山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，1．（5分）直線l過點、B（﹣1，0），則l的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）與向量＝（1，3，﹣2）平行的一個向量的坐標(biāo)是（）A．（，1，1） B．（﹣，﹣，1） C．（﹣，，﹣1） D．（，﹣3，﹣2）3．（5分）已知直線l1：ax+y+6＝0和l2：3x+（a+2）y+2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．3或﹣14．（5分）已知P（1，2）是直線l上一點，且＝（3，4）是直線l的一個法向量，則l的方程為（）A．3x+4y﹣11＝0 B．4x﹣3y+2＝0 C．3x+4y+5＝0 D．4x+3y﹣10＝05．（5分）直線ax+（a﹣1）y+a＝0（a∈R）與圓x2+y2＝4的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a的取值有關(guān)6．（5分）A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足?＝0，?＝0，?＝0，M為BC的中點，則△AMD是（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定7．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．8．（5分）三棱錐S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2，，直線AC與平面SBC所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動點，則（）A．|PF1|+|PF2|＝8 B．|PF1|的最大值為9 C．△PF1F2的面積的最大值為12 D．存在點P，使得PF1⊥PF2（多選）10．（6分）將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，下列結(jié)論中正確的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AC C．AB與平面BCD所成的角為60° D．AB與CD所成的角為60°（多選）11．（6分）已知圓和圓，點Q是圓C2上的動點，則（）A．與圓C1、圓C2都相切的直線有四條 B．若圓C2上到直線x+y+m＝0的距離為的點有4個，則m的取值范圍是﹣7≤m≤﹣5 C．過點Q作圓C1的兩條切線，切點分別為M和N，則 D．已知，，若點B為圓C1上一動點，則的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知，向量為單位向量，，則向量在向量方向上投影的數(shù)量為13．（5分）已知圓心在直線2x﹣7y+8＝0上，且A（6，0），B（1，5）都是圓上的點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．（5分）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和4，母線長為6．若該圓臺內(nèi)部有一個球，則球的半徑的最大值為；若該圓臺內(nèi)部有一個正方體ABCD﹣A1B1C1D1，且底面ABCD在圓臺的下底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長最大時，以A為球心，半徑為2的球與正方體表面交線的長度為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1）．（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求的模．16．（15分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1＝3，AC⊥BC，AC＝BC，D，E分別是AB，A1B1的中點．（1）證明：平面A1DC∥平面BEC1；（2）求二面角B﹣EC1﹣B1的余弦值．17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A（1，0），B（4，0），滿足條件的點P的軌跡為C．（1）求C的軌跡方程；（2）點M為直線l：3x+4y+25＝0上的動點，過M作C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形OEMF的面積最小時，求直線EF的方程．18．（17分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，，，M為AD的中點，設(shè)平面ECD與平面EBM的交線為l．（1）證明：l∥平面ABCD；（2）證明：平面ADEF⊥平面ABCD；（3）設(shè)H為l上的動點，當(dāng)BH與平面BFM所成角的正弦值最大時，求BH的長．19．（17分）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角、邊、面積等問題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點A，B，C，過任意兩點的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面△ABC，記其面積為S球面△ABC．易知：球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的A和A′；若球面上A，B，C的對徑點分別為A′，B′，C′，則球面△A'B'C'與球面△ABC全等．如圖2，已知球O的半徑為R，圓弧和所在平面交成的銳二面角B﹣AO﹣C的大小為α，圓弧和所在平面、圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為β，γ．記S（α）＝S球面△ABC+S球面△A'BC+S球面△AB'C′+S球面△A'B'C′．（1）請寫出，的值，并猜測函數(shù)S（α）的表達(dá)式；（2）（i）當(dāng)時，球面△ABC的面積為（只寫結(jié)果）．（ii）用α，β，γ，R表示S球面△ABC；（3）若將圖一中四面體OABC截出得到圖二，若平面三角形ABC為直角三角形，AC⊥BC，設(shè)∠AOC＝θ1，∠BOC＝θ2，∠AOB＝θ3，求證：cosθ1+cosθ2﹣cosθ3＝1．

