第09講有理數(shù)的乘方（4種題型）（解析版）

第09講有理數(shù)的乘方（4種題型）【知識(shí)梳理】有理數(shù)的乘方1、求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。叫底數(shù)，叫指數(shù)，讀作：的次冪(的次方)。2、乘方的意義：表示個(gè)相乘。3、寫法的注意：當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)一定要打括號(hào)，不然意義就全變了．如：＝()×()，表示兩個(gè)相乘．而＝，表示2個(gè)2相乘的積除以3的相反數(shù)．4、與－的區(qū)別．(1)表示個(gè)相乘，底數(shù)是，指數(shù)是，讀作：的次方．(2)－表示個(gè)乘積的相反數(shù)，底數(shù)是，指數(shù)是，讀作：的次方的相反數(shù)．如：底數(shù)是，指數(shù)是3，讀作(－2)的3次方，表示3個(gè)(－2)相乘．＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．底數(shù)是2，指數(shù)是3，讀作2的3次方的相反數(shù)．＝－(2×2×2)＝－8．注：與的結(jié)果雖然都是－8，但表示的含義并不同。5、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律．(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)．(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．(3)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．(4)0的奇數(shù)次冪，偶次冪都是0．所以，任何數(shù)的偶次冪都是正數(shù)或0。有理數(shù)的混合運(yùn)算1、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。2、括號(hào)前帶負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，即，三．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào)．【考點(diǎn)剖析】一．有理數(shù)的乘方（共11小題）1．（2022秋?南潯區(qū)期末）下列各組數(shù)中，運(yùn)算結(jié)果相等的是（）A．（﹣5）3與﹣53 B．23與32 C．﹣22與（﹣2）2 D．與【分析】利用乘方運(yùn)算法則計(jì)算后判斷即可．【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合題意；B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合題意；C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合題意；D、，，故不相等，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的意義．2．（2022秋?蒼南縣期中）把寫成冪的形式是（）5．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方得出結(jié)論即可．【解答】解：＝（）5，故答案為：（）5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?柯橋區(qū)月考）如果a，b，c是整數(shù)，且ac＝b，那么我們規(guī)定一種記號(hào)（a，b）＝c，例如32＝9，那么記作（3，9）＝2，根據(jù)以上規(guī)定，求（﹣3，﹣27）＝3．【分析】利用規(guī)定記號(hào)的意義將式子表示出乘方的形式，利用有理數(shù)乘方的意義解答即可．【解答】解：設(shè)（﹣3，﹣27）＝x，∵ac＝b，那么我們規(guī)定一種記號(hào)（a，b）＝c，∴（﹣3）x＝﹣27．∵（﹣3）3＝﹣27，∴x＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，本題是新定義型題目，理解題干中的新規(guī)定并列出算式是解題的關(guān)鍵．4．（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）﹣33＝（）A．﹣9 B．9 C．﹣27 D．27【分析】運(yùn)用乘方知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、求解．【解答】解：﹣33＝﹣27，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的立方運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．5．（2022秋?青田縣期末）一張紙的厚度為0.09mm，假設(shè)連續(xù)對(duì)折始終都是可能的，那么至少對(duì)折n次后，所得的厚度可以超過厚度為0.9cm的數(shù)學(xué)課本．則n的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】一張紙的厚度為0.09mm，對(duì)折1次后紙的厚度為0.09×2mm；對(duì)折2次后紙的厚度為0.09×2×2＝0.09×22mm；對(duì)折3次后紙的厚度為0.09×23mm；對(duì)折n次后紙的厚度為0.09×2nmm，據(jù)此列出不等式，求出n的取值范圍即可．【解答】解：∵折一次厚度變成這張紙的2倍，折兩次厚度變成這張紙的22倍，折三次厚度變成這張紙的23倍，折n次厚度變成這張紙的2n倍，設(shè)對(duì)折n次后紙的厚度超過9mm，則0.09×2n＞9，解得2n＞100．而26＜100＜27．∴n為7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查從實(shí)際中尋找規(guī)律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)行，乘方的意義就是多少個(gè)某個(gè)數(shù)字的乘積．6．（2022秋?文成縣期中）下面的計(jì)算錯(cuò)在哪里？指出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并給出正確的解答過程．﹣3＝……①＝9÷1……②＝9……③錯(cuò)誤步驟的序號(hào)：①；正確解答：﹣；【分析】根據(jù)有理的乘除法則及運(yùn)算順序進(jìn)行判斷，并計(jì)算便可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，∴步驟①錯(cuò)誤；正確的解答如下：﹣3＝﹣9÷（﹣8）×＝﹣9×＝﹣．故答案為：①；﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘除法，關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則與運(yùn)算順序．7．（2019秋?蕭山區(qū)期中）計(jì)算：23＝8．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算即可【解答】解：23＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義．8．（2020秋?義烏市校級(jí)月考）定義：如果10b＝n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n）．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝3．