2023學(xué)年池州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

學(xué)年池州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷2024.1滿分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則（）A. B. C. D.23.已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.5.某種化學(xué)物質(zhì)的衰變滿足指數(shù)函數(shù)模型，每周該化學(xué)物質(zhì)衰減，則經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量低于該化學(xué)物質(zhì)的，則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.6.的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B. C.20 D.7.已知過點與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（）A. B. C. D.8.下列不等關(guān)系中錯誤的是（）A B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列判斷中正確的是（）A.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則B.兩組數(shù)據(jù)與，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為C.已知離散型隨機變量，則D.線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強10.下列函數(shù)中均滿足下面三個條件的是（）①為偶函數(shù)；②；③有最大值A(chǔ). B.C D.11.如圖，棱長為1的正方體中，E為棱的中點，點F在該正方體的側(cè)面上運動，且滿足平面．下列說法正確的是（）A.點F軌跡是長度為的線段B.三棱錐的體積為定值C.存在一點F，使得D.直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為12.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A. B.遞增數(shù)列C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校思想品德課教師一天有3個不同班的課，每班一節(jié)，如果該校一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)，該教師的3節(jié)課任意兩節(jié)都不能連著上（第四節(jié)和第五節(jié)不算連著上），則該教師一天的課所有不同的排法有___________種．14.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則___________．15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線C上，點B在y軸上，，則雙曲線C的離心率為___________．16.現(xiàn)有一個底面邊長為，高為4的正三棱柱形密閉容器，在容器中有一個半徑為1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意運動，則小球未能達到的空間體積為___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，角的對邊分別是，且．（1）求角C的大小；（2）若的面積，求的值．18.已知正項數(shù)列的前n項和為．（1）求數(shù)列前n項和;（2）令，求的前9項之和．19.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面．（1）求該五面體的體積；（2）請判斷在棱上是否存在一點G，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．20.編號為1，2，3，4的四名同學(xué)一周內(nèi)課外閱讀的時間（單位：h）用表示，，將四名同學(xué)的課外閱讀時間看成總體，則總體的均值為．先后隨機抽取兩個值，用這兩個值的均值來估計總體均值．（1）若采用有放回的方式抽樣（兩個值可以相同），則樣本均值的可能取值有多少個？寫出樣本均值的分布列并求其數(shù)學(xué)期望；（2）若采用無放回的方式抽樣，則樣本均值超過總體均值的概率會不會大于0.5？（3）若考慮樣本均值與總體均值的差的絕對值不超過0.5的概率，那么采用哪種抽樣方法概率更大？21.已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為8，橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，動直線l交橢圓C于P、Q兩點，且始終滿足，作交于點M，求的最大值．22.已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若，構(gòu)造函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積；（2）若（其中為的導(dǎo)函數(shù)），當(dāng)時，，證明：．（參考數(shù)據(jù)：）2023學(xué)年池州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題求得的定義域，得集合,再利用交集定義即得.【詳解】因，而，．故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運算法則，求得，得到，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以，則．故選：B.3.已知向量，若，則下列關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量線性運算坐標(biāo)表示以及向量平行的坐標(biāo)關(guān)系可直接求得答案.【詳解】，由可得，，整理得．故選：D.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有函數(shù)在區(qū)間上恒正且單調(diào)遞增，則滿足且，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A.5.某種化學(xué)物質(zhì)的衰變滿足指數(shù)函數(shù)模型，每周該化學(xué)物質(zhì)衰減，則經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量低于該化學(xué)物質(zhì)的，則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)該化學(xué)物質(zhì)最初的質(zhì)量為，經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量為，根據(jù)題意可得出，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式可求得的最小值.【詳解】設(shè)該化學(xué)物質(zhì)最初的質(zhì)量為，經(jīng)過周后，該化學(xué)物質(zhì)的存量為，由題意可得，即，可得，所以，，故正整數(shù)的最小值為.故選：C.6.