2024-2025學年浙江省溫州市高二上學期第四次聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年浙江省溫州市高二上學期第四次聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題（共40分）1．直線與直線的夾角為（

）A． B． C． D．2．若平面，的法向量分別為，，則（

）A． B． C．，相交但不垂直 D．以上均不正確3．同時拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)的結果為“一正兩反”的概率為（

）A． B． C． D．4．復數(shù)是純虛數(shù)的充分不必要條件是（

）A．且 B． C．且 D．5．拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，已知這些點數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點數(shù)6，則這些點數(shù)的方差為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A．若不平行于，則在內(nèi)不存在，使得平行于B．若不垂直于，則在內(nèi)不存在，使得垂直于C．若不平行于，則在內(nèi)不存在，使得平行于D．若不垂直于，則在內(nèi)不存在，使得垂直于7．均為單位向量，且它們的夾角為45°，設，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（共20分）9．已知一個古典概型的樣本空間Ω和事件A、B，滿足，，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．A與B互斥 D．A與B相互獨立10．下列結論錯誤的是（

）A．過點，的直線的傾斜角為45°B．已知點，點在軸上，則的最小值為C．直線與直線之間的距離為D．已知兩點，，過點的直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍是11．在中，，，其中，均為邊上的點，分別滿足：，，則下列說法正確的是（

）A．為定值3B．面積的最大值為C．的取值范圍是D．若為中點，則不可能等于12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面ABCD是等腰梯形，若，E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AP的中點，，則下列結論成立的是（

