剛體慣性力系的簡化

剛體慣性力系的簡化

用質點系的達蘭貝爾原理求解質點系的動力學問題，需要對質點內每個質點加上各自的慣

性力，這些慣性力也形成一個力系，稱為慣性力系。下面用靜力學力系簡化理論，求出

慣性力系的主矢和主矩。以及R表示慣性力系的主矢。由質心運動定理得：

ma

GR=E4j=Z（一加，〃J--c

無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質量與質心加速度的乘積，方向與質心加

速度的方向相反。

由力系簡化理論知，主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關，主矩一般與簡化中心的位

置有關。下面就剛體平移、定軸轉動和平面運動討論慣性力系的簡化結果。

一、剛體作平移剛體平移時，剛體內任一質點i

的加速度0?與質心的加速度4c相同，有內=ac，任選一點O為簡化中心，主矩用Mgo

表示，有

M、——、——.——————

四一2”。（氣，）一工/X（一"C）一一2〃2再乂外一一加7X〃C-7X展

式中，”,為簡化中心。到質心。的矢徑。若選質心C為簡化中心，則rc=o,主矩以Mgc

表示，有向質心C簡化：

A7——————

gC=Z/c（4j）=X4x（一m/c）=一2mi4XQ,二。

綜上可得結論：平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質心的合力，其大小等于剛體的質量

與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。

二、剛體作定軸轉動

如圖所示，具有質量對稱面且繞垂直于質量對稱面的軸轉動的剛體。其上任一點的慣性力的

分量的大小為

F：i=m：eL=m：r：a

璋=叫端=加力〃

方向如圖所示。該慣性力系對轉軸o的主矩為

%0=2%（瑁）+。。（片）

由于&產(chǎn)通過。點，則有XMo（bg”=0,所以

Mgo=工Mo（F；）=-EF：.八=一2（加洛。）4=—Z（〃2海Da

即Mg=-joa

綜上可得結論：定軸轉動剛體的慣性力系，可以簡化為通過轉軸0的一個慣性力&R和一

個慣性力偶力尸"的大小等于剛體的質量與其質心加速度大小的乘積，方向與質心

加速度的方向相反，作用線通過轉軸；力偶"go的矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角加

速度大小的乘積，轉向與角加速度的轉向相反。

若慣性力系向質心C簡化，主矩等于什么？

剛體作勻速轉動時，〃=0,若轉軸不過質心，慣性力系簡化為一慣性力&R=一吟,同

時力的作用線通過轉軸。。

②轉軸過質點C,但"0,慣性力偶V=V（與。反向）

轉軸通過質心。時,牝=0,，'4=0,M必=一人%此時慣性力系簡化為一慣性力偶。

③剛體作勻速轉動，且轉軸過質心，則

FgR=。，Mgc=0

對于平z面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程

F=0,￡）=。

zv

F=0,2/：+（一加%,）=°

sv

Me（尸）=0,ZMc（M））+（—九0）=。

實質上：

dX（［『（e）d（e）d1（p—

m山2=￡K，m山2=Z4，人d產(chǎn)

按以上方程，動靜法體現(xiàn)不出優(yōu)點，但是虛加慣性力和慣性力偶后，動靜法可以對任意點

取矩（二矩式、三矩式）這正是體現(xiàn)動靜法優(yōu)越性的地方。

［例5］均質桿長/,質量相與水平面較接，桿由與平面成黃角位置靜止落下。求剛開始落

下時桿AB的角加速度及A支座的約束力。

解：選桿為研究對象，虛加慣性力系：

miscml2￡

FIR=F歐=m冊=°加豺=J￡=-----

A3

根據(jù)動靜法，有

ZG=0,K+mgcos0o—47=0(1)

Z月=。，-mgsin^+F^=0(2)