的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B. C.20 D.【答案】A【解析】【分析】將原式化為的形式，再利用二項展開式的通項公式求解可得答案.【詳解】，展開式的通項公式為，時，，所以的系數(shù)為．故選：A.7.已知過點與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得該圓圓心，半徑，借助切線定義可得【詳解】，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為M，N，，則，則，故，故為鈍角，則.故選：D.8.下列不等關(guān)系中錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于A項，利用等價轉(zhuǎn)化即得；對于B,C,D項都要結(jié)合式子特征，通過觀察、拼湊構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.【詳解】對于A項，因，故A項正確；對于B項，設(shè)，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，故，即，故，故B項正確；對于C項，因，故構(gòu)造，則則在上單調(diào)遞增，，故C項錯誤；對于D項，，，構(gòu)造函數(shù)則單調(diào)遞增，，故D項正確．故選：C.【點睛】關(guān)鍵點法點睛：本題主要考查構(gòu)造函數(shù)比較大小問題,屬于難題.解決比較大小問題的關(guān)鍵在于將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，通過觀察特點，拼湊，使其具有相同的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較式的大小.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列判斷中正確的是（）A.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10，去掉x與不去掉x，它們的80%分位數(shù)都不變，則B.兩組數(shù)據(jù)與，設(shè)它們的平均值分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均值為C.已知離散型隨機變量，則D.線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合百分位數(shù)，期望與方程的計算與性質(zhì)，以及相關(guān)系數(shù)的意義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，x，10，10的80%分位數(shù)為，數(shù)據(jù)，1，3，5，6，7，9，10，10的80%分位數(shù)為10，所以，選項A正確；對于B中，由平均數(shù)的公式，可得，，則將它們合并在一起，可得，所以B正確；對于C中，離散型隨機變量，可得，根據(jù)方差的性質(zhì)，可得，所以C錯誤；對于D中，相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量線性相關(guān)性越強，所以D錯誤．故選：AB.10.下列函數(shù)中均滿足下面三個條件的是（）①為偶函數(shù)；②；③有最大值A(chǔ). B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②；③有最大值，對于A中，函數(shù)，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，不滿足②，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)，由，滿足①；又由，滿足②；由函數(shù)，滿足③，所以B符合題意；對于C中，函數(shù)，由，滿足①；又由，可得，滿足②；當(dāng)時，可得，滿足③，所以C符合題意；對于D中，函數(shù)，由，可得，無最大值，不滿足③，所以D不符合題意.故選：BC.11.如圖，棱長為1的正方體中，E為棱的中點，點F在該正方體的側(cè)面上運動，且滿足平面．下列說法正確的是（）A.點F軌跡是長度為的線段B.三棱錐的體積為定值C.存在一點F，使得D.直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)G為中點，證得平面，平面，得到平面平面，得出點的軌跡為線段，可判定A正確；由，可判定B錯誤；當(dāng)點為中點時，證得，可判定C正確；當(dāng)點為中點和點與或重合時，分別求得直線與直線所成角的正弦值可判定D正確.【詳解】設(shè)G為中點，則截面圖形是為等腰梯形，分別為中點，可得且，因為平面，平面，且平面，平面，所以平面，平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面，且點在該正方體的側(cè)面上運動，所以點的軌跡為線段，且，所以A正確；由，所以B錯誤；當(dāng)點為中點時，因為，可得，因為，所以，所以C正確；當(dāng)點為中點時，在正方體，可得，則直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，設(shè)，在等腰中，，可得，在中，可得，所以；當(dāng)點與或重合時，此時直線與直線所成角的正弦值為，所以直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.12.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A. B.為遞增數(shù)列C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用作差法由數(shù)列單調(diào)性可求得數(shù)列為遞增數(shù)列，可得A正確；再根據(jù)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷B，化簡整理可判斷C正確，由關(guān)系式可得，再利用累加法可判斷D正確.【詳解】因為，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項A正確；因為數(shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項B錯誤；因為，可得，兩邊平方整理得，選項C正確．因為，整理得，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：再判斷D選項時，關(guān)鍵要對表達式整理變形后進行合理放縮可得，即，再利用累加法即可作出判斷.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校思想品德課教師一天有3個不同班的課，每班一節(jié)，如果該校一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)，該教師的3節(jié)課任意兩節(jié)都不能連著上（第四節(jié)和第五節(jié)不算連著上），則該教師一天的課所有不同的排法有___________種．【答案】78【解析】【分析】利用分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列知識可直接求得答案.【詳解】上午2節(jié)不連堂，下午一節(jié)，共有種；上午1節(jié)，下午2節(jié)不連堂，共有，故不同的排課方案共有種．故答案為：78.14.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則___________．