答案與試題解析一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，1．（5分）直線l過點、B（﹣1，0），則l的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【正確答案】D【分析】首先求得直線的斜率，再得出傾斜角．解：設(shè)直線傾斜角為α，則0°≤α≤180°，由、B（﹣1，0），可得，即，所以α＝150°．故選：D．【點評】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）與向量＝（1，3，﹣2）平行的一個向量的坐標(biāo)是（）A．（，1，1） B．（﹣，﹣，1） C．（﹣，，﹣1） D．（，﹣3，﹣2）【正確答案】B【分析】利用向量共線定理、坐標(biāo)運算即可得出．解：對于B：＝﹣（1，3，﹣2）＝﹣，故選：B．【點評】本題考查了向量共線定理、坐標(biāo)運算，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知直線l1：ax+y+6＝0和l2：3x+（a+2）y+2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．3或﹣1【正確答案】A【分析】由a（a+2）﹣3＝0，解得a，排除重合的情況即可得出．解：由a（a+2）﹣3＝0，解得a＝1，﹣3．經(jīng)過驗證a＝﹣3時兩條直線重合，舍去．∴a＝1．故選：A．【點評】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知P（1，2）是直線l上一點，且＝（3，4）是直線l的一個法向量，則l的方程為（）A．3x+4y﹣11＝0 B．4x﹣3y+2＝0 C．3x+4y+5＝0 D．4x+3y﹣10＝0【正確答案】A【分析】結(jié)合法向量的定義，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解．解：設(shè)直線l上另一點為M（x，y），則，＝（3，4）是直線l的一個法向量，則，即3（x﹣1）+4（y﹣2）＝0，即3x+4y﹣11＝0．故選：A．【點評】本題主要考查直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）直線ax+（a﹣1）y+a＝0（a∈R）與圓x2+y2＝4的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a的取值有關(guān)【正確答案】A【分析】求出圓的圓心與半徑，直線恒過的定點，判斷點與圓的位置關(guān)系即可．解：∵直線：ax+（a﹣1）y+a＝0（a∈R），∴，解得，∴直線恒過定點（﹣1，0），圓：x2+y2＝4，則圓的圓心為（0，0），半徑為2，∵（﹣1，0）與（0，0）的距離為1，1＜2，∵直線恒過的定點在圓內(nèi)，∴直線與圓相交．故選：A．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足?＝0，?＝0，?＝0，M為BC的中點，則△AMD是（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定【正確答案】C【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件得出，從而可進(jìn)行數(shù)量積的運算求出，進(jìn)而得出，從而判斷出△AMD的形狀．解：如圖，根據(jù)條件：＝＝0；∴；∴△AMD為直角三角形．故選：C．【點評】考查向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)量積的運算，向量垂直的充要條件．7．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，PF1⊥PF2，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題意得|PF1|＝3|PF2|，利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數(shù)關(guān)系，即可求離心率．解：由題意及正弦定理得：|PF1|＝3|PF2|，令|PF1|＝3|PF2|＝3n，則3n+n＝2a，9n2+n2＝4c2，可得，所以橢圓的離心率為：．故選：B．【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，屬中檔題．8．（5分）三棱錐S﹣ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2，，直線AC與平面SBC所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】取AC的中點O，連接OS，OB，先證OS⊥平面ABC，再利用等體積法求得點A到平面SBC的距離d，設(shè)直線AC與平面SBC所成角為θ，由sinθ＝，即可得解．