專題02 解直角三角形重要模型之新定義模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題02解直角三角形重要模型之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.新定義模型 2 17模型1.新定義模型新定義模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面積公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和、差、二倍角公式等），而這些大部分定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；圖1圖2圖31）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。證明：作△ABC的外接圓，記圓心為O，作直徑，連接，如圖2，則，，∴，∴，同理，，，∴；2）正弦面積公式：如圖1，.證明：如圖3，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在中，，∴，∴，在中，，∴．∴．同理可得．因此有．3）余弦定理：如圖2，．證明：如圖3，在中，，，的對邊分別是，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得。同理：；。圖4圖54）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。證明：如圖4，設(shè)∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。又∵，，∴；。5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式證明）：;（已證）.;.（已證）.證明：如圖4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A=。如圖5，取的中點(diǎn)，連接，即：，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，利用銳角三角函數(shù)在中表示，。∵（等面積），即；在中，，則。例1．（2024九年級上·山東濟(jì)南·專題練習(xí)）已知正弦定理：．(1)小明想學(xué)習(xí)正弦定理，但他不會證明，老師已經(jīng)給出了思路，請根據(jù)思路，幫小明完成證明．如圖，作的外接圓，O為圓心．連接并延長交圓于D，設(shè)．根據(jù)直徑所對圓周角是直角及同弧所對圓周角相等，可得：；(2)證明后，老師提出還可以用其他方法證明，請你對此進(jìn)行證明；(3)接下來請你運(yùn)用正弦定理，解決下面問題：中，，平分，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】本題主要考查了解直角三角形，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角等等：（1）解得到，則，同理可得，由此即可證明；（2）過點(diǎn)A作于D，解得到，解，得到，則，即可證明，同理可證明，則；（3）利用正弦定理得到，，則；如圖所示，分別過點(diǎn)B和點(diǎn)D作的垂線，垂足分別為E、F，解得到，則，則，解得到，則，設(shè)，解得到，解得到，則，可得，則．【詳解】（1）證明：如圖，作的外接圓，O為圓心．連接并延長交圓于D，設(shè)根據(jù)直徑所對圓周角是直角及同弧所對圓周角相等，可得：，在中，，∴，∴，同理可得，∴；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)A作于D，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，同理可證明，∴；（3）解：∵，，∴，∴，如圖所示，分別過點(diǎn)B和點(diǎn)D作的垂線，垂足分別為E、F，在中，，∴，∴，在中，，∴，∵平分，∴，設(shè)，在中，，在中，，∴，解得，∴，∴．例2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）【材料閱讀】如圖1，在△ABC中，設(shè)的對邊分別為a，b，c，過點(diǎn)A作，垂足為D，會有，則=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通過推理還可以得到另一個表達(dá)三角形邊角關(guān)系的定理-余弦定理如圖2，在中，設(shè)的對邊分別為a，b，c，則①②③用以上的公式和定理解決問題：【簡單應(yīng)用】（1）在銳角中，設(shè)的對邊分別為a，b，c，且，求；（2）如圖3，在中，，，求的面積與周長．【靈活應(yīng)用】（3）如圖4，在中，角所對的邊分別為，已知，的面積為，設(shè)為的中點(diǎn)，且，求的周長．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】（1）；（2）的面積為，周長為18；（3）【分析】本題考查三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題中新定義并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）利用題意正弦定理得到，進(jìn)而得到，利用特殊角的三角函數(shù)值可求解；（2）根據(jù)題中面積公式和余弦定理求解即可；（3）延長，使得，連接，證明得到，，則，進(jìn)而得到，，利用題中正弦定理和余弦定理求得，，，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，即，∴；（2）∵在中，，，∴，，∴（負(fù)值舍去），∴周長；（3）∵在中，，的面積為，∴，則，延長，使得，連接，