2監(jiān)(/)=0,根gcos°o?//2-=0⑶

方程（1）、（2）實質就是質心運動定理，方程⑶為定軸轉動微分方程。

單個物體的動力學問題，用動靜法或動力學普遍方程求解區(qū)別不大。但是物體系統(tǒng)的動力

學問題，用動靜法求解比用動力學普遍方程求解簡單得多。

解方程得:

K="gsi”，彳一隼COS0。

特別注意：在畫虛加的慣性力系的主矢和主矩時，必須按照和質心加速度的方向相反以及

與角加速度轉向相反（考慮負號）的原則畫出。在方程中只需按其數(shù)值的大小代入，不能再

帶負號！

達蘭貝爾原理的應用

根據(jù)達蘭貝爾原理，以靜力學平衡方程的形式來建立動力學方程的方法，稱為動靜法。應

用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求

質點系運動時的動約束力。

應用動靜法可以利用靜力學建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取,

“平衡方程”可以采用二矩式、三矩式等。因此當問題中有多個約束力時，應用動靜法求解

它們時就方便得多。

應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：

①選取研究對象：原則與靜力學相同。

②受力分析：畫出全部主動力和外約束力。

③運動分析：主要是剛體質心加速度，剛體角加速度，

標出方向或轉向。

④虛加慣性力：在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進行運動分析的基礎上,

熟記剛體慣性力系的簡化結果。

⑤列動靜法方程：選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補充方程：運動學補充方程（運動量之間的關系

⑦求解求知量。

［特別注意］知會的方向及轉向在受力圖中必須按

質心加速的方向、角力搐度的轉向相反的原則畫出。

在建立方程時，只需按E,=mac,MgC=Jc￡數(shù)值的大小

代入即可，不再考慮負號。

［例6］質量為，加和牝的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為門和并

裝在同一軸的兩鼓輪上，己知兩鼓輪對于轉軸0的轉動慣量為J,系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生

運動，求鼓輪的角加速度。

解：方法1用達蘭貝爾原理求解

取系統(tǒng)為研究對象

虛加慣性力和慣性力偶：

與］—Z77jQ］,F^2~%，o=J（）￡=J￡

由質點系的達蘭貝爾原理

（尸）=0,

2g乃一月?K一總￡-Mo=0

加］g《一m2g5一咫自彳一/啰魚￡-J￡=。

列補充方程：?二八￡,a?=握￡代入

上式

得2

mr-+mr-+J6

1I22

方法2用動量矩定理求

解取系統(tǒng)為研究對象

Lo=m}V]/]+機2吃4

=(mr2+mj；+J)co

2M(F(e))=mvr-mvr

一OII22

根據(jù)野量矩度理：

—[(mr2+mr2+J)69]=mgr-mgr

iI1221122

dr

加肉一九24

-犯----始-9-+--〃----2---/-2丁+---J--g

方法3用動能定理求解

取系統(tǒng)為研究科象，年一瞬時系統(tǒng)

的『=」"mv2+mv2+Jar

22222

9

_色一{mr~-\-mr2+J)

__2''22

元功Z8W=班gdc-%網(wǎng)吭

=mxgr\A(p-tn2gry^(p

=(ni}t\-m2t2)gd(p

由d7=Z5W得d［繆（辦不+加2型+/）］=（根切一根2乃）gd0

:邊除以曲，并求導數(shù)，

得_叫.一m點

￡—m-+m產(chǎn)+J8

1122

［例7］在圖示機構中，沿斜面向上作

純滾動的圓柱體和鼓輪。均為均質物

體，各重為半徑均為R,繩子

不可伸長，其質量不計，斜面傾角a,

如在鼓輪上作用一常力偶矩試求

：(1)鼓輪的角加速度？

(2)繩子的拉力？(3)軸承。

處的約束力？(4)圓柱體與

斜面間的摩擦力

(不計滾動摩擦)？

解：方法1用達蘭貝爾原理求

取輪。為研蠲象，虛加慣性力

偶M=J8

g。。。cO

2g

列出動靜方程

tMo(F)=0,TR+MQ—M=0

SFv=0,Xo-Tcoscr=0

XFv=0,Yo-Q-Tsina=0

取輪A為研究對象，虛加慣性力及和慣性力偶如圖示

°與二＞，用「抬底

沙

列出動靜ZMC(F)=O,PsinaR+gR-FR+M=0(4)