（2）勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m，n為正數(shù)，則d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：d（12）＝1.08，d（）＝﹣0.12，d（）＝0.66．【分析】（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；（2）由勞格數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，兩數(shù)積的勞格數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的勞格數(shù)的和；兩數(shù)商的勞格數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的勞格數(shù)的差，據(jù)此可解．【解答】解：（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d（103）＝3；故答案為：3．（2）由勞格數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，則d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，則d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，∴d（2）＝0.3，d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48?0.3＝0.66，故答案為：1.08，﹣0.12，0.66．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，定義新運(yùn)算，讀懂題中的定義及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?吳興區(qū)期中）已知三個(gè)互不相等有理數(shù)a，b，c，既可以表示為1，a，a+b的形式，又可以表示為0，，b的形式，則a2020b2021值是1．【分析】由有意義，則a≠0，則應(yīng)有a+b＝0，＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代數(shù)式求解．【解答】解：因?yàn)槿齻€(gè)互不相等的有理數(shù)1，a，a+b分別與0，，b對(duì)應(yīng)相等，為有理數(shù)，∴a≠0，a+b＝0，∴＝﹣1，b＝1，∴a＝﹣1，∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，屬于探索性題目，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出未知數(shù)的值再計(jì)算．10．（2020秋?吳興區(qū)校級(jí)期中）請(qǐng)你研究以下分析過程，并嘗試完成下列問題．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+…+103＝3025（2）13+23+33+…+203＝44100（3）13+23+33+…+n3＝（4）計(jì)算：113+123+133+…+203的值．【分析】根據(jù)已知一系列等式，得出一般性規(guī)律，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；（2）13+23+33+…+203＝44100；（3）13+23+33+…+n3＝；（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．故答案為：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．11．（2020秋?蕭山區(qū)期中）閱讀下列各式：（a?b）2＝a2b2，（a?b）3＝a3b3，（a?b）4＝a4b4…．回答下列三個(gè)問題：①驗(yàn)證：（2×）100＝1，2100×（）100＝1；②通過上述驗(yàn)證，歸納得出：（a?b）n＝anbn；（a?b?c）n＝anbncn；③請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2019×22018×42017．【分析】①根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的乘方解決此題．②通過猜想歸納解決此題．③根據(jù)積的乘方、有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的乘方解決此題．【解答】解：①＝1100＝1，＝＝1．故答案為：1，1．②（a?b）n＝anbn，（a?b?c）n＝anbncn．故答案為：anbn，anbncn．③（﹣0.125）2019×22018×42017＝×22018×42017＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘法、積的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則、積的乘方是解決本題的關(guān)鍵．二．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共5小題）12．（2022秋?麗水期中）已知a，b滿足|a+3|+（b﹣2）2＝0，則a+b的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，故a+b＝﹣3+2＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．13．（2022秋?青田縣期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，則mn的值為（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m與n的值，代入所求式子計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵|m+1|+（n﹣3）2＝0，|m+1|≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣1，n＝3，則mn＝（﹣1）3＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出m，n的值是解題關(guān)鍵．14．（2021秋?蘭山區(qū)校級(jí)月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝9．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出x、y的值，再將它們代入yx中求解即可．【解答】解：∵x、y滿足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；則yx＝（﹣3）2＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．15．（2022秋?蘭溪市期中）已知（a﹣2）2與|b+1|互為相反數(shù)，求（a﹣b）a+b的值．【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、有理數(shù)的乘方解決此題．【解答】解：由題意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0．∴a＝2，b＝﹣1．∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查偶次方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、有理數(shù)的乘方，熟練掌握偶次方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022秋?