第一次月考八年級(jí)數(shù)學(xué)模擬卷（范圍全等三角形軸對(duì)稱(chēng)圖形）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)分層訓(xùn)練AB卷（蘇科版）

20222023學(xué)年度第一學(xué)期第一次月考八年級(jí)數(shù)學(xué)模擬卷解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列四幅圖案中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故本題選：D．2.用一條長(zhǎng)為16cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若其中有一邊的長(zhǎng)為4cm，則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm【答案】B【解析】解：①4cm是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為16?4×2＝8(cm)，4cm、4cm、8cm不能組成三角形；②4cm是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為124cm、6cm、6cm能夠組成三角形；綜上，它的腰長(zhǎng)為6cm．故本題選：B．3.如圖，∠B＝∠C，要使△ABE≌△ACD．則添加的一個(gè)條件不能是（）A．∠ADC＝∠AEBB．AD＝AEC．AB＝ACD．BE＝CD【答案】A【解析】解：∵∠B＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴當(dāng)添加AD＝AE時(shí)，根據(jù)“AAS”判定△ABE≌△ACD；當(dāng)添加AB＝AC時(shí)，根據(jù)“ASA”判定△ABE≌△ACD；當(dāng)添加BE＝CD時(shí)，根據(jù)“AAS”判定△ABE≌△ACD．故本題選：A．4.如圖，聰聰書(shū)上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)知識(shí)很快就畫(huà)了一個(gè)與書(shū)本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫(huà)圖的依據(jù)是（）A．SSSB．SASC．ASAD．AAS【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．故本題選：C．5.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若∠1＝115°，則圖中∠2的度數(shù)為（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】A【解析】解：∵∠1＝115°，∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，∴∠CFB′＝50°，又∵∠B＝∠B′＝90°，∴∠2＝90°?∠CFB′＝40°，故本題選：A．6.下列說(shuō)法中正確的是（）A．兩個(gè)全等三角形一定成軸對(duì)稱(chēng)B．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等C．兩個(gè)三角形全等，對(duì)應(yīng)邊不一定相等D．等腰三角形都只有一條對(duì)稱(chēng)軸【答案】B【解析】解：A、兩個(gè)全等三角形不一定成軸對(duì)稱(chēng)，不符合題意；B、全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，符合題意；C、若兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊一定相等，不符合題意；D、等邊三角形有3條對(duì)稱(chēng)軸，不符合題意．故本題選：B．7.在△ABC中，AB＜AC．用尺規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD＋DC＝BC的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵BD＋DC＝BC，∴當(dāng)AD＝BD時(shí)，AD＋DC＝BC，∴點(diǎn)D為AB的垂直平分線(xiàn)與BC的交點(diǎn)．故本題選：C．8.如圖，直線(xiàn)a，b相交形成的夾角中，銳角為52°，交點(diǎn)為O，點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，直線(xiàn)b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，這樣的點(diǎn)B有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】D【解析】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：①當(dāng)OB＝AB時(shí)，作線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)，與直線(xiàn)b的交點(diǎn)為B，此時(shí)有1個(gè)；②當(dāng)OA＝AB時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑作圓，與直線(xiàn)b的交點(diǎn)，此時(shí)有1個(gè)；③當(dāng)OA＝OB時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，與直線(xiàn)b的交點(diǎn)，此時(shí)有2個(gè)，綜上，共4個(gè)．故本題選：D．9.如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD、BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠FCD＝∠DAC；③CF⊥AB；④若BF＝2EC，則△FDC周長(zhǎng)等于A(yíng)B的長(zhǎng)．其中正確的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④【答案】B【解析】解：如圖，延長(zhǎng)CF交AB于H，∵AD、BE分別為BC，AC邊上的高，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°?∠ABC?