福建省福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期福州市部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟高一年級期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）溫馨提示：請將所有答案填寫到答題卡的相應(yīng)位置上！請不要越界、錯(cuò)位答題！一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值求解【詳解】.故選：C2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集概念，求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)交集的概念可得，.故選：B.3.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，易知函?shù)在R上是增函數(shù)，又，所以，又易知在上是減函數(shù)，所以，綜上，.故選：B.4.若=，則sin=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選：D.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.6.生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量P會(huì)按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為(其中a為常數(shù))，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的79%，則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：.參考時(shí)間軸：A.戰(zhàn)國 B.漢 C.唐 D.宋【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“半衰期”得，進(jìn)而解方程得，進(jìn)而可推算其所處朝代.【詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，解方程，兩邊取以為底的對數(shù)得，解得，所以，所以可推斷該文物屬于漢朝.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)半衰期計(jì)算得，進(jìn)而解方程.7.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊范圍即可排除求解.【詳解】由于的定義域?yàn)?又，所以為奇函數(shù)，故可排除AB,由于當(dāng)時(shí)，，故排除C，故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分又不必要條件 D.充要條件【答案】A【解析】【分析】通過可以得出，反過來不可以，反例見詳解.【詳解】由得，，所以，，即.所以“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的充分條件.如下圖是一個(gè)周期為得函數(shù)，得不出，所以“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的不必要條件.所以“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.9.已知實(shí)數(shù)，其中，則下列關(guān)系中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A，C；舉反例判斷B；利用作差法判斷D.【詳解】對于A，由于，故兩邊同乘以b，即，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，不成立，B錯(cuò)誤；對于C，由于，故，C正確；對于D，因?yàn)?，則，故，故，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，故A正確；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故B錯(cuò)誤；，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D正確．故選：BC．11.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則下列敘述正確的是（）A.水斗作周期運(yùn)動(dòng)的初相為B.在水斗開始旋轉(zhuǎn)的60秒（含）中，其高度不斷增加C.在水斗開始旋轉(zhuǎn)的60秒（含）中，其最高點(diǎn)離平衡位置的縱向距離是D.當(dāng)水斗旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，其和初始點(diǎn)A的距離為6【答案】AD【解析】【分析】求出圓的半徑，利用周期求出，通過三角函數(shù)的解析式求出初相，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】對于A，由，知，，所以；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)A位置，有，解得，又，所以，故A正確；對于B，可知，當(dāng)，，所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)，，，所以點(diǎn)到軸的距離的最大值為6，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，所以，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)解析式的步驟：(1)求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，.(2)求，確定函數(shù)的周期，則(3)求，常用方法如下：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．12.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則稱為的“倍美好區(qū)間”，特別地，當(dāng)時(shí)，則稱為的“完美區(qū)間”．則下列說法正確的是（）A.若為函數(shù)的“完美區(qū)間”，則B.函數(shù)，存在“倍美好區(qū)間”C.函數(shù)，不存在“完美區(qū)間”D.函數(shù)，有無數(shù)個(gè)“2倍美好區(qū)間”【答案】ABD【解析】【分析】分析每個(gè)函數(shù)的定義域及其在相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，按“k倍美好區(qū)間”，“完美區(qū)間”的定義，列出相應(yīng)方程，再根據(jù)方程解的情況，判斷正誤.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，故函數(shù)在單調(diào)遞增。所以值域，又為函數(shù)的“完美區(qū)間”，所以，得或，因?yàn)椋?，故A對；假設(shè)函數(shù)，存在“倍美好區(qū)間”設(shè)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，故B對；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，假設(shè)函數(shù)存在“完美區(qū)間”，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，要使值域?yàn)椋瑒t，解得，即假設(shè)成立，故C錯(cuò)；假設(shè)函數(shù)定義域內(nèi)任意子區(qū)間，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以值域?yàn)?，故?nèi)任意一個(gè)子區(qū)間都是“2倍美好區(qū)間”，故D對故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則______.【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)定義得或，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)遞增即可得解.【詳解】由，得或.又在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.14.若扇形的周長為，面積為，圓心角為，則__________.【答案】【解析】【分析】由扇形的周長和面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蔚闹荛L為，扇形的面積為，由得，或，又因?yàn)?