法方程：￡6=0,r-F^-F-Psina=O(5)

學關系：aA=R￡A=R￡o9￡/、=￡()

將弧。，F(xiàn)g,及運動學關系代

入到(1)和⑷式并聯(lián)立求解得：

_2(M一-sinaR),

￡°~(Q+3P)R28

丁_P(3M+QRsina)

一(Q+3P)R

代入(2)、(3)、(5)式,得：

P(3M+ORsina]

X。?cosa

(。+3尸/

P(3M+QRsina}

Yo=?sina+Q

(Q+3P)R

F_P(M一尸7?sin0

"(Q+3P)R

方法2用動力學普遍定理求解

(1)用動能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為研究對象

Z%=M(p-PR(psina

=(M-PRsina)(p

7]=C(常量)

(V=R04)=R(JJA)

222g02g22g八

2

色」(0+3P)R2-C=(M-PRsina)(p

由=Z叱2，得

4g

兩邊對/求導數(shù)：￡tQ+3P)R22Go與=(M-PRsina)g

2(M-PRsina、

￡。g

(Q+3P)/?2

(2)用動量矩定理求繩子拉力(定軸轉動微分方程)取輪。為研究對象，由動量矩定理得

dR%°=M—TRT=/(3M+QRsina)

2g(Q+3P)尺

⑶用質心運動定理求解軸承。處約束力

取輪。為研究對象，根據(jù)質心運動定理

:

maCx=XFx,0=Xo-Tcosa

maCy=XF?,Q=Y0-Q-Tsina

w4

Xo=卬"-cosa,Yo=-sina+Q

(Q+3P)R(Q+3P)R

(4)用剛體平面運動微分方程求摩擦力取圓柱體4為研究對象，根據(jù)剛體平面運動

微分方程

JA^A—FR（邑=%））

_Je1P22(M-PRsmP(M-PRsing}

廣r=--A--A二R.o=

RR2g(Q+3P)R25(Q+3P)R

方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度用達蘭貝爾原

理求其他力（繩子拉力、軸承。處約束力和摩

擦力）。

I例8］均質圓柱體重為P,半徑為R,無滑動地沿傾斜平板由靜止自。點開始滾動,平

板對水平線的傾角為。，試求0A=5時平板在O點的約束力。板的重力略去不計。

解：（1）用動能定理求速度，加速度圓柱體作平面運動。初始位置時處于靜止狀態(tài)，故

八二0；在末位置時，設角速度為“則左二長明動能為：

22gc22g

主動力的功：ZW『二PSsina

由動能定理5M=ZW?得

載"2-0=用sini240?

=>vc=^gSsina

a=-vsin_2P.

c.a、^-T^sin6z

對，求導數(shù)，則:33R

(2)用達蘭貝爾原理求約束力取系統(tǒng)為研究對象,虛加慣性力Fg和慣性力偶Mgc

FJa="sina,

M5,￡R?么sina=竺sina

gc2g3R3

列出動靜法方程

2PX，sin2a

X-(sin@cosa=0,

5Z=0,>

。303

2P

YT+(sin@sina=0Y=P(l-^sin2a)

XFy=0,oo

33

p7

M+7?sinzAinaR-P&OSa-Kin^

ZMo(F)=0,aR4

33

1

---->Mo-PcosaS

[例9]牽引車的主動輪質量為小，半徑為R,沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動

力可簡化為作用于質心的兩個力S、T及驅動力偶矩M,車輪對于通過質心C并垂直于輪

盤的軸的回轉半徑為r,輪與軌道間摩擦系數(shù)為一,試求在車輪滾動而不滑動的條件

下，驅動力偶矩M之最大值。解：取輪為研究對象，虛加慣性力系。

主矢和主矩的大小分別為：

FgR=mac=mRs

M?c=Jc8-mp-￡

主矢和主矩按照與質心加速

度及角加速度轉向相反的原

則畫出，不再考慮負號。

由動靜法，得：

ZK=O,F-T-F〃=O(1)