∠ADB＝45°＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠DAC＋∠ACB＝∠DBF＋∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，在△DBF和△DAC中，∠DBF＝∠DAC∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF＝AC，DF＝DC，∴①符合題意；∵∠FDC＝90°，DF＝DC，∴∠DFC＝∠FCD＝45°，∵∠DFC＞∠DAC，∴∠FCD＞∠DAC，∴②不符合題意；∵∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，∴∠BHC＝180°?∠ABC?∠FCD＝90°，∴CF⊥AB，∴③符合題意；∵BF＝2EC，BF＝AC，∴AC＝2EC，∴AE＝EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF＝CF，BA＝BC，∴△FDC的周長(zhǎng)＝FD＋CF＋DC＝FD＋AF＋DC＝AD＋DC＝BD＋DC＝BC＝AB，∴④符合題意．故本題選：B．10.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E、AC于點(diǎn)F，在EF上確定一點(diǎn)P，使PB＋PD最小，則這個(gè)最小值為（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【解析】解：∵BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD＝12，∵EF垂直平分AB，∴PA＝PB，PB＋PD＝PA＋PD，如圖，當(dāng)P為EF與AD的交點(diǎn)時(shí)，PA＋PD取最小值，此時(shí)，PA＋PD＝AD＝12，∴PB＋PD的最小值為12，故本題選：C．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11.某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面大鏡子，從鏡子中看到汽車(chē)的車(chē)輛的號(hào)碼如圖所示，則該汽車(chē)的號(hào)碼是_____．【答案】8.721×106【解析】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“B6395”成軸對(duì)稱(chēng)，則該汽車(chē)的號(hào)碼是B6395．故本題答案為：B6395．12.等腰三角形的一個(gè)外角是100°，則這個(gè)等腰三角形的底角為_(kāi)____．【答案】50°或80°【解析】解：①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180°?100°＝80°，則其底角為：180°?80°2＝50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180°?100°＝80°；綜上，這個(gè)等腰三角形的底角為：50°或80°．故本題答案為：50°或80°．13.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線(xiàn)分別交AC，BC于點(diǎn)D、E．若△ABC的周長(zhǎng)為30，BE＝5，則△ABD的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】20【解析】解：∵BC的垂直平分線(xiàn)分別交AC，BC于點(diǎn)D、E，∴DB＝DC，BE＝EC，∵BE＝5，∴BC＝10，∵△ABC的周長(zhǎng)為30，∴AB＋AC＋BC＝30，∴AB＋AC＝20，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝20．故本題答案為：20．14.如圖，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，則∠DEF的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】60°【解析】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA＋∠A＝15°＋15°＝30°，∴∠ECD＝∠CED＝∠A＋∠CDB＝45°∴∠EDF＝∠EFD＝∠A＋∠CED＝60°∴∠DEF＝180°?（∠EDF＋∠EFD）＝180°?120°＝60°．故本題答案為：60°．15.在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線(xiàn)，則AD的取值范圍是_____．【答案】1＜AD＜6【解析】解：如圖，延長(zhǎng)中線(xiàn)AD到E，使ED＝AD，∵AD是三角形的中線(xiàn)，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，CD＝BD∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝EB，∵AB＝5，EB＝AC＝7，∴7?5＜AE＜7＋5，即7?5＜2AD＜7＋5，∴1＜AD＜6．故本題答案為：1＜AD＜6．16.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)E在A(yíng)C上，且∠CDE＝20°，現(xiàn)將△CDE沿直線(xiàn)DE折疊得到△FDE，連接BF，∠BFE的度數(shù)是_____．【答案】80°【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴BD＝CD，∵△CDE沿直線(xiàn)DE翻折得到△FDE，∴CD＝DF，∠DFE＝∠C＝60°，∠CDE＝∠FDE＝20°，∴BD＝DF，∴∠DBF＝∠DFB，由三角形的外角性質(zhì)得，∠CDF＝∠DBF＋∠DFB＝2∠DFB，∴∠DFB＝12∴∠BFE＝∠DFB＋∠DFE＝20°＋60°＝80°．故本題答案為：80°．17.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線(xiàn)，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線(xiàn)最多可畫(huà)_____．【答案】4【解析】解：如圖，當(dāng)AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分別為分割線(xiàn)），∴這樣的直線(xiàn)最多可畫(huà)4條．故本題答案為：4．18.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)M和N分別以每秒1cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝_____秒時(shí)，以點(diǎn)M、E、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N、F、C為頂點(diǎn)的三角形全等．【答案】2或92【解析】解：①當(dāng)0＜t＜113此時(shí)有AM＝t，BN＝3t，AC＝7，BC＝11，當(dāng)MC＝NC，即7?t＝11?3t，也即t＝2時(shí)，∵M(jìn)E⊥l，NF⊥l，∠ACB＝90°，∴∠MEC＝∠CFN＝∠ACB＝90°．