【答案】【解析】【分析】由圖象可得A，及函數(shù)周期，后由圖可得，可得，即可得答案.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，則，，，即，由于，，故故答案為：15.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線C上，點B在y軸上，，則雙曲線C的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】由題，結(jié)合圖形可得，又由，結(jié)合雙曲線定義及勾股定理可得答案.【詳解】因，，點B在y軸上，則.又，則，，由勾股定理，，由雙曲線定義，則．故答案為：.16.現(xiàn)有一個底面邊長為，高為4的正三棱柱形密閉容器，在容器中有一個半徑為1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意運動，則小球未能達到的空間體積為___________．【答案】【解析】【分析】計算邊長為的正三角形的內(nèi)切圓半徑可得該小球恰好與該正三棱柱從側(cè)面相切，則可計算出移動中所形成的空間幾何體的體積，再用正三棱柱體積減去總體積即可得小球未能達到的空間體積.【詳解】邊長為正三角形的內(nèi)切圓半徑為：，故該小球恰好與該正三棱柱從側(cè)面相切，球在上下移動中所形成的空間幾何體為兩個半球圓柱，其體積為：，所以剩下體積：．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，角的對邊分別是，且．（1）求角C的大?。唬?）若的面積，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由，化簡得到，求得，即可求解；（2）由的面積，求得，再由余弦定理列出方程，求得或，進而求得的值.【小問1詳解】解：由題意知因為，可得，所以，即，可得，又因為，可得，所以，因為，所以.【小問2詳解】解：因為的面積，可得，解得，由余弦定理得，即，解得或，當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，可得，所以．18.已知正項數(shù)列的前n項和為．（1）求數(shù)列的前n項和;（2）令，求的前9項之和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到，兩式相減，整理得到，得到數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項法去和，即可求解.【小問1詳解】解：正項數(shù)列的前n項和為，滿足，可得，兩式相減可得，所以，因為，所以，又因為，解得，所以數(shù)列是以首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為，可得.【小問2詳解】解：由（1）知，可得，所以．19.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面．（1）求該五面體的體積；（2）請判斷在棱上是否存在一點G，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）易證，分別取與的中點M，N，連接，則五面體面積分割成棱柱和棱錐，結(jié)合柱體體積公式進而得解；（2）取中點為O，中點Q，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，求出點，得到，結(jié)合向量夾角公式求出，進而求出的長.【小問1詳解】因為底面是矩形，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因過的平面平面，所以，分別取與的中點M，N，連接，則平面將五面體分割成兩部分，幾何體和棱錐，故，取中點為O，，，為中點，，平面平面，平面平面，平面，平面，又因為，所以，則幾何體為棱柱，取的中點，連接，可得，則四邊形為平行四邊形，則，由平面，可得平面，則為棱錐的高，由可得，則，又，平面，平面平面，平面平面，所以平面，所以為棱柱的高，，；【小問2詳解】取中點Q，連接，易得，結(jié)合（1）可知兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則，，，設(shè)平面的法向量，可得則，得，令得，解得平面的一個法向量，上，設(shè)，，，則，設(shè)直線與平面所成角，，或（舍去），，故存在G點，當(dāng)，即G與F重合時，與平面所成角的正弦值為．20.編號為1，2，3，4的四名同學(xué)一周內(nèi)課外閱讀的時間（單位：h）用表示，，將四名同學(xué)的課外閱讀時間看成總體，則總體的均值為．先后隨機抽取兩個值，用這兩個值的均值來估計總體均值．（1）若采用有放回的方式抽樣（兩個值可以相同），則樣本均值的可能取值有多少個？寫出樣本均值的分布列并求其數(shù)學(xué)期望；（2）若采用無放回的方式抽樣，則樣本均值超過總體均值的概率會不會大于0.5？（3）若考慮樣本均值與總體均值的差的絕對值不超過0.5的概率，那么采用哪種抽樣方法概率更大？【答案】（1）16個，分布列見解析，（2）不會（3）采用無放回的抽樣方法概率更大【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出基本事件空間，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)題意，列出基本事件空間，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望；（3）分別求得有放回的抽樣時，，無放回的抽樣時，，結(jié)合，即可求解．【小問1詳解】解：有放回抽樣會有16個等可能的樣本55.566.55.566.5766.577.56.577.58可得，，所以樣本均值的分布列為：55.566.577.58P則均值．【小問2詳解】解：無放回抽樣會有12個等可能的樣本，5.566.55.56.5766.57.56.577.5可得所以樣本均值的分布列為：5.566.577.5P所以樣本均值超過總體均值的概率為，所以樣本均值超過總體均值的概率不會大于0.5．【小問3詳解】解：樣本均值與總體均值的誤差不超過0.5的概率，有放回的抽樣，；無放回的抽樣，，因為，故采用無放回的抽樣方法概率更大．21.已知橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線射向橢圓上任一點，經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過另一個焦點．若從橢圓的左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，光線經(jīng)過的路程為8，橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若橢圓C的右頂點為A，上頂點為B，動直線l交橢圓C于P、Q兩點，且始終滿足，作交于點M，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，再由離心率為，求得，進而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，求得點M的軌跡方程為，法1、設(shè)，得到，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解；法2、設(shè)，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由橢圓的性質(zhì)可知，左焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過兩次反射之后回到點，可得光