∵為的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，，∴，則，在中，，，∴，則，∴在中，，∴（負(fù)值舍去），∵,∴（負(fù)值舍去），∴的周長為．例3．（2024·山東·?？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯畣栴}應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．【答案】，見解析；，見解析；一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；；【分析】探究二：如圖2中，作于．求出高，即可解決問題；探究三：如圖3中，作于．求出高，即可解決問題；問題解決：（）是a、b兩邊的夾角）；問題應(yīng)用：如圖4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解決問題；問題拓廣：如圖5，連接，由探究三的結(jié)論可得出答案．【詳解】解：探究二：如圖2中，作于．，，，，在中，，，，．探究三：如圖3中，作于．在中，，．問題解決：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．故答案為：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．問題應(yīng)用：如圖4中，作于．在中，，．問題拓廣：連接，由探究三的結(jié)論可得：．．．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．例4．（2024·重慶·九年級校考開學(xué)考試）設(shè)一個三角形的三邊長分別為，，，，則有下面的面積公式（海倫公式）（秦九韶公式）若一個三角形的三邊長依次為5，6，7，則這個三角形的面積為（可以直接利用上面的面積公式）【答案】【分析】利用兩個公式分別代入即可．【詳解】解：，由海倫公式可得；由秦九昭公式可得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（2024·重慶·?？家荒＃╆P(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如：根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面實(shí)際問題：如圖所示，直升機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角為，底端C點(diǎn)的俯角為，此時直長機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42米，求建筑物CD的高．【答案】84米【詳解】試題分析：過點(diǎn)D作于E，在Rt△ADE中，利用tan60°可求出AE的長，在Rt△ABC中，DACB=75°，利用tan75°可求出AB的長，然后計(jì)算CD=BE=AB-AE即可得出結(jié)論．試題解析：過點(diǎn)D作于E，依題意，在中，，在(米)．答：建筑物CD的高為84米．例6．（2024·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數(shù)，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．【答案】(1)(2)能，過程見解析【分析】(1)過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得；(2)過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，（2）解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．例7．（23-24九年級上·江西撫州·階段練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識，知道銳角三角函數(shù)定量地描述了在直角三角形中邊角之間的聯(lián)系．在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長的比與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．如圖1，在中，．若，則．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對．如圖2，在中，，頂角的正對記作，這時，．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對的定義，解答下列問題：圖1

圖2

備用圖(1)直接寫出的值為___________；(2)若，則的正對值的取值范圍是__________；(3)如圖2，已知，其中為銳角，求的值；【答案】(1)1(2)(3)【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了新定義、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，理解新定義是解此題的關(guān)鍵．（1）先求出底角度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對定義解答即可；（2）求出0度和120度時等腰三角形底和腰的比即可；（3）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，則可設(shè)，則．由勾股定理得，則，．在等腰中，．【詳解】（1）解：根據(jù)正對定義可得：當(dāng)頂角為時，等腰三角形底角為，∴此時該三角形為等邊三角形，底邊腰長，故答案為：1；（2）解：當(dāng)接近時，底邊長接近0，由定義知接近0，當(dāng)接近時，等腰三角形的底接近腰的倍，由定義知接近，的正對值的取值范圍是，故答案為：；（3）解：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．．圖2在中，，設(shè)，則．．，．在中，利用勾股定理得，．在等腰中，．例8．（23-24九年級下·四川達(dá)州·期中）在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，．(1)如圖③，若，則__，_____；．(2)請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式．（用含的式子表示）【答案】(1)；；(2)【分析】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線作所求角的直角三角形．（1）根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得和，再根據(jù)求解即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）由勾股定理可得：由三角函數(shù)的定義可得，由材料可得：故答案為；；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：則，，，在中，，在中，，在中，，則則故答案為．例9．（23-24九年級上·江蘇無錫·期中）閱讀下面材料，完成后面題目．0°-360°間的角的三角函數(shù)在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形ABC，∠A是銳角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸ox，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)（0，0）的距離為r=（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題．（1）若90°＜α＜180°，則角α的三角函數(shù)值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪幾個？（2）若角α的終邊與直線y=2x重合，求sinα+cosα的值．（3）若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)P（x，），且cosα=x，求tanα的值．（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范圍．【答案】（1）sinα；（2）或；（3）；（4）1≤sinα+cosα≤．【分析】（1）由點(diǎn)P（x，y）在第二象限，推出x＜0，y＞0，根據(jù)sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判斷；（2）分兩種情形討論即可解決問題；（3）如圖2中，作PE⊥x軸于E．想辦法求出OE的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題；（4）當(dāng)α=0°或90°時，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，當(dāng)α=45°時，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，由此即可解決問題.【詳解】（1）∵點(diǎn)P（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，∴取取正值的是sinα．（2）如圖1中，①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，作PE⊥x軸于E．設(shè)OE=a，則PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，作PE⊥x軸于E．設(shè)OE=a，則PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．綜上所述，sinα+cosα=或．（3）如圖2中，作PE⊥x軸于E．由題意PE=，cosα=，∴OP=2，∴OE=，∴tanα=．（4）當(dāng)α=0°或90°時，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，當(dāng)α=45°時，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，∴1≤sinα+cosα≤．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角函數(shù)的定義、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．1．（2023·北京市·九年級校考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；②tan105°=tan（60°+45°）====-2-，故此選項(xiàng)正確；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此選項(xiàng)正確；故正確的有4個．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．2．（2020·四川廣元·中考真題）規(guī)定：給出以下四個結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．【詳解】解：（1），故此結(jié)論正確；（2），故此結(jié)論正確；（3）故此結(jié)論正確；（4）==，故此結(jié)論錯誤.故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，理解題中公式.3．（23-24九年級下·湖北·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列說法正確的有(