Z8=0,N-P-S=0(2)

Z%(尸)=0,-M+FR+M,c=0(3)

由(1)得F&R=mRe=F-T

所以代入(3)得

mRF-T

=FR+mp-

M=FR+Mgc

mR可見，/越大

=F(足+R)-T邑(4)越不易滑動。

RR

Mnax的值為

由得'=尸+要保證車輪不滑動，

(2)5,上式右端的值

將父4福:猊〃尸禽(02+R)-T

P2。

［例10］如圖所示，均質桿A8的質量機=40kg,長/=4m,A點以

較鏈連接于小車上。不計摩擦，當小車以加速度。=15m/s2向

左運動時，求。處和較A處的約束力。解：以桿為研窕對象，受力如圖。

桿作平移，慣性力的大小為FKR=ma.假想地加上慣性力系，則由質點系的達蘭貝爾原理

B

ZMA(F)=O

/wg^cos30o-F1口sin30o=0

2。2一勺2

于是得F[)="7(gcos300-asin30°)

Z￡=0瓜+&+&sin30°=0

Z4=。cos300-mg=0

FAV+FD

代入數(shù)據(jù)，解之得：

心=-617.9N

FAy=357.82N

FD=39.47N

［例11］均質桿八〃長/,重端與重G、半徑為「的均質圓輪較接。在圓

輪上作用一矩為M的力偶，借助于細繩提升重為尸的重物C。試求固定端

4的約束力。

解：先以輪和重物為研究對象，受力如圖。

假想地加上慣性力系p

F=匚a

gC

MA/f=JTa=r2〃=Ra

2gr2g

由質點系的達蘭貝爾原理

ZMB(尸)=。M-MgB-r(P-bFgC)=0

代入&c和得

2(M-rP)

a=-------------g

?G+2尸)6

再以整體為研究對象，受力如圖，假想地加上慣性力系

r4)，

由質點系的達蘭貝爾原理_,)")y

F

次、=。取=。A'AZ

、,=G

ZF0FAy-W-G-P-F&c=01

")=0X

—G/+M—M?—(P+%)(/+r)=0戶g'

代入%和解得

FAX=o

2(M—rP)

=W+G+P+

r(G+2P)

7M八A，u(Mn-rP}.rG+2M

m=1(^+G)-M+3G+(/+尸),UT4""p

2(G+2尸)r(G+2P)

［例12］質量為孫長為/的均質直桿AB的一端A焊接于半徑為r的圓盤邊緣上，如圖。

今圓盤以角加速度。繞其中心。轉動。求圓盤開始轉動時,48桿上焊接點A處的約束力。

解：以桿4〃為研究對象，受力如圖

a=ar-OCa-Jr2+(2)2-a

ccV2

將慣性力系向轉軸簡化，得主矢和主

矩

的大小分別為r——

&=mac=可/+(-)2-a

M=Ja=(J^mOC-)a=

g。oc

]27219)

+〃2(廠+》)a=(-m/-+mr'

