第1章§3 第1課時　平均值不等式

1、.§3平均值不等式第1課時平均值不等式1理解兩個三個正數(shù)的算術平均值與幾何平均值易錯、易誤點2掌握平均值不等式性質(zhì)定理，能用性質(zhì)定理證明簡單的不等式重點、難點根底·初探教材整理平均值不等式閱讀教材P10P12“考慮交流以上部分，完成以下問題1定理1：對任意實數(shù)a，b，有a2b22ab當且僅當ab時取“號2定理2：對任意兩個正數(shù)a，b，有當且僅當ab時取“號語言表達為：兩個正數(shù)的算術平均值不小于它們的幾何平均值3定理3：對任意三個正數(shù)a，b，c，有a3b3c33abc當且僅當abc時取“號4定理4：對任意三個正數(shù)a，b，c，有當且僅當abc時取“號語言表達為：三個正數(shù)的算術平

2、均值不小于它們的幾何平均值判斷正確的打“，錯誤的打“×1x2.2ex2.3當a，b，c不全為正數(shù)時，成立43.【解析】1×當x>0時，x2，當x<0時，x2.2因為ex>0，ex2，當且僅當x0時取等號3×如a1，bc1時，但1.這時有<.4×當a，b，c同號時，均為正數(shù)，有3，當且僅當abc時取等號【答案】1×23×4×質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型平均值不等式的條件斷定命題：任意x0，lg

3、x2；任意xR，ax2a>0且a1；任意x，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命題有ABCD【精彩點撥】關鍵看是否滿足平均值不等式【自主解答】在，中，lg xR，sin x1,1，不能確定lg x0與sin x0，因此，是假命題在中，ax0，ax2 2，當且僅當x0時取等號，故是真命題在中，當x時，tan x0，有tan x2，且x時取等號，故是真命題【答案】C此題主要涉及平均值不等式成立的條件及取等號的條件.在定理1和定理2中，“ab是等號成立的充要條件.但兩個定理有區(qū)別又有聯(lián)絡：(1)是a2b22ab的特例，但二者適用范圍不同，前者要求a，b均為正數(shù)，后者只要求a，bR；(

4、2)a，b大于0是的充分不必要條件；a，b為實數(shù)是a2b22ab的充要條件.再練一題1設a，b為實數(shù)，且ab0，以下不等式中一定成立的個數(shù)是 【導學號：94910010】2；ab2；ab.A1 B2C3D4【解析】ab0，22，成立；a，b0時，不成立；，成立；當a1，b2時，不成立因此，成立【答案】B證明簡單的不等式1a，b，cR.求證：a4b4c4a2b2b2c2c2a2；2設a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.【精彩點撥】此題考察平均值不等式及不等式的性質(zhì)等根底知識，同時考察推理論證才能解答此題需要先觀察所求式子的構造，然后拆成平均值不等式的和，再進展證明【自主解答】1a4b42a2b2，

5、同理a4c42a2c2，b4c42b2c2，將以上三個不等式相加得：a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2.2當a>0，b>0時，ab2，22c.同理：22b，22a.將以上三個不等式相加得：22abc，abc.平均值不等式具有將“和式和“積式互相轉(zhuǎn)化的放縮功能，常常用于證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的構造特點，選擇好利用平均值不等式的切入點.但應注意連續(xù)屢次使用平均值不等式定理的等號成立的條件是否保持一致.再練一題2設a，b，c為正數(shù)，求證：abc227.【證明】a0，b0，c0，abc30，從而abc290，又

6、30，abc23·927.當且僅當abc時，等號成立故原不等式成立探究共研型平均值不等式的變式及條件不等式的證明探究1不等式，成立的條件都是a，b，c為正數(shù)，在條件ba>0成立時，a，b之間有怎樣的大小關系？【提示】ab.探究2假設問題中一端出現(xiàn)“和式，另一端出現(xiàn)“積式時，這便是應用不等式的“題眼，那么假設條件中有“和式為1時，應如何考慮？【提示】應用平均值不等式時，一定要注意條件a>0，b>0，c>0.假設有“和式為1時，常反過來應用“1的代換，即把“1化成“和，再試著應用平均值不等式a0，b0，c0，求證：1 ；2abc【精彩點撥】1式兩端均是“和，不能直

7、接利用平均值不等式，解決的關鍵是對 的處理，先考慮平方關系，化難為易；2注意兩邊都是“和式，可利用1題的結(jié)論【自主解答】1a2b22ab，2a2b2ab2， .又a0，b0， .2由1得 ab同理：bc，ac三式相加得：abc當且僅當abc時，取“號1第2問利用了第1問的結(jié)論 ，記住這一結(jié)論可幫我們找到解題思路，但此不等式要給予證明2一般地，數(shù)學中的定理、公式提醒了假設干量之間的本質(zhì)聯(lián)絡，但不能定格于某種特殊形式，因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是ab，還可以是a2ba0，2ba等解題時不僅要會利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用再練一題3a

8、，b0，且ab1，求證：.【證明】因為a，b0，且ab1，所以，當且僅當ab時，等號成立，所以ab4，a2b2ab22ab12ab12×，8.a2b2448，所以.構建·體系1“a0且b0是“ab2成立的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A2設x，y，z為正數(shù)，且xyz6，那么lg xlg ylg z的取值范圍是A，lg 6B，3lg 2Clg 6，D3lg 2，【解析】6xyz3，xyz8，lg xlg ylg zlg xyzlg 83lg 2.【答案】B3設ab0，把，a，b按從大到小的順序排列是_. 【導學號：94910011】【解析】ab0，ab.【答案】ab4不等式2成立的充要條件是