2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省莆田市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．橢圓的焦距是（

）A． B． C．2 D．42．直線關(guān)于y軸對稱的直線的方程為（）A． B． C． D．3．已知直線經(jīng)過兩點，則直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．4．已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（

）A． B． C． D．或5．已知圓和圓，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．6．在兩條異面直線，上分別取點，和點，，使，且.已知，，，，則兩條異面直線，所成的角為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點.若，則點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓：（）的左焦點為，過焦點作圓的一條切線交橢圓的一個交點為A，切點為，且（為坐標(biāo)原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知橢圓的左右焦點分別為，，直線交橢圓于，兩點，則（

）A．的周長為4B．當(dāng)時，的面積為C．若直線經(jīng)過點，則的最小值是3D．若線段中點為，則直線的方程為11．如圖，在棱長為的正方體中，點在側(cè)面內(nèi)運動（包括邊界），為棱中點，則下列說法正確的有（

）A．存在點滿足平面∥平面B．存在點滿足平面C．當(dāng)為線段中點時，三棱錐的外接球體積為D．若，則點的軌跡長為三、填空題（本大題共3小題）12．方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是.13．已知，，，則點到直線的距離為.14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點，之間的“折線距離”.則坐標(biāo)原點與直線上一點的“折線距離”的最小值是；圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知為實數(shù)，設(shè)直線，.(1)若，求的值及與的交點坐標(biāo)；(2)若，求與的距離.16．已知圓與軸相切于點，圓心在經(jīng)過點與點的直線上.(1)求圓的方程；(2)證明圓與圓相交于兩點，并求線段的長度.17．已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)、為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，若的面積是，求直線的方程.18．在三棱錐中，.(1)證明：平面平面；(2)點為棱上，若與平面所成角的正弦值為，求的長；19．已知圓：與x正半軸交于點A，與直線在第一象限的交點為B．點為圓O上任一點，且滿足，以x，y為坐標(biāo)的動點的軌跡記為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若兩條直線：和：分別交曲線于點E、F和M、N，求四邊形面積的最大值，并求此時的k的值；(3)研究曲線的對稱性并證明為橢圓，并求橢圓的焦點坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】B【詳解】由可得橢圓焦點在軸上，且則，故橢圓的焦距是.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】直線與兩坐標(biāo)軸的交點分別為和0,1，因為這兩點關(guān)于y軸的對稱點分別為1,0和0,1，所以直線關(guān)于y軸對稱的直線方程為故選：A3．【正確答案】C【詳解】因為，所以，因為，所以與共線，故直線的一個方向向量是.故選：C4．【正確答案】A【詳解】的漸近線方程為，因此，故，故離心率為，故選：A5．【正確答案】D【詳解】設(shè)動圓的半徑為，因動圓同時與圓及圓相外切，則，，則，故動圓圓心的軌跡是以為兩焦點的雙曲線的左支.又因，解得，故其軌跡方程為.故選：D.6．【正確答案】C【詳解】如圖，設(shè)兩條異面直線，所成的角為，，，，，，，，則，得或（舍去）.故選：C7．【正確答案】A【詳解】解：設(shè)，因為，所以，則圓的方程為，聯(lián)立，解得，由，得，解得或，又，所以，即，所以點的橫坐標(biāo)為4故選：A8．【正確答案】A【詳解】由題意可知：圓的圓心為點，半徑為，，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，因為，可知點為的中點，且點為的中點，則∥，，由橢圓定義可知：，因為為切點，可知，則，可得，即，解得，即，所以橢圓的離心率.故選：A.2.焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．9．【正確答案】AC【詳解】對于A，因為不共面，所以，，不共面，故A正確；對于B，設(shè)，即，解得，所以，所以，，共面，故B錯誤；對于C，設(shè)，即，方程無解，所以，，不共面，故C正確；對于D，設(shè)，即，即，所以，即，，共面，故D錯誤；故選：AC10．