，乙單擺的動(dòng)能為零C．甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為4∶1D．甲、乙兩單擺的擺球在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度大小一定相等解析：選AB由題圖知，甲、乙兩單擺的振幅分別為4cm、2cm，故選項(xiàng)A正確；t＝2s時(shí)，甲單擺在平衡位置處，乙單擺在振動(dòng)的正方向最大位移處，故選項(xiàng)B正確；由單擺的周期公式，推出甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝T甲2∶T乙2＝1∶4，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)擺球擺動(dòng)的最大偏角為θ，由mgl(1－cosθ)＝eq\f(1,2)mv2及a＝eq\f(v2,l)可得，擺球在最低點(diǎn)時(shí)向心加速度a＝2g(1－cosθ)，因兩擺球的最大偏角θ滿足sinθ＝eq\f(A,l)，故θ甲>θ乙，所以a甲>a乙，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤?！咀兪?-1】如圖所示，房頂上固定一根長(zhǎng)2.5m的細(xì)線沿豎直墻壁垂到窗沿下，細(xì)線下端系了一個(gè)小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。打開窗子，讓小球在垂直于窗子的豎直平面內(nèi)小幅度擺動(dòng)，窗上沿到房頂?shù)母叨葹?.6m，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2，則小球從最左端運(yùn)動(dòng)到最右端所用的最短時(shí)間為()A．2.0πsB．0.4πsC．0.6πs D．1.2πs解析：選B小球的擺動(dòng)可視為單擺運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為線長(zhǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期：T1＝2πeq\r(\f(l1,g))＝πs，擺長(zhǎng)為線長(zhǎng)減去墻體長(zhǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期T2＝2πeq\r(\f(l1－l2,g))＝0.6πs，故小球從最左端到最右端所用的最短時(shí)間為t＝eq\f(T1＋T2,4)＝0.4πs，B正確?！咀兪?-2】如圖所示，兩個(gè)擺長(zhǎng)均為L(zhǎng)的單擺，擺球A、B質(zhì)量分別為m1、m2，懸點(diǎn)均為O。在O點(diǎn)正下方0.19L處固定一小釘。初始時(shí)刻B靜止于最低點(diǎn)，其擺線緊貼小釘右側(cè)，A從圖示位置由靜止釋放(θ足夠小)，在最低點(diǎn)與B發(fā)生彈性正碰。兩擺在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中均滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)條件，懸線始終保持繃緊狀態(tài)且長(zhǎng)度不變，擺球可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)碰撞時(shí)間及空氣阻力，重力加速度為g。下列選項(xiàng)正確的是()A．若m1＝m2，則A、B在擺動(dòng)過程中最大振幅之比為9∶10B．若m1＝m2，則每經(jīng)過1.9πeq\r(\f(L,g))時(shí)間A回到最高點(diǎn)C．若m1>m2，則A與B第二次碰撞不在最低點(diǎn)D．m1<m2，則A與B第二次碰撞必在最低點(diǎn)解析：選D若m1＝m2，則兩球碰撞后交換速度，所以A、B在擺動(dòng)過程中最大振幅相等，兩球的振動(dòng)完全一樣，所以每經(jīng)過2πeq\r(\f(L,g))時(shí)間A回到最高點(diǎn)，A、B錯(cuò)誤；擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的周期為T＝2πeq\r(\f(L,g))，擺長(zhǎng)為0.81L的周期為T′＝1.8πeq\r(\f(L,g))，若m1>m2，則碰后A球向右運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)變?yōu)?.81L，B球擺回最低點(diǎn)后向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)為0.81L，所以兩擺的周期均為T″＝eq\f(1,2)T＋eq\f(1,2)T′＝1.9πeq\r(\f(L,g))，即第一次在最低點(diǎn)碰撞后，經(jīng)過一個(gè)周期發(fā)生第二次碰撞，位置仍然在最低點(diǎn)，C錯(cuò)誤；若m1<m2，則A與B碰后，A反彈，兩球的擺長(zhǎng)一樣，周期一樣，所以各經(jīng)過半個(gè)周期后，在最低點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞，D正確?！咀兪?-3】如圖，長(zhǎng)為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在O點(diǎn)正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細(xì)鐵釘。