∴∠MCE＝90°?∠FCN＝∠CNF，在△MEC和△CFN中，∠MCE＝∠CNF∴△MEC≌△CFN（AAS）；②當(dāng)113≤t≤6時(shí)，點(diǎn)M、N都當(dāng)M、N重合即3t?11＝7?t，也即t＝92△MEC≌△NFC（兩個(gè)三角形重合）；③當(dāng)6＜t≤7時(shí)，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在A(yíng)C上，不存在；④當(dāng)7＜t＜18時(shí)，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在BC上，如圖②，當(dāng)MC＝NC即t?7＝7，也即t＝14時(shí)，同理可得：△MEC≌△CFN；綜上，當(dāng)t等于2或92或14秒時(shí)，以點(diǎn)M、E、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N、F、故本題答案為：2或92三、選擇題（本題共8小題，共66分）19.（6分）如圖，AB＝AC，CD∥AB，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且∠ABE＝∠CAD，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△CAD；（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度數(shù)．【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）105°【解析】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠BAE＝∠ACD，在△ABE和△CAD中∠BAE＝∠ACD∴△ABE≌△CAD（ASA）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°?∠ABC?∠ACB＝180°?65°?65°＝50°，又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝50°＋25°＝75°，∵AB∥CD，∴∠D＝180°?∠BAD＝180°?75°＝105°．20.（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格上的一個(gè)△ABC．（1）作△ABC關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)圖形（不寫(xiě)作法）；（2）以P為一個(gè)頂點(diǎn)作與△ABC全等的三角形（規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，另兩頂點(diǎn)都在圖中網(wǎng)格交點(diǎn)處），則可作出_____個(gè)三角形與△ABC全等；（3）在直線(xiàn)MN上找一點(diǎn)Q，使QB＋QC的長(zhǎng)最短．【答案】（1）作圖詳見(jiàn)解析；（2）3；（3）作圖詳見(jiàn)解析【解析】解：（1）如圖，△A′B′C′與△ABC關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)；（2）由圖可知，可作出3個(gè)三角形與△ABC全等；（3）如圖，連接BC′交直線(xiàn)MN于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求點(diǎn)．21.（6分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線(xiàn)EF分別交邊BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線(xiàn)段CE的中點(diǎn)．（1）求證：BE＝AC；（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）75°【解析】（1）證明：如圖，連接AE，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線(xiàn)段CE的中點(diǎn)，∴AD垂直平分CE，∴AC＝AE，∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BE＝AC；（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，∴∠BAE＝∠B＝35°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°?35°＝55°，∴∠EAD＝55°?35°＝20°，∵AC＝AE，AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線(xiàn)段CE的中點(diǎn)，∴AD平分∠CAE（三線(xiàn)合一），∴∠CAD＝∠EAD＝20°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝55°＋20°＝75°．22.（8分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（1）求證：∠ABD與∠ACD互補(bǔ)；（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）AE＝7，BE＝1【解析】（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠DAE＝∠DAF，DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，DE＝DF∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴∠ABD＝∠DCF，BE＝CF，∵∠DCF＋∠ACD＝180°，∴∠ABD＋∠ACD＝180°．（2）在△ADE和△ADF中，∠AED＝∠AFD＝90°∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF＝AC＋CF，又∵BE＝CF，∴AE＝AC＋BE，∵AE＝AB?BE，∴AB?BE＝AC＋BE，∵8?BE＝6＋BE，解得：BE＝1，∴AE＝AB?BE＝7．23.（8分）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為5cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線(xiàn)段AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？