2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共9小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知直線與平行，則的值是（

）A． B． C． D．或3．在三棱錐中，已知，是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．已知為等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．5．直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)為A、B的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A．12 B． C． D．67．若為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，，則當(dāng)（

）時(shí)

取最大值.A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．49．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共9小題）10．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為.11．已知圓圓的公共弦長為.12．若是公比不為的等比數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且、、成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為13．直線l過點(diǎn)且被圓C：截得的弦長最短，則直線l的方程為.14．等差數(shù)列{}與{}的前項(xiàng)和分別為、，且則15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.16．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和17．直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則的取值范圍.18．在數(shù)列中，，且，則三、解答題（本大題共4小題）19．已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓的切線，求直線的方程.20．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.(1)求證：平面DEC；(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.21．已知數(shù)列，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)令.（i）求證:數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．若橢圓的右焦點(diǎn)為，且橢圓過點(diǎn)，焦距是短半軸長的倍.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若一條不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線及軸和軸分別交于點(diǎn)、、，點(diǎn)滿足，線段的延長線與橢圓交于點(diǎn)，與的面積之比為，求直線斜率的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【分析】由直線得斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】已知直線的斜率為，因此傾斜角為．故選：C．2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€與平行，則，解得，故選：B.3．【正確答案】D【分析】連接,利用空間向量的基本定理求解即可.【詳解】連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以所以故選D.4．【正確答案】D【詳解】若公比，則這與矛盾，故公比不為1，由可得，故，又，故，故選：D5．【正確答案】A【詳解】設(shè)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，，A、B兩點(diǎn)代入橢圓方程作差，得，所以，由題意知，直線的斜率存在，所以，得.故選：A.6．【正確答案】D【分析】先求解出直線的方程，然后將圓心到直線的距離再加上半徑作為的高的最大值，由此求解出的面積的最大值.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)閳A的方程為，所以圓心為，半徑為，所以圓上點(diǎn)到直線的最大距離為，所以的面積的最大值為，故選：D.7．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槿魹榈炔顢?shù)列，為的前項(xiàng)和，則，因?yàn)?，則，故，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B.8．【正確答案】A【詳解】過作垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，過作于點(diǎn)，由于，則，故,進(jìn)而，故.故選：A

9．【正確答案】B【詳解】因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，設(shè)Fc,0，則,則，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，則，在中，，在中，由余弦定理可得,所以，，解得，因此，橢圓的離心率為.故選：B.10．【正確答案】或【詳解】若直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，此時(shí)，直線方程為；若直線不過原點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，此時(shí)，直線方程為，即.綜上所述，所求直線方程為或.故或.11．【正確答案】【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，所以，，所以，兩圓相交，將兩圓方程作差可得，即公共弦所在直線方程為，圓心到直線的距離為，故兩圓公共弦長為.故答案為.12．【正確答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，為的前項(xiàng)和，因?yàn)?、、成等差?shù)列，則，即，即，所以，，因?yàn)椋獾?故答案為.13．【正確答案】【分析】當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心到弦的距離最大，此時(shí)圓心與定點(diǎn)的連線垂直于弦，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】由圓的方程知圓心，半徑為，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心與的連線垂直于弦，由圓心與的連線斜率為，所以直線l的斜率為1，直線l的方程為即.故答案為.14．【正確答案】【詳解】等差數(shù)列{}與{}的前項(xiàng)和分別為，則.故答案為.15．【正確答案】【詳解】過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線段，垂足點(diǎn)為，如下圖所示：

易知，拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為.故答案為.16．【正確答案】【詳解】由已知，則，所以，故答案為.17．【正確答案】【詳解】由可知，，變形可得，即，所以，曲線表示圓的上半圓，直線的方程可化為，則直線過定點(diǎn)，且斜率為，如下圖所示：

當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，，由題意可得，解得；當(dāng)直線過點(diǎn)，則，解得.由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).故答案為.18．【正確答案】【詳解】由，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，綜上所述，故答案為.19．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則，解得，故圓的方程為（2）由（1）知，圓心為，半徑為，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合乎題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.20．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】(1)以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，平面的一個(gè)法向量為，則由，即可證得平面DEC；(2)分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，則利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；(3)由平面的一個(gè)法向量為，，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求得點(diǎn)D到平面BEF的距離.【詳解】(1)由已知，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，由平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，以D為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，已知，則，所以，易知平面的一個(gè)法向量為，得，又平面，所以平面.(2)由上坐標(biāo)系可知，則，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，則有，，取，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則.(3)由(2)得平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)D到平面的距離.21．【正確答案】(1)（i）證明見解析，；（ii）(2)【詳解】（1）（i）時(shí)，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，故，故；（ii）當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，即，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，則.所以，，，①，②①②得，因此，.（2）因?yàn)椋裕?，，恒成立，即，所以，，令，則，由，即，解得，因?yàn)?，所以，，故?shù)列中，最大，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）易知點(diǎn)，因?yàn)?，則，若直線的斜率不存在，則直線的垂直平分線為軸，