衢州期中）已知，則（ab）2022＝1．【分析】根據(jù)絕對(duì)值和偶次方是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值然后代入代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴，b+2＝0，∴，b＝﹣2，∴，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)算式都等于零求出a、b的值是解此類題的關(guān)鍵．三．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共9小題）17．（2022秋?臨海市期末）我國倡議的“一帶一路”惠及約為4400000000人，用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為4.4×109．【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：4400000000＝4.4×109，故答案為：4.4×109．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，解題的關(guān)鍵是要正確確定a和n的值．18．（2023?杭州）杭州奧體中心體育場(chǎng)又稱“大蓮花”，里面有80800個(gè)座位．?dāng)?shù)據(jù)80800用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8.8×104 B．8.08×104 C．8.8×105 D．8.08×105【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：80800＝8.08×104，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．19．（2023?路橋區(qū)校級(jí)二模）2022年12月28日，臺(tái)州市域鐵路S1線開通運(yùn)營，標(biāo)志著臺(tái)州城市發(fā)展邁入軌道時(shí)代臺(tái)州市域鐵路S1線全長約52.4公里，總投資約228.19億元，是連接椒江區(qū)、路橋區(qū)及溫嶺市之間重要的城市快速通道．其中數(shù)據(jù)228.19億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.22819×1010 B．0.22819×1011 C．2.2819×1010 D．2.2819×1011【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：228.19億＝22819000000＝2.2819×1010．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．20．（2023?鄖陽區(qū)模擬）2022年5月10日凌晨，長征7號(hào)火箭托舉著天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船發(fā)射升空，在距地面390000米的高度，與空間站完成自主交會(huì)對(duì)接任務(wù)．390000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.9×105．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：390000＝3.9×105．故答案為：3.9×105．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．21．（2022秋?拱墅區(qū)月考）北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館國家速滑館“冰絲帶”近12000平方米的冰面采用分模塊控制技術(shù)．可根據(jù)不同項(xiàng)目分區(qū)域、分標(biāo)準(zhǔn)制冰．將數(shù)據(jù)12000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.2×104．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案為：1.2×104．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵．22．（2023?余姚市二模）中國空間站2022年建成，軌道高度為400～450千米．“450千米”用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．4.5×105米 B．0.45×107米 C．45×105米 D．4.5×107米【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科學(xué)記數(shù)法表示是4.5×105米．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．23．（2021秋?越城區(qū)校級(jí)月考）一次自然災(zāi)害導(dǎo)致大約20萬人受困，急需準(zhǔn)備一批帳篷和糧食進(jìn)行援助．估計(jì)每頂帳篷可以住10人，平均每人每天需要糧食0.4千克，共維持15天，那么有關(guān)部門需要籌集多少頂帳篷？多少噸糧食？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）【分析】根據(jù)題意列式計(jì)算，并用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果即可．【解答】解：根據(jù)題意得：20萬＝200000，所以有關(guān)部門需要籌集200000÷10＝20000（頂）帳篷，即2×104頂帳篷；需要籌集200000×0.4×15＝1200000（千克）糧食，1200000千克＝1200噸即1200＝1.2×103噸糧食．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．24．（2022秋?慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以達(dá)到3×108m/s，如果我們用光速行駛3.6×103s，請(qǐng)問我們行駛的路程為多少m？【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．答：行駛的路程為1.08×1012m．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．25．（2022秋?永嘉縣校級(jí)月考）已知一個(gè)U盤的名義內(nèi)存為10GB，平均每個(gè)視頻的內(nèi)存為512MB，平均每首音樂的內(nèi)存為10.24MB，平均每篇文章的內(nèi)存為10.24KB．現(xiàn)該U盤已存16個(gè)視頻，50首音樂．若該U盤的內(nèi)存的實(shí)際利用率為90%，求還可以存文章的最多篇數(shù)（用科學(xué)記數(shù)法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）【分析】根據(jù)題意列式求解，最后化成科學(xué)記數(shù)法．【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，答：還可以存文章的最多篇數(shù)是5.12×104．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，掌握科學(xué)記數(shù)法的形式是解題的關(guān)鍵．