2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江第一高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江第一高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x+3y+2=0的傾斜角是A.5π6 B.2π3 C.π32.已知條件p：m>2，條件q：點P(1,m)在圓：x2+y2=5外，則p是A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.若雙曲線x29?y211=1的右支上一點P到右焦點的距離為A.3 B.12 C.15 D.3或154.已知橢圓C：x220+y24=1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，PA.25 B.43 C.5.已知橢圓x216+y29A.8x?6y?7=0 B.3x+4y=0

C.3x+4y?12=0 D.6x+8y?25=06.如圖，某種地磚ABCD的圖案由一個正方形和4條拋物線構(gòu)成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.C1：y2=2px，C2：x2=?2py，C3：y2=?2px，C4：x2=2py，p>0，已知正方形ABCD的面積為64，連接C1，C2的焦點F1，F(xiàn)2A.10?52 B.8?52 C.7.如圖，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與橢圓E交于點A，B.直線l為橢圓E在點A處的切線，點B關(guān)于l的對稱點為M.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，F(xiàn)1A.19 B.211 C.9118.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2=π3A.2+33 B.1+33二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若動點P到定點F(?4,0)的距離與到直線x=4的距離相等，則P點的軌跡不可能是(

)A.拋物線 B.線段 C.直線 D.射線10.設(shè)雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F1，右焦點為A.若a=3且b=2，則雙曲線E的兩條漸近線的方程是y=±32x

B.若PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積等于b2

C.若點11.已知曲線M：x2+(y?3A.M與N有4條公切線

B.若A，B分別是M，N上的動點，則|AB|的最小值是3

C.直線y=13(x?4)與M，N的交點的橫坐標(biāo)之積為?8037

D.若A(x,y)(y≠0)是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知拋物線方程為4y=x2，則拋物線的準(zhǔn)線方程為______．13.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.勤勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn)象.太極圖由正方形的內(nèi)切圓(簡稱大圓)和兩個互相外切且半徑相等的圓(簡稱小圓)的半圓弧組成，兩個小圓與大圓均內(nèi)切.若正方形的邊長為8，則以兩個小圓的圓心(圖中兩個黑白點視為小圓的圓心)為焦點，正方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實軸長是

．

14.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓．許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進(jìn)行過研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelin(1794?1847)的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E，F(xiàn)，在截口曲線上任取一點A，過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C，B，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.由B，C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離BC是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E，F(xiàn)為焦點的橢圓．

如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P，則球在桌面上的投影是橢圓．已知A1A2是橢圓的長軸，PA1垂直于桌面且與球相切，P四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l1：x+(2m?2)y=0，l2：2mx+y?2=0，且滿足l1⊥l2，垂足為C．

(Ⅰ)求m的值及點C的坐標(biāo)．

(Ⅱ)設(shè)直線l1與x軸交于點A，直線l216.(本小題15分)如圖，在圓錐PO中，AC為圓錐底面的直徑，B為底面圓周上一點，點D在線段BC上，AC=2AB=6，CD=2DB．(1)證明：AD⊥平面BOP；(2)若圓錐PO的側(cè)面積為18π，求二面角O?BP?A的余弦值．17.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且過點(1,32)．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點M(1,0)的直線l與橢圓C交于點18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，

AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求證：PD⊥平面PAB(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說明理由．19.(本小題17分)

已知雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點P(22,1)是Γ上一點.若I為△PF1F2的內(nèi)心，且5SIPF1?5SIPF2=25SIF1F2參考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BCD

10.BCD

11.BCD

12.y=?1

13.214.2315.解：(Ⅰ)因為直線l1：x+(2m?2)y=0，l2：2mx+y?2=0，且滿足l1⊥l2，

所以1?2m+(2m?2)?1=0，

解得m=12，

可得直線l1的方程為：x?y=0，

直線l2的方程為：x+y?2=0，

聯(lián)立x?y=0x+y?2=0，解得x=y=1，

即兩條直線的交點C(1,1)；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得A(0,0)，B(2,0)，

由題意可得圓心在線段AB的中垂線，線段AC的中垂線上，

而AB的中垂線的方程為x=1，

AC的中垂線的方程y?12=?(x?12)，即16.解：(1)證明：∵PO⊥平面ABC，BA⊥BC，故以B為坐標(biāo)原點，

BA為x軸正方向，BC為y軸正方向，與OP同向的方向為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|OP|=x，故B(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,33,0)，

O(32,332,0)，P(32,332,x)，D(0,3,0)，

AD=(?3,3,0)，BO=(32,332,0)，BP=(32,332,x)，

∵AD?BO=?3×32+3×332=0，AD?BP=?3×17.解：(Ⅰ)因為橢圓的離心率為1?b2a2=32，

所以a2=4b2，

又橢圓過點(1,32)，

所以14b2+34b2=1，解得a2=4，b2=1，

故橢圓C的方程為x24+y2=1．

(Ⅱ)由題意知，直線l的斜率不可能為0，設(shè)其方程為x=ty+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)18.(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB?平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中點為O，連接CO，PO，

∵CD=AC=5，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且PO?平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,?1,0)，C(2,0,0)，

則PB=(1,1,?1),PD=(0,?1,?1)，PC=(2,0,?1)，

設(shè)n=(x0,y0,z0)為平面PCD的法向量，

則由n?PD=0n?PC=0，得?y0?z0=02x0?z0=0，令z0=1，則n=(12,?1,1)．

設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，則

sinθ=|cos<n,PB>|=|n?PB|n||PB||=|12?1?11419.解：(1)因為點P(22,1)是Γ上一點，所以8a2?1b2=1.設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，

則S△IPF1=12|PF1|r，S△IPF2=12|PF2|r，S△IF1F2=12|F1F2|r