解：取AC的中點O，連接OS，OB，因為SA＝SC＝AB＝BC＝2，，所以O(shè)S⊥AC，且OB＝＝＝＝OS，因為SB＝2，所以SB2＝OB2+OS2，即OB⊥OS，又AC∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，所以O(shè)S⊥平面ABC，即點S到平面ABC的距離為OS＝，由題意知，△SBC是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，所以S△SBC＝＝，S△ABC＝＝2，設(shè)點A到平面SBC的距離為d，因為VA﹣SBC＝VS﹣ABC，所以?d?S△SBC＝，即d?＝，解得d＝，設(shè)直線AC與平面SBC所成角為θ，則sinθ＝＝＝，所以直線AC與平面SBC所成角的正弦值為．故選：C．【點評】本題考查空間中線面角的求法，熟練掌握線面垂直的判定定理，利用等體積法求點到平面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動點，則（）A．|PF1|+|PF2|＝8 B．|PF1|的最大值為9 C．△PF1F2的面積的最大值為12 D．存在點P，使得PF1⊥PF2【正確答案】BCD【分析】由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義及圓與橢圓的位置關(guān)系逐一判斷．解：已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動點，則a＝5，b＝3，c＝4，對于A，|PF1|+|PF2|＝2a＝10，即A錯誤；對于B，|PF1|∈[a﹣c，a+c]，即|PF1|的最大值為9，即B正確；對于C，△PF1F2的面積的最大值為＝12，即C正確；對于D，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2＝16，又以F1F2為直徑的圓與橢圓C有交點，即存在點P，使得PF1⊥PF2，即D正確．故選：BCD．【點評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點考查了圓與橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題．（多選）10．（6分）將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，下列結(jié)論中正確的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AC C．AB與平面BCD所成的角為60° D．AB與CD所成的角為60°【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量知識依次討論即可得答案．解：取BD中點O，由正方形的性質(zhì)得：AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，因為二面角A﹣BD﹣C是直二面角，所以如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)正方形ABCD的邊長為，則D（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0，1），A（0，1，0），所以，，，，，對于A：因為，所以AC⊥BD，故A正確；對于B：，，所以AB＝AC，故B正確；對于C：為平面BCD的一個法向量，，，，因為直線與平面所成的角的取值范圍是[0°，90°]，所以AB與平面BCD所成的角為45°，故C錯誤；對于D：cos，因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以AB與CD所成的角為60°，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知圓和圓，點Q是圓C2上的動點，則（）A．與圓C1、圓C2都相切的直線有四條 B．若圓C2上到直線x+y+m＝0的距離為的點有4個，則m的取值范圍是﹣7≤m≤﹣5 C．過點Q作圓C1的兩條切線，切點分別為M和N，則 D．已知，，若點B為圓C1上一動點，則的最小值為2【正確答案】ACD【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系即可判斷A的正誤；當(dāng)圓心C2到直線的距離小于即可；可先求出sin∠MQC1的范圍，再確定sin∠MQN的范圍即可；在圓C1內(nèi)找到點，使，可將的最值問題轉(zhuǎn)化為|PB|+|A1B|的最值問題，再應(yīng)用三角形不等式即可求解．解：對于A項：因為圓和圓，所以，所以兩圓外離，所以與圓C1、圓C2都相切的直線有四條，故A正確；對于B項：因為圓，所以，所以當(dāng)C2到x+y+m＝0的距離，即﹣7＜m＜﹣5時，圓C2上到直線x+y+m＝0的距離為的點有4個，故B錯誤；對于C項：因為，又因為，即，所以，所以，又因為sin∠MQN＝sin2∠MQC1＝2sin∠MQC1cos∠MQC1，所以，所以C正確；對于D項：設(shè)B（x0，y0），則以點B為圓心，為半徑的圓的方程為，因為，所以恒成立，所以以點B為圓心，為半徑的圓恒過點，所以，所以，所以的最小值為2，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知，向量為單位向量，，則向量在向量方向上投影的數(shù)量為【正確答案】．【分析】由數(shù)量投影的定義計算即可求得．解：因為，向量為單位向量，，所以＝，所以向量在向量方向上投影的數(shù)量為．故．【點評】本題考查向量的數(shù)量投影的求法，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知圓心在直線2x﹣7y+8＝0上，且A（6，0），B（1，5）都是圓上的點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．