四．科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)（共1小題）26．（2021秋?平陽縣期中）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個(gè)數(shù)原來是（）A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315【分析】將小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)3位即可得出原數(shù)．【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315×103，這個(gè)數(shù)原來是4315，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法—原數(shù)，科學(xué)記數(shù)法a×10n表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)n位所得到的數(shù)．若科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)a×10﹣n，還原為原來的數(shù)，需要把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)n位得到原數(shù)．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）的相反數(shù)為（

）A． B．3 C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)乘方運(yùn)算以及相反數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，根據(jù)相反數(shù)的定義可知：的相反數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方運(yùn)算以及相反數(shù)的定義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào)；正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．2．（2022秋·浙江·七年級(jí)期末）的意義是（

）A．2×3 B．2＋3 C．2＋2＋2 D．2×2×2【答案】D【分析】根據(jù)冪的意義即可得出答案．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握表示n個(gè)a相乘是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）代數(shù)式可以表示為（

）A． B． C． D．n2【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的意義解答即可得.【詳解】解：代數(shù)式可以表示為；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方的意義是關(guān)鍵.4．（2023春·浙江衢州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B．2021 C．1 D．【答案】C【分析】由相反數(shù)的定義和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，，，，解得，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出、的值．5．（2022春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列對(duì)于式子的說法，錯(cuò)誤的是（

）A．指數(shù)是2 B．底數(shù)是 C．冪為 D．表示2個(gè)相乘【答案】C【分析】根據(jù)乘方的定義解答即可．【詳解】A．指數(shù)是2，正確；B．底數(shù)是，正確；C．冪為9，故錯(cuò)誤；D．表示2個(gè)相乘，正確；．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了乘方的意義，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．乘方的定義為：求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫做冪．在中，它表示n個(gè)a相乘，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．6．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，則的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解．【詳解】解：∵，，，，，，…，∴尾數(shù)，，，的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，∵，∴的個(gè)位數(shù)字是，又∵，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）某種細(xì)胞每過秒便由個(gè)分裂成個(gè)．經(jīng)過分鐘，這種細(xì)胞由個(gè)分裂成（

）個(gè)．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得3分鐘有12個(gè)15秒，進(jìn)而根據(jù)有理數(shù)乘方的意義即可求解．【詳解】解：∵3分鐘秒，∴經(jīng)過分鐘，這種細(xì)胞由個(gè)分裂成個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知為正整數(shù)，計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則以及乘方的符號(hào)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，若，則的值（

）A．86.2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩式結(jié)果相差2位小數(shù)點(diǎn)，利用乘方的意義即可求出x的值．【詳解】解：∵，，∴，則．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解題的關(guān)鍵．二、填空題10．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：_____．【答案】72【分析】直接利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：．故答案為：72．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)?？计谥校┌褜懗蓛绲男问绞莀___________.【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義及冪的定義解答即可．【詳解】解：寫成冪的形式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方及冪的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）若，則的值等于_____．