2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量評(píng)估試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省南陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量評(píng)估試題一、單選題（本大題共8小題）1．若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．下列橢圓的形狀更接近于圓的是（

）A． B．C． D．3．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則的值分別為（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且，則C的方程為（）A． B．C． D．5．雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或76．橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C．?1,1 D．7．已知P為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，直線過(guò)且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點(diǎn)為，若的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個(gè)命題為真命題的是（）A．若、、三點(diǎn)共線，則m的值為2B．直線的傾斜角的范圍是C．已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段相交，則直線的斜率k的取值范圍是D．直線與直線平行，則10．已知，直線：過(guò)定點(diǎn)A，：過(guò)定點(diǎn)B，與交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)M的軌跡方程是C．的最大值是25 D．的最大值為11．曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的積等于3的點(diǎn)P的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 B．點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值為2C．周長(zhǎng)的最小值為 D．點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.13．已知，，，若平面內(nèi)滿足到直線：的距離為1的點(diǎn)P恰有3個(gè)，則.14．已知P，Q分別在直線：與直線：上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線，焦點(diǎn)為.(1)求的坐標(biāo)及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求的最小值.16．已知點(diǎn)P是直線：與直線：的交點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；(2)設(shè)Q為圓E：上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)M的軌跡方程.17．已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，若C的焦距為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.18．已知雙曲線C：的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，A，B分別是C的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線：，交C的左、右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.①求m的取值范圍；②若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.19．通過(guò)研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫作把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖象是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M，N，過(guò)原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G，H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為，因?yàn)椋?故選：A.2．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，，，則，所以；對(duì)于B，，，則，所以；對(duì)于C，，，則，所以；對(duì)于D，，，則，所以.因?yàn)?，所以橢圓的形狀更接近于圓.故選：D.3．【正確答案】B點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則利用垂直關(guān)系，以及線段的中點(diǎn)在直線上，列式求解.【詳解】，若點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點(diǎn)在直線上，則，得故選:B4．【正確答案】B【詳解】由拋物線的定義，可知，又，，則，即，由點(diǎn)在C上，得，結(jié)合，解得.所以C的方程為.故選：B.5．【正確答案】B【詳解】由，可得，則.又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.故選：B6．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩式相減可得，即，因?yàn)锳，B關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，所以，即，所以，且點(diǎn)在直線上，則，解得，所以.故選：A7．【正確答案】B【詳解】由圓的方程，則圓心，半徑，結(jié)合題意作圖如下：由與圓相切，則，且，設(shè)Px,y，則，可得，的最小值為，的最大值為.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，由對(duì)稱性，不妨令與平行的漸近線為，則直線方程為：，即，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為，，，如圖所示，

則，即，而軸，圓半徑為，則，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，且，解得，又因?yàn)?，可得，所以雙曲線的離心率，故選：D.9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，取，，由題意可得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線方程，則斜率，由，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，由，解得，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，由題意可作圖如下：直線的斜率，直線的斜率，由圖可知直線繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線，則，解得，故C正確；對(duì)于D，由題意可得，則，，解得a=2或，當(dāng)a=2時(shí)，，不合題意；當(dāng)a=?1時(shí)，，符合題意，故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】AB【詳解】對(duì)A,,所以，故A正確；對(duì)于B，直線：可化為，所以定點(diǎn)為，直線：可化為，定點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)Mx,y，則，所以，化簡(jiǎn)可得，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)選項(xiàng)B可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最大值是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，即的最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：AB.11．【正確答案】ABC【詳解】設(shè)，由題意可得，整理可得曲線，設(shè)，則，對(duì)于A，任意取曲線的點(diǎn)，即，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，顯然成立，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理可得曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由是與的中點(diǎn)，則，，當(dāng)共線時(shí)，取得最大值，，且，取得最大值，所以取得最大值，故B正確；對(duì)于C，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，在中，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值，所以的面積取得最大值，點(diǎn)到軸的距離取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【正確答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程的特征得到不等式，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】，解得，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)，由，得，整理得，，即點(diǎn)P的軌跡是圓，圓心在原點(diǎn)，半徑為2.由題意，該圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離為1，即，解得.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】因?yàn)?，，所以直線與間的距離為，又，故，過(guò)作直線垂直于，如圖，則可設(shè)直線的方程為，代入，得，則，所以直線的方程，將沿著直線往上平移個(gè)單位到點(diǎn)，設(shè)，則，解得或（舍去），則，連接交直線于點(diǎn)P，過(guò)P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點(diǎn)與點(diǎn)距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，因?yàn)?，，所以，所以的最小值?故答案為.15．【正確答案】(1)，準(zhǔn)線方程為.(2)3【詳解】（1）將拋物線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，準(zhǔn)線方程為.（2）由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，為點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和，要使得最小，則點(diǎn)P，A在一條垂直于準(zhǔn)線的直線上，故最小值即為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，的最小值為3.16．【正確答案】(1)或.(2).【詳解】（1）聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.若直線的截距為0，即直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線方程為，即；若直線的截距不為0，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入，得，此時(shí)直線方程為，所以，過(guò)點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或.（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，由點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)可得，解得，由于點(diǎn)在圓：上，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.17．【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意，，即，則①；又點(diǎn)在橢圓C上，故②，聯(lián)立①②解方程組得，，，所以橢圓C的方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得恒成立，易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Px1,y設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組得，，則由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，（*）若滿足，則，即，整理得，，又，，代入上式得，，整理得，，將（*）式代入得，，又，解得，故存在點(diǎn)使得恒成立.18．【正確答案】(1).(2)①或；②或.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即，根據(jù)題意，，雙曲線的方程為.設(shè)點(diǎn)Px0,y0由，得，，根據(jù)題意，，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組得，，易知恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系，，.因?yàn)橹本€與雙曲線左右兩支相交，所以m需滿足，解得或.（ii）由圖易知，，則，所以，解得或，由（i）知，得，直線的方程為，即或.19．【正確答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ）是，2.【分析】（1）借助所給定義計(jì)算即可得；（2）（i）計(jì)算出該斜橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距，結(jié)合離心率定義計(jì)算即可得；（ⅱ）法一：設(shè)出直線，，聯(lián)立斜橢圓方程可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可表示出，計(jì)算即可得；法二：將所有點(diǎn)、直線與曲線都繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再設(shè)出直線，旋轉(zhuǎn)后方程，聯(lián)立標(biāo)準(zhǔn)方程可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可表示出，計(jì)算即可得.【詳解】（1）由已知可得，則，設(shè)，則，所以，，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）（i）由與交點(diǎn)為和，則，由與交點(diǎn)為和，則，所以，；（ⅱ）法一：設(shè)直線：，，，與斜橢圓聯(lián)立：，有，∵