離散型隨機變量及其分布列（1）課件高二下學期數(shù)學人教A版選擇性

7.2離散型隨機變量及其分布列（1）(1)試驗可以在相同條件下重復進行；(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果.可重復性可預知性隨機性1.隨機試驗的概念復習引入一般地，一個試驗如果滿足下列條件：我們就稱這樣的試驗是一個隨機試驗.我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間.我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點.2.樣本點與樣本空間的概念求隨機事件的概率時，我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間，并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題．類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應關系，如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應，將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便，而且能更好地利用數(shù)學工具研究隨機試驗．探究一：隨機變量和離散型隨機變量問題1：請為以下隨機試驗的樣本點與實數(shù)建立對應關系：(1)擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；(2)擲兩枚骰子，觀察兩個點數(shù)之和；(3)擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面的情況；(4)隨機抽取一件產品，觀察出現(xiàn)“抽到次品”和“抽到正品”的情況.有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值沒有直接關系，我們可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值．例如(3)，擲一枚硬幣，可將試驗結果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示，定義那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應關系．問題1：請為以下隨機試驗的樣本點與實數(shù)建立對應關系：(3)擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正、反面的情況；(4)隨機抽取一件產品，觀察出現(xiàn)“抽到次品”和“抽到正品”的情況.有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值沒有直接關系，我們可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值．又如(4)，隨機抽取一件產品，如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應關系．問題1：請為以下隨機試驗的樣本點與實數(shù)建立對應關系：(4)隨機抽取一件產品，觀察出現(xiàn)“抽到次品”和“抽到正品”的情況.對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應．即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應關系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．探究：考察下列隨機試驗及其引入的變量:試驗1:從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù)；試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應的?變量X,Y有哪些共同的特征?對于試驗1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1組成長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間Ω1＝{000,001,010,011,100,101,110,111}.各樣本點與變量X的值的對應關系如下圖所示.00100001001110010111011110121223Ω1X探究：考察下列隨機試驗及其引入的變量:試驗2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應的?變量X,Y有哪些共同的特征?對于試驗2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間Ω2＝{h,th,tth,ttth,???}.Ω2包含無窮多個樣本點.各樣本點與變量Y的值的對應關系如下圖所示.thhtthttththh2134thhΩ2Ytt一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量.在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應.變量X，Y有如下共同點:(1)取值依賴于樣本點；(2)所有可能取值是明確的.1.隨機變量的定義:試驗1中隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,共有4個值；試驗2中隨機變量Y的可能取值為1,2,3,???，有無限個取值，但可以一一列舉出來.像這樣，可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量.

通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X,Y,Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x,y,z.2.離散型隨機變量的定義:3.隨機變量與函數(shù)的關系隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集.隨機變量的取值X(ω)隨著試驗結果ω的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件.現(xiàn)實生活中，離散型隨機變量的例子有很多.例如，某射擊運動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X，它的可能取值為0,1,2,???,10；某網(wǎng)頁在24h內被瀏覽的次數(shù)Y，它的可能取值為0,1,2,???；等等.3.隨機變量與函數(shù)的關系現(xiàn)實生活中還有大量不是離散型隨機變量的例子.例如，種子含水量的測量誤差X1；某品牌電視機的使用壽命X2；測量某一個零件的長度產生的測量誤差X3.這些都是可能取值充滿了某個區(qū)間、不能一一列舉的隨機變量.本節(jié)我們只研究取有限個值的離散型隨機變量.課本60頁下列隨機試驗的結果能否用離散型隨機變量表示?若能，請寫出各隨機變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機試驗的結果.(1)拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和；(2)某足球隊在5次點球中射進的球數(shù)；(3)任意抽取一瓶標有1500ml的飲料，其實際含量與規(guī)定含量之差.解：(1)點數(shù)之和X是離散型隨機變量，X的可能取值為2，3，???，12.{X＝k}表示擲出的點數(shù)之和為k.(2)進球個數(shù)Y是離散型隨機變量，Y的可能取值為0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射進k個球.(3)誤差Z不是離散型隨機變量.練習判斷一個變量是否是離散型隨機變量的步驟：反思歸納探究二：離散型隨機變量的分布列根據(jù)問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關心的隨機事件，并利用數(shù)學工具研究隨機試驗中的概率問題.例如，擲一枚質地均勻的骰子，X表示擲出的點數(shù)，則事件“擲出m點”可以表示為{X＝m}(m=1,2,3,4,5,6)，事件“擲出的點數(shù)不大于2”可以表示為{X≤2}，事件“擲出偶數(shù)點”可以表示為{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.由擲出各種點數(shù)的等可能性，我們還可以得到這一規(guī)律我們還可以用下表來表示.213456XP隨機變量X的概率分布列一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，我們稱X取每一個值xi的概率為X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，簡稱分布列.1.離散型隨機變量的分布列歸納總結由于函數(shù)可以用解析式、表格、圖象表示，所以離散型隨機變量的分布列也可以用解析式、表格、圖象表示.2.分布列的表示：1.解析式法x2x1xnXPp2p1pn2.表格法3.圖象法上圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖.PX1023456根據(jù)概率的性質，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質:3.離散型隨機變量的分布列的性質注：這個兩個性質是判斷分布列是否正確的重要依據(jù).利用分布列和概率的性質，可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率.例如，在擲骰子試驗中，由概率的加法公式，得事件“擲出的點數(shù)不大于2”的概率為類似地，事件“擲出偶數(shù)點”的概率為練習反思歸納隨堂檢測則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為（

）

2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析:P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.5.設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.解:由分布列的性質知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|0123P0.10.30.30.3則由上表得兩個分布列為X012342X＋113579|X－1|10123課堂小結一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X