）A．B．C．∠FEG即二面角的平面角D．異面直線DA與BP所成角是∠GEC三、填空題（共20分）13．已知直線和直線，若，則14．過點且在坐標軸上的截距相等的直線一般式方程為．15．體積為的三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，，，，則球的表面積為．16．在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足，（為坐標原點），則實數(shù)的取值范圍是四、解答題（共70分）17．甲、乙兩人想?yún)⒓幽稠椄傎?，根?jù)以往20次的測試，將樣本數(shù)據(jù)分成，，，五組，并整理得到如下頻率分布直方圖：已知甲測試成績的中位數(shù)為75．（1）求x，y的值，并求出甲的測試成績的平均數(shù)（假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間中點值代替）；（2）從甲、乙兩人測試成績不足60分的試卷中隨機抽取3份，求恰有2份來自乙的概率．18．已知的頂點，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點，所在的直線方程為.(1)求點的坐標；(2)求直線的方程.19．如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．20．在銳角△ABC中，角A，B，C對的邊分別為a，b，c已知．(1)求角C的大?。?2)求的取值范圍．21．三角形的頂點，邊上的中線所在直線為，A的平分線所在直線為．(1)求A的坐標和直線的方程；(2)若P為直線上的動點，，，求取得最小值時點P的坐標．22．已知函數(shù).(1)直接寫出的解集；(2)若，其中，求的取值范圍；(3)已知為正整數(shù)，求的最小值（用表示）.1．A【分析】根據(jù)斜率分別計算兩條直線的傾斜角，進而可得夾角.【詳解】兩直線的斜率，因為直線傾斜角范圍為則，故兩直線夾角，故選：．2．C【分析】應用空間向量夾角的坐標運算求夾角余弦值，即可判斷面面關系.【詳解】由，而，由所得向量夾角余弦值知：，相交但不垂直.故選：C3．C【分析】根據(jù)列舉法求出古典概型的概率.【詳解】同時拋擲3枚質(zhì)地均勻的的硬幣，因為每枚硬幣均有正反兩種情況，故共有8種情況，如下：“正，正，正”，“正，正，反”，“正，反，正”，“反，正，正”，“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，“反，反，反”，其中出現(xiàn)的結果為“一正兩反”的情況有“正，反，反”，“反，正，反”，“反，反，正”，故出現(xiàn)的結果為“一正兩反”的概率為.故選：C4．C【分析】運用純虛數(shù)的定義，結合充分條件，、與必要條件的定義即可求得結果.【詳解】因為復數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是且，又因為且是且的充分不必要條件，所以且是復數(shù)為純虛數(shù)的充分不必要條件.故選：C.5．B【分析】根據(jù)題意結合平均數(shù)、方差的計算公式求解.【詳解】不妨設這5個出現(xiàn)的點數(shù)為，且，由題意可知：，因為這些點數(shù)的平均數(shù)為2，則，可得，所以，即這5個數(shù)依次為，可得這些點數(shù)的方差為.故選：B.6．D【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解．【詳解】若a不平行α，則當a?α時，在α內(nèi)存在b，使得b∥a，故A錯誤；若a不垂直α，則在α內(nèi)至存在一條直線b，使得b垂直a，故B錯誤；若α不平行β，則在β內(nèi)在無數(shù)條直線a，使得a平行α，故C錯誤；若α不垂直β，則在β內(nèi)不存在a，使得a垂直α，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理得D正確．故選D．本題考查命題真假的判斷，考查線面間的位置關系判定，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．7．C建立直角坐標系，求得向量，的終點軌跡方程是圓和直線，利用圓心到直線距離減去半徑得到最小值得解【詳解】設，以的方向為正方向，所在直線為軸，垂直于所在直線為軸，建立平面直角坐標系均為單位向量，且它們的夾角為45°，則，，設滿足，設,故，則，則的最小值為圓上的點到直線距離的最小值其最小值為故選:C.向量模長最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線距離是解題關鍵，屬于中檔題.8．C【分析】由正弦定理邊化角結合兩角和差的正弦公式可得，推出，則,結合銳角三角形確定B的范圍，繼而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，結合對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由可得，結合,可得，即，由于在銳角中，，故，則,則,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因為，故，令，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，故，故選：C方法點睛：（1）三角等式含有邊角關系式時，一般利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角或邊之間的關系進行化簡；（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或最值問題解決；（3）一般要注意利用基本不等式或者函數(shù)單調(diào)性比如對勾函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)最值或范圍.9．ABD【分析】根據(jù)概率的基本概念和獨立事件的基本運算求解即可.【詳解】因為，，，，所以，故A選項正確；作出示意圖如下，則A與B不互斥，故C選項錯誤；又，，,所以事件A與B相互獨立，故B、D選項正確；故選：ABD.10．AC【分析】由斜率公式，兩點間距離公式，平行線間的距離公式進行分析計算驗證即可．【詳解】對于A選項，，直線的傾斜角為135°，故A選項錯誤；對于B選項，點關于y軸的對稱點為，則AC即為的最小值，為，故B選項正確；對于C選項，將化為，與平行，則兩條直線間的距離為，故C選項錯誤；對于D選項，，，如圖所示，又因為直線l與線段AB有公共點，所以直線的斜率k滿足或，故D選項正確.故選：AC11．ABD【分析】對于A:利用和數(shù)量積的計算公式可求；對于B：利用面積公式和基本不等式即可判斷；對于C：先判斷出，結合的范圍即可判斷；對于D：利用求出范圍，即可判斷.【詳解】設.對于A:因為，所以D為BC的中點.因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.故A正確；對于B：，又，當且僅當“"時,取“=”此時，所以.故B正確；對于C：因為，所以，所以.當時，D、E重合，取得最大值3.可知為銳角，當最大銳角時，最大，但無法取到.故C錯誤；對于D：若為中點，則.故D正確.故選：ABD.12．BC【分析】連接，若，利用等腰三角形性質(zhì)、線面垂直的判定可證面，進而有，得到矛盾結論排除A；連接，利用線面垂直的判定和性質(zhì)判斷是否成立，判斷B；根據(jù)二面角定義判斷的平面角，判斷C；由題圖僅當時直線DA與BP所成角是∠GEC或其補角，即可判斷D.【詳解】連接，側面ABCD是等腰梯形，有，又E、F分別是AB、CD的中點，則，若，則，即，由，面，則面，而面，則，又，與過直線外一點有且僅有一條直線與垂直矛盾，A錯誤；連接，由E，G分別是AB，AP的中點，則，又，即，且，面，所以面，面，則，B正確；由面面，面，面，所以∠FEG是二面角的平面角，C正確；由于不一定相等，即不一定是平行四邊形，故不一定平行，所以異面直線DA與BP所成角不一定是∠GEC，D錯誤.故選：BC13．－1【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求解．【詳解】時，兩直線顯然不平行，因此，所以由得，解得，故．14．或【分析】討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【詳解】當直線過原點時，設，過點，則，即；當直線不過原點時，設，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故或.15．先求出底面三角形的面積，求出的長度后利用余弦定理可求的長，從而可求底面外接圓的半徑，再根據(jù)公式可求外接球的半徑，從而可求外接球的表面積.【詳解】設底面外接圓的半徑為，圓心為，連接，則平面.又，故，所以，所以，故由余弦定理可得，故，所以，故，取的中點為，連接，則，因為平面，故，而平面，故.在矩形中，外接圓，故球的表面積為，故答案為.方法點睛：求三棱錐外接球的半徑，關鍵是球心位置的確定，一般地，球心在過底面三角形的外心且垂直于底面的直線上，如果球心的位置不易確定，則可以補體來確定外接球半徑滿足的關系.16．【分析】先設，根據(jù)，，得到，再由題意，得到，求解，即可得出結果.【詳解】由題意設，因為點，，所以，整理得：①因為直線上存在點滿足，所以方程①有解，因此，解得.故答案為本題主要考查兩點間距離公式的應用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.17．（1）；；74.5；（2）.【分析】（1）根據(jù)甲測試成績的中位數(shù)為75，由，求得y,再利用各矩形的面積的和為1，求得x,然后利用平均數(shù)公式求解.（2）易得甲測試成績不足60分的試卷數(shù)2，乙測試成績不足60分的試卷數(shù)3，先得到從中抽3份的基本事件數(shù)，再找出恰有2份來自乙的基本事件數(shù)，代入古典概型公式求解.【詳解】（1）因為甲測試成績的中位數(shù)為75，所以，解得．所以，解得．同學甲的平均分為．（2）甲測試成績不足60分的試卷數(shù)為，設為A，B．乙測試成績不足60分的試卷數(shù)為，設為a，b，c．從中抽3份的情況有，，，，，，，，，，共10種情況．滿足條件的有，，，，（，，共6種情況，故恰有2份來自乙的概率為．18．(1)(2)【分析】（1）設點，由，所在的直線方程建立方程求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求關于直線的對稱點，即可求直線方程.【詳解】（1）設，則由題意可知①，又，所以②，聯(lián)立①②方程解得，即；（2）

設關于直線的對稱點，則有的中點在直線上，即，解之得，顯然直線為的角平分線，即直線與重合，則，所以直線的方程為.19．(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；（2）設，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.20．(1)；(2)【分析】（1）角化邊，由余弦定理可得角C；（2）由（1）可知，所以，化簡可求取值范圍.【詳解】（1）在銳角中，因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，因為，所以．（2）在銳角中，，所以，解得，，因為，所以，所以．即．故的取值范圍為.21．(1)，直線的方程為(2)【分析】（1）設點A坐標并表示中點D坐標，由點在直線方程建立方程求解即可得A，利用角平分線的性質(zhì)可得點B關于直線的對稱點，從而求方程；（2）由兩點之間的距離公式結合二次函數(shù)求最值計算即可.【詳解】（1）由題意可設，則，由直線，的方程可知：，即，設點B關于直線的對稱點，則中點坐標為，，