【正確答案】（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．【分析】設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，根據(jù)題中的關(guān)系，求出a，b，r即可．解：設(shè)所求圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由題意得解得a＝3，b＝2，r2＝13，故所求圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．故（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．【點評】本題考查圓的方程的求法，考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．14．（5分）已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和4，母線長為6．若該圓臺內(nèi)部有一個球，則球的半徑的最大值為；若該圓臺內(nèi)部有一個正方體ABCD﹣A1B1C1D1，且底面ABCD在圓臺的下底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長最大時，以A為球心，半徑為2的球與正方體表面交線的長度為3π．【正確答案】；3π．【分析】求出圓臺的高，再利用軸截面圖形求出球半徑的最大值；把圓臺還原成圓錐，利用軸截面求出正方體的最大棱長，再確定球與正方體的交線即可求出結(jié)果．解：依題意，圓臺的軸截面是上下底邊長分別為2，8，母線長為6的等腰梯形EFGH，圓臺的高，即等腰梯形EFGH的高h(yuǎn)＝＝3，由sin∠EFG＝＝，得∠EFG＝60°，圓臺內(nèi)的最大球球心O在圓臺上下底面圓心O2，O1所連線段上，最大球O的截面大圓在等腰梯形EFGH內(nèi)，圓心O在線段O2O1上，當(dāng)該圓與等腰梯形EFGH的腰相切時，OO1＝O1Ftan∠OFO1＝＜，以O(shè)2O1為直徑的圓同梯形EFGH的腰相交，∴球的半徑的最大值為，把圓臺還原成圓錐，則圓臺軸截面等腰梯形EFGH兩腰延長即得圓錐的軸截面等腰△MEF，正方體ABCD﹣A1B1C1D1上底面的外接圓為圓臺平行于底面的截面圓，∵圓臺的高大于其上底面圓直徑，∴正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長小于3，其對角面ACC1A1為等腰△MEF的內(nèi)接矩形，如圖，設(shè)AB＝a，則A1C1＝，MO1＝FO1tan60°＝4，MO1交A1C1于點N，則MN＝4﹣a，C1N＝a，由，解得a＝12﹣8，此時以A為球心，半徑為2的球與正方體表面交線是該正方體共點A的3個正方形面與球的大圓構(gòu)成的以直角為圓心角，半徑為2的3段圓弧組合而成，交線長為3×＝3π．故；3π．【點評】本題考查圓臺、等腰三角形內(nèi)接矩形、球、正方體等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1）．（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求的模．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接利用向量的夾角運算公式求出結(jié)果；（2）首先求出點P的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量的模．解：（1）由于A（1，2，1），B（﹣1，3，4），C（1，1，1），故，，所以＝．（2）設(shè)P（x，y，z），由于，故（x，y，z）﹣（1，2，1）＝2（﹣1，3，4）﹣2（x，y，z），整理得：x＝，y＝，z＝3；所以P（），故，故．【點評】本題考查的知識點：向量的坐標(biāo)運算，向量的夾角運算，向量的模，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．16．（15分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1＝3，AC⊥BC，AC＝BC，D，E分別是AB，A1B1的中點．（1）證明：平面A1DC∥平面BEC1；（2）求二面角B﹣EC1﹣B1的余弦值．【正確答案】（1）證明見解答；（2）．【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解二面角即可．（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，A1B1的中點，則BD∥A1E，BD＝A1E，故BDA1E為平行四邊形，則BE∥DA1，又BE?平面BEC1，DA1?平面BEC1，則DA1∥平面BEC1，同理可得：DC∥平面BEC1，又DC∩DA1＝D，DC，DA1?平面A1DC，所以平面A1DC∥平面BEC1；（2）解：由AC⊥BC，AC＝BC，D，E分別是AB，A1B1的中點，可得CD⊥AB，DE⊥平面ABC，則以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，AA1＝3，可得CD＝，則，E（0，0，3），，，設(shè)平面BEC1的一個法向量為，則有，令x＝3，可得y＝0，z＝，則，不妨取平面EB1C1的一個法向量為，則，由圖可知，二面角B﹣EC1﹣B1為銳二面角，則二面角B﹣EC1﹣B1的余弦值為．【點評】本題考查面面平行的判定，考查二面角的求法，屬中檔題．17．