2024-2025學年天津市北辰區(qū)高二上學期11月期中數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年天津市北辰區(qū)高二上學期11月期中數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共9小題）1．在空間直角坐標系中，點，關于平面對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．在四棱錐中，底面是正方形，是的中點，若，則（

）A． B．C． D．4．過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（）．A． B． C． D．5．若圓與圓外切，則（）A．32 B．26 C．18 D．6．已知是空間的一組基底，其中，，．若，，，四點共面，則（）A． B． C． D．7．若直線與平行，則與間的距離為（）A． B． C． D．8．設點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．9．若圓上僅有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知向量，，，則．11．已知橢圓的焦距是4，則該橢圓的長軸長為．12．圓與圓的公共弦的長為.13．直線過點，且在兩坐標軸上截距相等，則直線的方程為．14．如圖，隧道的截面是半徑為的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，假設貨車的最大寬度為，那么要正常駛入該隧道，貨車的限高為.15．已知圓，當圓的面積最小時，直線與圓相切，則實數(shù)的值為．三、解答題（本大題共5小題）16．已知圓經過坐標原點，且圓心為．(1)求圓的標準方程；(2)已知直線與圓相交于，兩點，求弦長的值；(3)過點引圓的切線，求切線的方程．17．如圖，平面，，，，，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離.18．已知橢圓：的左右焦點分別為，上頂點為，長軸長為，若為正三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點，斜率為的直線與橢圓相交兩點，求的長；(3)過點的直線與橢圓相交于兩點，，求直線的方程.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．20．設橢圓的左右焦點分別為，，且過點，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)設動直線與坐標軸不垂直，與曲線交于不同的，兩點，且直線和的斜率互為相反數(shù)．①證明：動直線恒過軸上的某個定點，并求出該定點的坐標；②求面積的最大值．

答案1．【正確答案】B【詳解】點，關于平面對稱的點的坐標橫縱坐標不動，豎坐標變成相反數(shù)，所以坐標是.故選：B2．【正確答案】C【詳解】因為直線的斜率為，由，，得到，所以直線的傾斜角為，故選：C.3．【正確答案】C【詳解】.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點坐標為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：D5．【正確答案】A【詳解】由得圓心，，由得，圓心，，因為兩圓向外切，所以，即，可得，解得，故選：A6．【正確答案】C【詳解】由題意，設存在唯一的實數(shù)對，使得，即，則，則x=2，，，解得.故選：C7．【正確答案】C【詳解】由題意，直線與平行，故當時，直線，，兩直線平行；當時，直線，，兩直線重合，舍去.故此時與間的距離故選：C8．【正確答案】D【詳解】，，數(shù)形結合知，直線的斜率需滿足，即.故選：D9．【正確答案】B【詳解】作與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點，原點到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠的一條到原點的距離為，較近的一條到原點的距離為，又圓上有2個點到直線的距離為1，兩條平行線中與圓心較近的與圓有2個公共點，與圓心較遠的直線與圓無交點即可，如圖，

由此可得圓的半徑，故選：B10．【正確答案】6【詳解】由，可知，解得，所以，故611．【正確答案】【詳解】當焦點在軸上時，，解得，所以長軸長為；當焦點在軸上時，，解得（舍去），綜上所述，橢圓的長軸長為.故答案為.12．【正確答案】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.【詳解】將圓與圓相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓圓心到直線的距離，圓的半徑為，所以公共弦長為.故答案為.13．【正確答案】或【詳解】當截距為0時，設，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，當截距不為0時，設直線的方程為，將代入直線方程，，解得，故直線的方程為，故直線的方程為或.故或14．【正確答案】【詳解】如圖，矩形是貨車截面圖，，則.15．【正確答案】或【詳解】解：由圓，得，當時，圓C的半徑最小為，即面積最小，所以當圓C的面積最小時，圓的方程為，圓心，半徑，因為直線與圓C相切，所以圓心到直線的距離，解得或.故或.16．【正確答案】(1)(2)(3)和【詳解】（1）由題意可得，圓心為，半徑為2，則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓的半徑，設圓心到的距離為，則，所以.（3）當斜率不存在時，為過點的圓C的切線.當斜率存在時，設切線方程為，即，=2，解得，所以.綜上所述：切線的方程為和．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因為平面，，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面.（2）因為，，設平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）點到平面的距離.18．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題干條件求出即可得到橢圓標準方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，直接利用弦長公式進行求解；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，結合韋達定理，列方程組求解.【詳解】（1）依題意，，則，由為正三角形，則，故，于是，故橢圓的標準方程為：；（2）由（1）知，，故該直線為：，和橢圓聯(lián)立：，整理可得，故，由弦長公式，（3）顯然的斜率存在（否則軸，根據(jù)對稱性，），設直線為：，和橢圓方程聯(lián)立得，，，則，故，由韋達定理可得：，，于是，，故，即，化簡可得，解得，故直線為：19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取中點，連接，如圖所示：

因為為中點，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為為中點，為中點，所以，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面.（2）平面PAC平面，平面平面AC，平面，平面.

平面，，又，則以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則，所以，設平面一個法向量為，所以，所以，令，則，所以，設直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設，且，所以，所以，解得，所以.20．【正確