【答案】1【分析】先根據(jù)求出a和b的值，再把a(bǔ)和b的值代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值與偶次冪的非負(fù)性，冪的運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值與偶次冪的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）的底數(shù)是_____，指數(shù)是_____，計(jì)算的結(jié)果是_____．【答案】3﹣【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和意義，在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；表示個(gè)相乘，即可．【詳解】∵在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)∴的底數(shù)是，指數(shù)是∵表示個(gè)相乘∴故答案為：；3；﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義和意義．14．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，則______________．【答案】2【分析】把4寫成即可求出m的值．【詳解】解：∵且，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的意義，正確把4寫成是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）一根米長的木棒，小明第一次截去全長的，第二次截去余下的，依次截去每一次余下的，則第五次截去后剩下的木棒長為__________米．【答案】【分析】根據(jù)題意可求出第一次截去全長的，剩下米，第二次截去余下的，剩下，從而即可得出第五次截去余下的，剩下米．【詳解】解：第一次截去全長的，剩下米，第二次截去余下的，剩下米，…第五次截去余下的，剩下米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘方的應(yīng)用，數(shù)字類規(guī)律探索．理解乘方的定義是解題關(guān)鍵．三、解答題16．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)正(2)負(fù)(3)負(fù)(4)負(fù)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律解答即可．【詳解】（1）解：∵的指數(shù)是12，為偶數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，∴的結(jié)果為正；（2）解：∵的指數(shù)是9，為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，∴的結(jié)果為負(fù)；（3）解：∵表示的是的相反數(shù)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，的結(jié)果為正，所以的結(jié)果為負(fù)；（4）解：∵的指數(shù)是11，為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，∴的結(jié)果為負(fù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次冪為正、奇次冪為負(fù)成為解答本題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)625(2)(3)0.027【分析】（1）表示4個(gè)相乘，即可得出答案；（2）先計(jì)算2的立方，即可得出答案；（3）根據(jù)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)就是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的簡便運(yùn)算，可得答案．【詳解】（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的定義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）（1）計(jì)算下面兩組算式：①與；②與；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開去：等于什么?（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，等于什么?請(qǐng)你利用乘方的意義說明理由．（4）利用上述結(jié)論，求的值．【答案】（1）①225，225,=;②36，36，=，（2）（3）見詳解（4）．【分析】（1）①先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，②先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，（2）直接按（1）寫結(jié)果即可，（3）利用乘方的意義寫成n個(gè)數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為與乘積即可．（4）利用積的乘方的逆運(yùn)算把，然后=，再簡便運(yùn)算即可．【詳解】（1）①=152=225，=9×25=225，=，②=(-6)2=36，=4×9=36，=，（2）（3）．（4）=．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法法則問題，先通過不同形式的計(jì)算，驗(yàn)證結(jié)果相同，達(dá)到初步認(rèn)證，再次認(rèn)證結(jié)果，通過證明先算計(jì)積再算乘法，與先算每個(gè)數(shù)的乘方再算積，驗(yàn)證結(jié)論成立，會(huì)逆用積的乘方運(yùn)算來簡便運(yùn)算是解題關(guān)鍵．19．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）閱讀計(jì)算：閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三個(gè)問題：(1)驗(yàn)證：（4×0.25）100＝；4100×0.25100＝．(2)通過上述驗(yàn)證，歸納得出：（）n＝；（）n＝．(3)請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2015×22014×42014．【答案】(1)1，1；(2)ab，anbn，abc，anbncn；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括號(hào)內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；（3）根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再計(jì)算，即可得出答案．【詳解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案為：1，1．（2）解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，故答案為：ab，anbn，abc，anbncn．（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）先閱讀下列材料，再解答后面的問題材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為an．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為(即)．一般地，若(且)，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為(即)．如，則4叫做以3為底的對(duì)數(shù)，記為(即)