2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市房山區(qū)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（共10小題，每小題4分，共40分）1．設(shè)集合，則（

）.A．B．C． D．2．已知（為虛數(shù)單位），則的虛部為（

）.A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點，且圓心在直線上，若直線被圓截得弦長為，則正實數(shù)的值為（

）.A．1 B． C． D．24.已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值為（

）.A．

B．

C．

D．5.在中，，則（

）.A. B. C.D.6.若,,則的值為（

）.A. B. C. D.7.設(shè)a，b均為單位向量，則“a⊥b”是“”的（

）條件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要8.《九章算術(shù)》是中國古代的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著.其中卷五記載：“今有芻甍，下廣三丈，表四丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何？”問題即為：今有如圖所示的屋脊?fàn)钚w，下底面ABCD是矩形，假設(shè)屋脊沒有歪斜，即PQ中點R在底面ABCD上的投影為矩形ABCD的中心O，，，，，長度單位：丈則楔體的體積為體積單位：立方丈（

）.A.10 B.8 C.6 D.59.已知非零向量，，在同一平面，其中是單位向量.與的夾角為，，則的最小值是（

）.A．2 B． C．1 D．10.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上至少存在一對關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）.A.B.C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率________．12.在等差數(shù)列中，公差不為，，且成等比數(shù)列，則__________；當(dāng)__________時，數(shù)列的前n項和有最大值．13.已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是．14．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，；（2）若恰有2個零點，則a的取值范圍是．15．對于數(shù)列，若存在，使得對任意，有，則稱為“有界變差數(shù)列”.給出以下四個結(jié)論：①若等差數(shù)列為“有界變差數(shù)列”，則的公差等于0；②若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列為“有界變差數(shù)列”，則其公比的取值范圍是；③若數(shù)列是“有界變差數(shù)列”，則存在，使得對任意，有；④若數(shù)列是“有界變差數(shù)列”，則數(shù)列必是“有界變差數(shù)列”.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題（本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（13分）設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③、條件④這四個條件中選擇兩個作為已知，使得存在且唯一．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：；條件③：最大值為；條件④：的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．17．（13分）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班～8班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：（Ⅰ）若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）若從高一2班抽測的10人中隨機抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機抽取1人，設(shè)X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等。現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀。直接寫出方差，，，的大小關(guān)系（無需過程）.18．（14分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為中點，點在棱上，平面，．（Ⅰ）求證：為中點；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱上任意一點，求證：與平面不垂直.19．（15分）已知橢圓的左焦點為，直線l過點F交橢圓于A，B兩點．當(dāng)直線l垂直于x軸時，的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線上是否存在點C，使得為正三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)及直線l的方程；若不存在，請說明理由．20．（15分）已知函數(shù)其中

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)，且函數(shù)有極大值點求證：21.（15分）已知集合，集合且滿足：與恰有一個成立.對于定義（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）從中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的個數(shù)的和為.證明：；（Ⅲ）求證：對于滿足（）的每一個集合，集合中都存在三個不同的元素，使得.數(shù)學(xué)答案一、單選題12345AACBB678910ACDDA二、填空題11．12.;13.14．;15．①③④16.設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③、條件④這四個條件中選擇兩個作為已知，使得存在且唯一．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：；條件③：最大值為；條件④：的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．答案：（1）選擇條件②④，得到，，由的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.選擇條件③④，由題意可得，最大值為得到，所以由的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當(dāng)時，，，當(dāng)即時，有最大值；當(dāng)即時，有最小值.17．為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班～8班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（x軸表示對應(yīng)的班號，y軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：(1)若用散點圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從高一2班抽測的10人中隨機抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機抽取1人，設(shè)X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學(xué)，用“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀.寫出方差，，，的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）.【詳解】（1）由題意知從高一年級的（1）班～（8）班了抽測共80人，其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的共有，故估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率為；（2）由題意可知高一2班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測的10人中優(yōu)秀的有7人，則可取，，則的分布列為：的數(shù)學(xué)期望.（3）.

18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為中點，在棱上，平面,．（1）求證：為中點；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)為棱上任意一點，求證：與平面不垂直.解：（1）連結(jié)，因為底面是正方形，所以與互相平分，所以為中點因為平面，平面，平面平面，所以，因為為中點，所以為中點.（2）取中點，連接，，因為，所以∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面∴底面，所以因為分別為中點，所以,因為,所以所以兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則（1，0，0），（1，2，0），（﹣1，2，0），（﹣1，0，0），，，（0，1，0），是平面的一個法向量設(shè)平面的一個法向量是，∵，令，則，，所以二面角的余弦值為（3）假設(shè)平面，所以，設(shè)，則，∴，由，所以由，所以，導(dǎo)致矛盾，所以假設(shè)不成立，與平面不垂直.19．已知橢圓的左焦點為，直線l過點F交橢圓于A，B兩點．當(dāng)直線l垂直于x軸時，的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）直線上是否存在點C，使得為正三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)及直線l的方程；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題得，且．令，代入橢圓得，故的面積為．所以．結(jié)合，解得．所以橢圓的方程為．當(dāng)直線l垂直于x軸時，，顯然不滿足為正三角形，當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線AB方程為，與橢圓顯然有兩個交點，由得，設(shè)的中點，則，，，因為為正三角形，所以，而，所以，解得，當(dāng)時，所以，所以直線所以，同理當(dāng)時，直線所以，綜上：點C的坐標(biāo)為，對應(yīng)直線l的方程分別為20．已知函數(shù)其中

當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

若恒成立，求a的取值范圍；

設(shè)，且函數(shù)有極大值點求證：【正確答案】解：當(dāng)時，，則，，，

函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即

不等式，即，，，恒成立，

令，則，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，取得極大值，也為最大值，故，

由，得，實數(shù)a的取值范圍是

證明：由，得，

①當(dāng)時，，單調(diào)遞增無極值點，不符合題意；

②當(dāng)或時，令，設(shè)的兩根為和，

為函數(shù)的極大值點，，由，，知，，

又由，得，

，

令，，則，

令，，則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，，

，在上單調(diào)遞減，，

21.已知集合，集合且滿足：與恰有一個成立.對于定義（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）從中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的個數(shù)的和為.證明：；（Ⅲ）求證：對于滿足（）的每一個集合，集合中都存在三個不同的元素，使得.解：（Ⅰ）因為，所以，，，故.…………2分

因為，所以.所以.所以當(dāng)時，取得最大值.…………4分（Ⅱ）證明：由的定義可知.所以.…………6分設(shè)刪去的兩個數(shù)為，則.由題意可知：，且當(dāng)其中一個不等式中等號成立，