（2）連接AQ、CP，相交于點(diǎn)M，則點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ會(huì)變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．【答案】（1）53秒或103秒；（2）∠CMQ＝60°不變【解析】解答：解：（1）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝5?t，①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，得5?t＝2t，t＝53②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（5?t），t＝103∴當(dāng)?shù)?3秒或第103（2）∠CMQ＝60°不變，理由如下：在△ABQ與△CAP中，AB＝CA∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°．24.（10分）如圖（1），已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線(xiàn)段BC、DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE．（2）連接DM、ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時(shí)，如圖（2），上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立，若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）∠DME＝180°?2∠A，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，理由詳見(jiàn)解析【解析】（1）證明：如圖（1），連接DM、ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，∴DM＝12BC，ME＝1∴DM＝ME，又∵N為DE中點(diǎn)，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°?∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠MBD，∠ACB＝∠MEC，∴∠BMD＋∠CME＝（180°?2∠ABC）＋（180°?2∠ACB），＝360°?2（∠ABC＋∠ACB），＝360°?2（180°?∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°?2∠A；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，理由如下：連接DM、ME，在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°?∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠DMB，∠ACB＝∠EMC，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC，＝2（180°?∠BAC），＝360°?2∠BAC，∴∠DME＝180°?（360°?2∠BAC），＝2∠BAC?180°．25.（10分）已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如圖1，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連AD，過(guò)B作BE⊥AD于E，交AC于點(diǎn)F．求證：AD＝BF；（2）如圖2，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，連AD，過(guò)A作AE⊥AD，且AE＝AD，連BE交AC于F，連DE，問(wèn)BD與CF有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE＝AD且AE⊥AD，連接BE、AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交BE于點(diǎn)M，若AC＝3MC，請(qǐng)直接寫(xiě)出DBBC【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）BD＝2CF，理由詳見(jiàn)解析；（3）DBBC＝【解析】（1）證明：如圖1，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠CAD＝∠CBF，在△BCF與△ACD中，∠CBF＝∠CAD∴△BCF≌△ACD（ASA），∴BF＝AD．（2）BD＝2CF，理由如下：如圖2中，作EH⊥AC于H，∵BE⊥AD于E，EH⊥AC于H，∴∠AHE＝∠DAE＝90°＝∠DCA，∴∠DAC＋∠ADC＝90°，∠DAC＋∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，在△ACD與△EHA中，∠∴△ACD≌△EHA（AAS），∴CD＝HA，AC＝EH＝BC，∵CB＝CA，∴CB?CD＝CA?HA，∴BD＝CH，在△EHF和△BCF中，∠EFH＝∠BFC∴△EHF≌△BCF（AAS），∴HF＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如圖3中，同法可證BD＝2CM，∵AC＝3CM，設(shè)CM＝a，則AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴DBBC＝2a3a＝26.（12分）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC為外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是_____；此時(shí)QL＝_____（2）如圖2，點(diǎn)M、N邊分別在A(yíng)B、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，猜想BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（4）在（3）問(wèn)的條件下，若此時(shí)AN＝x，則Q＝_____（用x、L表示，直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）MN＝BM＋NC，QL＝23；（2）MN＝BM＋CN，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）MN＝BM＋CN，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（4）【解析】解：（1）如圖1，猜想：MN＝BM＋NC，理由如下：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DC