)①sinA＞cosA②sin2A＋cos2A＝1③tanA·tanB＝1④tanA＝A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【詳解】∵∠C=90°，∴，已知中不知BC與AC在大小關(guān)系，故①錯誤；，故②正確；，故③正確；，故④正確，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系等，解題關(guān)鍵是熟記各三角函數(shù)概念.4．（2023春·廣東深圳·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）數(shù)學(xué)中余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為、、，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍，用公式可描述為：，，．在中，，，，則的值是（

）A．5 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題目中給出的信息列式解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴或（舍去），故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練進(jìn)行計(jì)算．5．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎切蔚娜呴L分別為a、b、c，求其面積問題．中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個三角形的三邊長分別為5，6，7的面積，從而可以解答本題．【詳解】∵S=∴若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則面積是：S=，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡.6．（23-24八年級下·北京海淀·期末）已知0，則的值為．【答案】1【分析】由分式為0的條件，推導(dǎo)出且，求得．對進(jìn)行化簡，得，將代入其中，得，進(jìn)而求出．【詳解】解：，且．且．且．且．．，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式為0的條件、三角函數(shù)的定義以及以及三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握分式為0的條件、三角函數(shù)的定義以及以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（23-24九年級上·河南周口·期末）若規(guī)定，則【答案】【分析】本題考查了特殊角的正弦、余弦值，熟記特殊角的正弦和余弦值是解題關(guān)鍵．根據(jù)，利用公式計(jì)算即可得．【詳解】解：．故答案為：．8．（24-25九年級上·湖南岳陽·階段練習(xí)）若定義等腰三角形底邊與底邊上高的比值為等腰三角形頂角的值，即，若等腰，，且，則．【答案】/【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作于，設(shè)，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得，即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于，，設(shè)，則，，，，根據(jù)勾股定理得，，．故答案為：．9．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）閱讀下面材料，，則，則，已知為銳角且，則．【答案】【分析】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，利用關(guān)系式，結(jié)合已知條件且，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，猜想：對任意銳角，都有．證明過程如下：如圖，在中，過點(diǎn)作于，則，，，，，，，又，為銳角，，．故答案為：．10．（2023·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．【答案】1111【詳解】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：對任意銳角，都有故答案為：1；1；1；111．（23-24九年級上·江蘇南京·期末）某校數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值，經(jīng)過自主思考、合作交流討論，得到以下思路：思路一如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB至點(diǎn)D，使BD＝BA，連接AD．……思路二如圖2，在頂角為30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠BCD＝15°……思路三利用科普書上的有關(guān)公式：tan（α＋β）＝；tan（α―β）＝；…請解決下列問題（上述思路僅供參考）．（1）選擇你喜歡的一種思路，完成解答過程，求出tan15°的值（保留根號）；（2）試?yán)猛瑯拥姆椒?，?jì)算tan22.5°的值（保留根號）．【答案】（1）2－；（2）－1【分析】(1)選擇思路2，因?yàn)锳B＝AC，∠A＝30°，CD⊥AB，可得CD＝AC，設(shè)CD＝AC＝x，根據(jù)勾股定理可得AD＝3x，所以BD＝AB－AD＝2x－3x＝（2－3）x，從而求解.（2）可設(shè)∠ABC=45°，因?yàn)锳B＝BD，可得∠D=22，5°，設(shè)AB＝BD=2．然后求出的值即可.【詳解】（1）思路2:

