第10講 圓內(nèi)接四邊形與正多邊形（原卷版）

第10講圓內(nèi)接四邊形與正多邊形【知識梳理】一．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．二．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【考點剖析】一．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共15小題）1．（2023?蓮都區(qū)一模）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A＝70°，則∠C＝（）A．20° B．30° C．70° D．110°2．（2023?龍游縣校級一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°3．（2022秋?鄞州區(qū)期末）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為4：3：5，則∠D的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．110° D．120°4．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝70°，則∠C的度數(shù)是．5．（2022秋?慈溪市期末）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A＝130°，則∠C的度數(shù)為．6．（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，求AD的長．7．（2022秋?溫州校級月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ADC＝2∠B，點D是的中點．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求證：四邊形AOCD是菱形．8．（2022秋?下城區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，OE⊥AC．（1）證明：∠AOE＝∠D；（2）若AC＝4，求⊙O的半徑長．9．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長分別為（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，10．（2022秋?東陽市期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°11．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD、BD的長度．12．（2022秋?新昌縣期中）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，（1）證明：圓中存在“爪形D”；（2）若∠ADC＝120°，求證：AD+CD＝BD．13．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）如圖，⊙O的半徑為2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，圓心O到AC的距離等于．（1）求AC的長；（2）求∠ADC的度數(shù)．14．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點E，F(xiàn)，∠E＝∠F．（1）求證：DF⊥AE；（2）若C是的中點，設∠E＝α，∠DBA＝β，用含α的代數(shù)式表示β．15．（2022?龍泉市一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，BC＝CD＝5，AD＝5，E為對角線AC上一動點，連結(jié)BE并延長交⊙O于點F．（1）若BF⊥AD，求證：∠ABF＝∠ACB；（2）求四邊形ABCD的面積；（3）若△BCE為等腰三角形，求BF的長．二．正多邊形和圓（共15小題）16．（2023?永康市一模）如圖，已知正五邊形ABCDE的邊長為2，連接對角線構(gòu)成另一個正五邊形FGHIJ，則正五邊形FGHIJ的邊長為（）A．1 B． C． D．17．（2023?紹興模擬）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，其半徑為1，作OF⊥BC交⊙O于點F，則的長為（）A．π B． C． D．18．（2022秋?溫州期末）如圖，在正六邊形ABCDEF中，以點A為原點建立直角坐標系，邊AB落在x軸上，若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標是．19．（2017秋?鄞州區(qū)校級月考）蜂巢的構(gòu)造非常美麗、科學，如圖是由7個形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)絡，正六邊形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上．設定AB邊如圖所示，則△ABC是直角三角形的個數(shù)有．20．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接BD，則∠ABD的度數(shù)是．21．（2022秋?下城區(qū)校級月考）如圖，正五邊形ABCDE，連接對角線AC，BD，設AC與BD相交于O．（1）求證：AO＝CD；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并說明理由．22．（2017秋?溫州期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，現(xiàn)將它沿AB方向平移1個單位，得到正六邊形A′B′C′D′E′F′，則陰影部分A′BCDE′F′的面積是（）A．3 B．4 C． D．223．（2021秋?義烏市期末）如圖，在由邊長相同的7個正六邊形組成的網(wǎng)格中，點A，B在格點上．再選擇一個格點C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，符合點C條件的格點個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．424．（2022秋?嘉興期末）如圖，正六邊形ABCDEF與正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對圓周角的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°25．（2023?舟山一模）某正多邊形的內(nèi)角是它外角的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)為．26．（2022秋?江北區(qū)期末）劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學家，他首次提出“割圓術”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓周率，方法如圖：作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，取的中點G，OG與AB交于點H；連結(jié)AG、BG；依次對剩余五段弧取中點可得一個圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為S1，正六邊形的面積為S2，則＝．27．（2023?西湖區(qū)校級三模）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BF，BD分別交AC于點G，H，若該圓的半徑為12，則線段GH的長為（）A．6 B． C． D．828．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝．29．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE的對角線AC和AD分別交對角線BE于點M，N，若△AMN的面積為s，則正五邊形ABCDE的面積為（結(jié)果用含s的代數(shù)式表示）．30．（2022秋?西湖區(qū)期末）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，AD，CE，CE交AD于點F．（1）求∠CAD的度數(shù)．（2）已知AB＝2，求DF的長．【過關檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，O為正多邊形的中心．若，則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，為的兩條弦，連結(jié)，，點為的延長線上一點．若，則為（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，線段是的直徑，、為上兩點，如果，那么的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．106．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．7．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）將一個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°8．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點是上的一點，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形內(nèi)接于，如果，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A，B，C，D，E均在上，且經(jīng)過圓心O，連接，若，則弧所對的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，若，則的度數(shù)是________．12．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個外角，若，則的大小為__________．

13．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連接，若，則的度數(shù)是________．

14．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）圓的內(nèi)接正多邊形中，正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則正多邊形的邊數(shù)是______15．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點O是正六邊形的中心，以為邊構(gòu)造正五邊形，則___________．

16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設正六邊形的面積為，的面積為，則_________．

17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖1，將一個正方形紙片沿虛線對折兩次，得到圖2，按照圖2所示剪去一個腰長為2的等腰直角三角形，展開后得到一個如圖3所示的正八邊形，將前下的四個等腰直角三角形拼成一個正方形，放在正八邊形內(nèi)部，與重合，為的中點，連接．

（1）圖1中的正方形紙片邊長為______；（2）將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)______度，與重合，此時長為______．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，為上的一點（點不與點重合），則______．

三、解答題19．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點C是弧的中點，連接，若，求的度數(shù)．20．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；21．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，求邊長為a的正方形的外接圓的半徑長．

22．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖，已知，是的直徑，點E是延長線的一點，射線交點于F，連接，，，，．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)求的長．23．（2023·浙江杭州·統(tǒng)