1243

由質點系的達蘭貝爾原理

EFv=0EM-％sin9=0

￡F、-0FAy+F&cos(p-mg-0

EM4(F)=0mA+Mgo-mg--F^sin^?-r=0

.“2°I

sin(p=-----------coscp=

將已知數(shù)值代入以上三式，解之

得/

廠F-mg-ma

F、=mra6

Av2

1,1,2

mA=mgI-mla

［例13］重P、半徑為「的均質圓輪沿傾角為q的斜面向下滾動。求輪心。的加速度，并求

圓輪不滑動的最小摩擦系數(shù)。

解：以圓輪為研究對象，受力如圖,建立如圖坐標

O圓輪作平面運動，輪心作直線運動，則

ac-ra

將慣性力朝質心簡化，慣性力和慣性力偶矩的大小

為F=raM=上-產(chǎn)a

—2g

則由質點系的達蘭貝爾原理

ZFV=OFN-PCOS0=0

FN=PcosP

ZFV=OPsin。一己一與二0

SA/c(F)=0Fsr-M.=0

解之得

a"no=B

cFss[n3

33

由于圓輪沒有滑動，則尸9M

即￡sin^</-Pcos6>

3

由此得>ltan6^

所以，圓輪不滑動時,最小摩擦系數(shù)Ain=：tan°

［例14］已知兩均質直桿自水平位置無初速地釋放。求兩桿的角加速度和O、A處的約束力。

解:(1)取系統(tǒng)為研究對于

象/12%

=m-axMg]=[相/％

2ISI\

F=m(la+a)?'

M二」mPa%°/

g2122

戶6mg'ng

則由質點系的達蘭貝爾原理

I3131

2M。（萬）=0=Q

乙乙乙

12女

方程化簡為11/+5a2=—j—

⑵取桿為研究對象

ZM/(F)=0Mg2-mg-^Fg2-=0

A,42

弧2A

、1a?

9g3g\\B

a=-/=——K

x71-71

ZK=o鼠=。

￡F\=0Fy-mg+F=0

Ag2i〃吆

~mg

14

(3)取系統(tǒng)為研究對象

Z久=0%=。

Z&=0FOy-mg-mg+Fu+Fn=0

［例15］均質桿的質量為叫長為訓一端放在光滑地面上，并用兩軟繩支持，如圖所示。

求當3。繩切斷的瞬時，”點的加速度、AE繩的拉力及地面的約束力。解：以A3桿為研

究對象，桿A"作平面運動，如圖，以B點為基點，則。點的加速度為

A

ac=aB+%B

其中abB=la酒=102=°

將慣性力系向質心C簡化，得慣性力心=心】+盤2,

其中五gi=機沏，尸以=，〃"CB=mla和慣性力偶，其

力偶的矩為

22

M=J(a=—^(2Z)=-mla

8123

在AD繩切斷的瞬時，受力如圖，建立如圖坐標。

由質點系的達蘭貝爾原理

ZFV=O一片+電一82cos30°=0

-Fy+mag-mlacos30°=0

XFv=0FN+42sin300-mg=0

FN+mlasin30°—=0

ZMc(F)=04/cos30°—&/sin30°+Mg=0

FIcos30o-F/sin30o+^ml2a=0(3)

以5為基點，則A點的加速度為

+Q『+〃

a\ABAB

其中《=v；/A￡=0加

將上式投影到4軸上

得。

0——ciR+aARcos30

aB=2tocos30°(4)

聯(lián)立求解（1）~（4）式,

。二—紅—=^L

2/cos30°8/

F=mg-matan30。=mg

N2B16

［例16］如圖所示，均質桿AB長為I,重為Q,上端B靠在半徑為R的光滑圓弧上（氏=力,

下端A以錢鏈和均質圓輪中心A席連圓輪重P,半徑為r,放在粗糙的地面上,由靜止開

始滾動而不滑動。若運動開始瞬時桿與水平線所成夾角f45。，求此瞬時A點的加速度。

解：設系統(tǒng)運動的初瞬時，圓輪中心的加速度為「，角加速度為e;AB桿的角加速度為

e,質心。人

輪和桿均作平面運動，將慣性力系分別向質心簡化，則慣性力和慣性力偶的矩的大小分

別為

先以整體為研究對象，受力如圖。假想地加上慣性力和慣性力偶,

則由質點系的達蘭貝爾原理

Z%(戶)=0

NB(1+rsin^)-FLCv—COS^

-Q^-cosO-Fg(r+—sin0)

22

+Mgc=0(1)

再以A3為研究對象，受力如圖。假想地加上

慣性力和慣性力偶.則由質點系的達蘭貝爾

原理