解：由已知AB＝AC，∵∠A＝30°，CD⊥AB，∴CD＝AC＝x，∠BCD=90°-（180°-30°）=15°，則AD2＝AC2－CD2＝（2x）2－x2＝3x2，∴AD＝3x，∴BD＝AB－AD＝2x－3x＝（2－3）x，∴tan∠BCD=tan15°＝＝＝2-3．

（其它思路同樣可以）（2）在圖1中，，設(shè)∠ABC＝45°，AB＝BD＝2，∴∠D＝∠ABC＝22.5°，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝1，∴CD＝1＋2，∴tan∠D=tan22.5°＝＝2－1．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和求三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，尤其是構(gòu)造出15°角和22,5°角的方法.12．（2023·寧夏·校考三模）閱讀下列材料，并解答后面的問題．在學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角關(guān)系后，小穎和小明兩個學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關(guān)系：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．（1）小明學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：如圖1，過A作AD⊥BC于D，則sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，則有（2）小穎學(xué)習(xí)小組則利用圓的有關(guān)性質(zhì)也得到了類似的結(jié)論：

如圖2，△ABC的外接圓半徑為R，連結(jié)CO并延長交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)DB，則∠D=∠A，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，∵，∴，同理：，則有請你將這一結(jié)論用文字語言描述出來:．小穎學(xué)習(xí)小組在證明過程中略去了“”的證明過程，請你把“”的證明過程補(bǔ)寫出來．（3）直接用前面閱讀材料中得出的結(jié)論解決問題：規(guī)劃局為了方便居民，計(jì)劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一座學(xué)校，使它到三個住宅小區(qū)的距離相等，已知小區(qū)C在小區(qū)B的正東方向千米處，小區(qū)A在小區(qū)B的東北方向，且A與C之間相距千米，求學(xué)校到三個小區(qū)的距離及小區(qū)A在小區(qū)C的什么方向？【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；（3）學(xué)校到三個小區(qū)的距離為1千米，小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．【分析】（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；（2）由結(jié)論可總結(jié)為：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑，據(jù)此解答即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形如圖，則∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設(shè)學(xué)校的位置為點(diǎn)O，則OA=OB=OC=R，由閱讀材料的結(jié)論可得：，由此即可求出∠BAC的度數(shù)和R的值，進(jìn)而可求出∠ACB的度數(shù)，即得∠ACN的度數(shù)，問題即得解決．【詳解】解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；故答案為：csinB，bsinC；（2）由這一結(jié)論用文字語言描述出來是：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑．故答案為：在任意一個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；（3）如圖，由題意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設(shè)學(xué)校的位置為點(diǎn)O，則OA=OB=OC=R，由閱讀材料的結(jié)論可得：，即，解得：，千米，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，∴∠ACN=15°，即小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．答：學(xué)校到三個小區(qū)的距離為1千米，小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．【點(diǎn)睛】本題以閱讀理解題的形式考查了解直角三角形、圓周角定理等知識，正確理解題意、熟練應(yīng)用閱讀材料提供的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，又，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．14．（23-24九年級上·山東聊城·期中）如圖，在中，是銳角，，，面積為．