將小球向右拉開，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)。當(dāng)小球a擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會(huì)受到鐵釘?shù)淖钃?。設(shè)小球相對(duì)于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個(gè)周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是()解析：選A擺長(zhǎng)為l時(shí)單擺的周期T1＝2πeq\r(\f(l,g))，振幅A1＝lα(α為擺角，α很小時(shí)，sinα＝α)，擺長(zhǎng)為eq\f(1,4)l時(shí)單擺的周期T2＝2πeq\r(\f(\f(1,4)l,g))＝πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(T1,2)，振幅A2＝eq\f(1,4)lβ(β為擺角)。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mgl(1－cosα)＝mgeq\f(l,4)(1－cosβ)，利用cosα＝1－2sin2eq\f(α,2)，cosβ＝1－2sin2eq\f(β,2)，以及sinα＝tanα＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝eq\f(1,2)A1，A正確。【變式3-4】(多選)關(guān)于單擺，下列說法正確的是()A.將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，單擺周期變大B.將單擺的擺角從4°改為2°，單擺的周期變小C.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大D.當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，受到的合力為零答案AC解析將單擺由沈陽(yáng)移至廣州，因重力加速度減小，根據(jù)T＝2πeq\r(\f(l,g))可知，單擺周期變大，選項(xiàng)A正確；單擺的周期與擺角無(wú)關(guān)，將單擺的擺角從4°改為2°，單擺的周期不變，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)單擺的擺球運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，擺球的速度最大，有向心加速度，則受到的合力不為零，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.【題型4等效單擺】【例4】如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，C為弧形槽最低點(diǎn)，R?Aeq\x\to(B)。甲球從弧形槽的球心處自由下落，乙球從A點(diǎn)由靜止釋放，問：(1)兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間之比；(2)若在弧形槽的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放甲球，讓其自由下落，同時(shí)將乙球從弧形槽左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在弧形槽最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度h是多少？解析：(1)甲球做自由落體運(yùn)動(dòng)R＝eq\f(1,2)gt12，所以t1＝eq\r(\f(2R,g))乙球沿弧形槽做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(由于Aeq\x\to(C)?R，可認(rèn)為偏角θ<5°)。此運(yùn)動(dòng)與一個(gè)擺長(zhǎng)為R的單擺運(yùn)動(dòng)模型相同，故此等效擺長(zhǎng)為R，因此乙球第1次到達(dá)C處的時(shí)間為t2＝eq\f(1,4)T＝eq\f(1,4)×2πeq\r(\f(R,g))＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))，所以t1∶t2＝2eq\r(2)∶π。(2)甲球從離弧形槽最低點(diǎn)h高處自由下落，到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t甲＝eq\r(\f(2h,g))由于乙球運(yùn)動(dòng)的周期性，所以乙球到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t乙＝eq\f(T,4)＋neq\f(T,2)＝eq\f(π,2)eq\r(\f(R,g))(2n＋1)(n＝0,1,2，…)由于甲、乙兩球在C點(diǎn)相遇，故t甲＝t乙聯(lián)立解得h＝eq\f(2n＋12π2R,8)(n＝0,1,2，…)。答案：(1)2eq\r(2)∶π(2)eq\f(2n＋12π2R,8)(n＝0,1,2，…)【變式4-1】如圖所示，小球m自A點(diǎn)以指向AD方向的初速度v逐漸接近固定在D點(diǎn)的小球n，已知=0.8m，AB圓弧半徑R=10m，AD=10m，A、B、C、D在同一水平面上，則v為多大時(shí)，才能使m恰好碰到小球n？（g取10m/s2，不計(jì)一切摩擦）答案：v=