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A（1，0），B（4，0），滿足條件的點P的軌跡為C．（1）求C的軌跡方程；（2）點M為直線l：3x+4y+25＝0上的動點，過M作C的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形OEMF的面積最小時，求直線EF的方程．【正確答案】（1）x2+y2＝4；（2）3x+4y+4＝0．【分析】（1）根據(jù)“五步求曲“法，直接求解；（2）由（1）可知C的軌跡為圓O：x2+y2＝4，設(shè)O到直線l：3x+4y+25＝0的垂線段為H，且垂足點為H，則易知EF直線即為圓O與以O(shè)H為直徑的圓的公共弦所在直線，從而利用公共弦直線的求法，即可求解．解：（1）設(shè)P（x，y），又A（1，0），B（4，0），滿足條件，∴|PB|2＝4|PA|2，∴（x﹣4）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，化簡可得x2+y2＝4，∴C的軌跡方程為x2+y2＝4；（2）由（1）可知C的軌跡為圓O：x2+y2＝4，∴圓心O為（0，0），半徑r＝2，設(shè)O到直線直線l：3x+4y+25＝0的垂線段為H，且垂足點為H，則OH直線方程為4x﹣3y＝0，聯(lián)立，可得H（﹣3，﹣4），∵四邊形OEMF的面積為＝≥，∴四邊形OEMF的面積的最小值為四邊形OEHF的面積，此時EF直線即為圓O與以O(shè)H為直徑的圓的公共弦所在直線，又OH為直徑的圓為x（x+3）+y（y+4）＝0，即x2+y2+3x+4y＝0，聯(lián)立，可得兩圓的公共弦所在直線為3x+4y+4＝0，∴直線EF的方程為3x+4y+4＝0．【點評】本題考查動點軌跡問題的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．18．（17分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，，，M為AD的中點，設(shè)平面ECD與平面EBM的交線為l．（1）證明：l∥平面ABCD；（2）證明：平面ADEF⊥平面ABCD；（3）設(shè)H為l上的動點，當(dāng)BH與平面BFM所成角的正弦值最大時，求BH的長．【正確答案】（1）證明過程請見解答；（2）證明過程請見解答；（3）．【分析】（1）先證CD∥平面EBM，可得l∥CD，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）取AM的中點O，連接OB，OF，由OF⊥AD，OB⊥OF，可證OF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（3）以O(shè)為原點建系，設(shè)，λ∈R，利用向量法求線面角可將BH與平面BFM所成角的正弦值表示成關(guān)于λ的函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．（1）證明：在等腰梯形ABCD中，M是AD的中點，所以BC∥DM，BC＝DM，即四邊形BCDM是平行四邊形，所以CD∥BM，因為CD?平面EBM，BM?平面EBM，所以CD∥平面EBM，又平面ECD∩平面EBM＝l，CD?平面ECD，所以l∥CD，因為l?平面ABCD，CD?平面ABCD，所以l∥平面ABCD．（2）證明：取AM的中點O，連接OB，OF，則OA＝OM＝1，由等腰梯形的性質(zhì)知，OF⊥AD，OB⊥AD，所以O(shè)B＝＝，OF＝＝3，因為，所以O(shè)B2+OF2＝FB2，即OB⊥OF，又AD∩OB＝O，AD，OB?平面ABCD，所以O(shè)F⊥平面ABCD，因為OF?平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD．（3）解：由（2）知，OB，OD，OF兩兩垂直，以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（，0，0），F(xiàn)（0，0，3），M（0，1，0），E（0，2，3），所以＝（，﹣1，0），＝（0，﹣1，3），＝（﹣，2，3），設(shè)平面BFM的法向量為＝（x，y，z），則，取z＝1，則y＝3，x＝，所以＝（，3，1），因為平面ECD∩平面EBM＝E，所以點E在l上，又l∥CD∥BM，所以可設(shè)＝λ（，﹣1，0），λ∈R，所以＝＝（﹣，2，3）+λ（，﹣1，0）＝（（λ﹣1），2﹣λ，3），設(shè)BH與平面BFM所成角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝＝，所以當(dāng)λ＝時，BH與平面BFM所成角的正弦值最大，此時＝（，，3），所以＝＝，故BH的長為．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線、面平行與垂直的判定或性質(zhì)定理，利用向量法求線面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．19．（17分）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角、邊、面積等問題，其在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點A，B，C，過任意兩點的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面△ABC，記其面積為S球面△ABC．易知：球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的A和A′；若球面上A，B，C的對徑點分別為A′，B′，C′，則