，所?故答案為：.15.已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系及已知可求得，由,化簡為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)方程有解，利用判別式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，解得，或，若，則即，因?yàn)?，故，若，則，不成立，若，則，故，故也不成立，故，所以，則，則，化簡可得，由方程有解，可知：，即.解得：，則的最大值為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，討論當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，確定函數(shù)零點(diǎn)只可能在且的情況，再分析含絕對值符號的二次函數(shù)即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，則，于是，若，函數(shù)的圖象對稱軸，此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即當(dāng)且時(shí)，，函數(shù)無零點(diǎn)；于是只有當(dāng)且時(shí)，函數(shù)才有零點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，而當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，要函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，必有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象對稱軸，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然，而，因此函數(shù)在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計(jì)算：.【答案】7【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】18.（1）已知，求的最小值；（2）若均為正實(shí)數(shù)，且滿足，求的最小值.【答案】（1）8；（2）【解析】【分析】（1）先將函數(shù)解析式變形，再利用基本不等式求出最值；（2）結(jié)合1的妙用，利用基本不等式求出最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為8.（2）因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，，所以，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為.19.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意首先根據(jù)對稱中心求得函數(shù)表達(dá)式，然后令，解不等式組即可得解.（2）由，得,解不等式組即可得解.【小問1詳解】由題意知，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即．，故．令，得，即．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）知，．由，得，即．不等式的解集為.20.對于函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)為奇函數(shù)？【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（2）存【解析】【分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)定義得到等式恒成立，則可求出.【小問1詳解】在區(qū)間上的單調(diào)遞增．證明如下：對任意，且，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，所以，即，又，則，即，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)為奇函數(shù)，則對任意，都有，解得，故存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)是奇函數(shù)．21.網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷售平臺(tái)通常會(huì)配備送貨上門服務(wù)．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計(jì)示意圖．（1）為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運(yùn)送過程中發(fā)生傾斜時(shí)，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個(gè)頂點(diǎn)與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進(jìn)客戶家門，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計(jì)算并說明理由．（2）由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(yùn)(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運(yùn)過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設(shè)，當(dāng)冰箱被卡住時(shí)(即點(diǎn)、分別在射線、上，點(diǎn)在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到）【答案】（1）冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中，理由見解析；（2）最小值為米，此情況下能推運(yùn)冰箱高度的最大值為米.【解析】【分析】（1）過A，D作水平線，作，由可得；（2）延長與直角走廊的邊相交于、，由表示出，設(shè)進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】過A，D作水平線，作如圖，當(dāng)傾斜角時(shí)，冰箱傾斜后實(shí)際高度（即冰箱最高點(diǎn)到地面的距離），故冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中．【小問2詳解】延長與直角走廊的邊相交于、，則，，，又，則，．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則，再令，則，易知，上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值.由實(shí)際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為米．22.若函數(shù)與區(qū)間同時(shí)滿足：①區(qū)間為的定義域的子集，②對任意，存在常數(shù)，使得成立，則稱是區(qū)間上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界．（注：涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求最值可直接使用單調(diào)性，不需要證明）（1）試判斷函數(shù)，是否是上的有界函數(shù)；（直接寫結(jié)論）（2）已知函數(shù)是區(qū)間上的有界函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；（3）對實(shí)數(shù)進(jìn)行討論，探究函數(shù)在區(qū)間上是否存在上界？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】22.不是上的有界函數(shù)，是上的有界函數(shù)23.24.當(dāng)時(shí)，存在上界M，;當(dāng)或時(shí)，存在上界M，；當(dāng)時(shí)，存在上界M，;當(dāng)時(shí)，不存在上界M．【解析】【分析】（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義判斷即可；（2）先求解函數(shù)的值域，進(jìn)而求解的取值范圍，再根據(jù)有界函數(shù)的定義確定上界M的取值范圍；（3）先求解函數(shù)及，再根據(jù)有界函數(shù)的定義，討