【正確答案】BCD【詳解】A，假設(shè)直線經(jīng)過點，由題意可知橢圓的長軸長，左焦點F1?1,0，由橢圓的定義可知，故A錯誤；B，設(shè)，由橢圓定義可得，在中由余弦定理可得，把代入上式并整理可得，解得，所以，故B正確；C，若的斜率存在，不妨設(shè)其方程為：，聯(lián)立橢圓方程可得，，則，所以，若的斜率不存在，則其方程為，與橢圓聯(lián)立易得，顯然當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，故C正確；設(shè)，易知，可得，，若中點為，則，所以直線方程為，即，故D正確；故選：BCD11．【正確答案】ABD【詳解】如圖，對于A，平面∥平面，當(dāng)點位于點時，平面∥平面，故A正確；對于B，連接，由于平面平面故，又，平面，因此平面，平面，故，同理可證明，平面，故平面，因此位于時，此時平面，故B正確，對于C，當(dāng)為線段中點時，與均為直角三角形，且平面平面，三棱錐的外接球的球心為的中點，外接球的半徑，三棱錐的外接球體積為，故C錯誤；對于D，若，與均為直角三角形，，，如圖，在正方形中，以為原點，、分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，整理得：，點在面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以為半徑的，，，在中，，，，故D正確．故選：ABD．12．【正確答案】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型列式可得結(jié)果.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，解得.故13．【正確答案】【詳解】由題意，,，則與同方向的單位向量為，又,則，故點到直線的距離為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)直線上的一點為，則；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，取得最小值，即坐標(biāo)原點與直線上一點的“折線距離”的最小值為；設(shè)圓上點，直線上的一點為，則；，，則恒成立；當(dāng)時，，（其中，），則當(dāng)時，“折線距離”取得最小值；當(dāng)時，，（其中，），則當(dāng)時，“折線距離”取得最小值；當(dāng)時，，則，同上可知：此時“折線距離”最小值為；綜上所述：圓上一點與直線上一點的“折線距離”的最小值為.故；.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為直線，，，當(dāng)時，直線，，不符合題意當(dāng)時，直線斜率為，直線斜率為，由可得：即，解得；則，聯(lián)立方程組，解得，則與的交點坐標(biāo)為.（2）因為直線，，，由（1）知：時，不符合題意;當(dāng)時，由可得：，即，解得或，當(dāng)時，兩直線方程均為，不合題意，當(dāng)時，方程為，即，方程為，即，故與的距離為.16．【正確答案】(1)(2)證明見解析，【詳解】（1）經(jīng)過點和點的直線的斜率，直線的方程為：，即圓心在直線上；圓與軸相切于點，圓心在直線上；由得：，圓心，半徑，圓的方程為.（2）由圓的方程可得：圓心，半徑，，圓與圓相交；兩圓方程作差可得直線方程為：，則圓心到直線的距離，線段的長度為.17．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）根據(jù)橢圓的對稱性，，兩點必在橢圓上，又的橫坐標(biāo)為1，所以橢圓必不過，則，，三點在橢圓上.把，代入橢圓，得：解得，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知F2當(dāng)直線斜率為0時，不符合題意，當(dāng)直線斜率不為0時，可設(shè)直線的方程為：，Ax1,y1，聯(lián)立，消得：，，則，又，即，即，化簡得解得，所以直線的方程為：或.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）過作，垂足為，由，得，，得，由，得，所以，即，所以；在中，，所以，又平面，所以平面平面，所以平面平面；（2）如圖以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系；得，設(shè)，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，，所以；19．【正確答案】(1)(2)時，四邊形的面積最大值為(3)答案見解析【詳解】（1）由題意可得，即.由得，，則將代入，化簡得.故曲線的方程為.

（2）由，消得，解得，由已知直線交曲線于，不妨設(shè),，所以，同理.由題意知，所以四邊形的面積..∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時.∴當(dāng)時，四邊形的面積最大值為.（3）曲線的方程為，它關(guān)于直線、和原點對稱，

下面證明：設(shè)曲線上任一點的坐標(biāo)為Px0則，點關(guān)于直線的對稱點為，因為，所以點在曲線上，故曲線關(guān)于直線對稱，同理可得點Px0,y0關(guān)于直線的對稱點故曲線關(guān)于直線對稱，同