(1)求證：(2)若，，，請求出三角形的面積(3)若，，，請求出的值【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)，在中，，即，繼而根據(jù)三角形的面積公式即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)，在中，，即．∴（2）解：，（3）解：，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵．15．（23-24九年級上·安徽·階段練習(xí)）（1）如圖，中，，，平分交于點(diǎn)．利用這個圖形可以求的值（結(jié)果保留根號）．小明是這樣做的：“過點(diǎn)作于，令，……”請按照小明的思路，幫助小明寫出完整的解答過程；（2）我們規(guī)定：對于銳角，．請根據(jù)上述規(guī)定求的值，驗(yàn)證（1）中結(jié)論的正確性．【答案】（1）；（2）（1）中計(jì)算結(jié)果正確，驗(yàn)證見解析【分析】（1）通過，可得到△BDE為等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE，從而求出BD，BC的長度，進(jìn)而結(jié)合角平分線的定義求解即可；（2）根據(jù)題意利用公式計(jì)算當(dāng)時的結(jié)果，與（1）中的結(jié)果對比即可．【詳解】（1）∵，∠B=45°，∴△BDE為等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE=1，∴，∴BC=AC=BD+CD=，又∵∠BAC=45°，AD平分線∠BAC，∴∠DAC=22.5°，∴在Rt△ADC中，，∴；（2）∵，∴根據(jù)題意有：，，∴（1）中計(jì)算結(jié)果正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解非特殊角的正切值，仔細(xì)審題，理解并運(yùn)用題中描述的方法是解題關(guān)鍵．16．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）1.某數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值，經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設(shè)α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．請解決下列問題（上述思路僅供參考）．(1)類比：求出tan75°的值；(2)應(yīng)用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測得A，C兩點(diǎn)間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目思路，將構(gòu)造15°的過程轉(zhuǎn)化為75°，并可求解；（2）計(jì)算出∠DAB=75°，利用tan75°求解．【詳解】（1）解：方法一：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．方法二：根據(jù)tan（α±β）=．假設(shè)α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．（2）解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，∴；∴∠CAB=30°∵∠CAD=45°∴∠DAB=75°在Rt△ABD中，∴∴∴CD的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的計(jì)算，通過閱讀，類比計(jì)算是解題關(guān)鍵．17．（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）新版北師八年級（上）數(shù)學(xué)教材頁第題指出：設(shè)一個三角形的三邊長分別為，則有下列面積公式：（海倫公式）若有一個三角形邊長依次為，求這個三角形的面積；八年級的學(xué)生小明發(fā)現(xiàn)利用海倫公式很快就可以求出這個三角形的面積．(1)以下是他的部分求解過程，請你把它補(bǔ)充完整．解：∵一個三角形邊長依次為，即，∴____________．根據(jù)海倫公式可得：(2)小明是個愛動腦筋的學(xué)生，他想，能不能不用公式也可以求解此題呢，首先，他想到，要求面積，若令底為，必須要求高，因此他作了下圖，并且作了高，但接下去該怎么做，他就沒有思路了，聰明的你能幫助小明解決這個問題嗎？

【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)可得的值，最后利用海倫公式即可解答；（2）根據(jù)三角形的高線可知。設(shè)，利用勾股定理列方程即可解答．【詳解】（1）解：∵一個三角形邊長依次為，即，∴，根據(jù)海倫公式可得：，故答案為，；（2）解：∵是的高線，∴，∵，∴設(shè)，則,∵，，∴∴，∴x=1，即，∴在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的高線，海倫公式，讀懂題意理解海倫公式是解題的關(guān)鍵．18．（23-24九年級上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)《銳角三角函數(shù)》一章時，小明同學(xué)對一個角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進(jìn)行了一些研究．(1)初步嘗試：我們知道：，，

發(fā)現(xiàn)結(jié)論：（填“＝”或“”）；(2)實(shí)踐探究：如圖1，在中，，，，求的值；小明想構(gòu)造包含的直角三角形：延長至D，使得，連接，所以得到，即轉(zhuǎn)化為求的正切值．請按小明的思路進(jìn)行余下的求解，解出的正切值．（有必要解題過程）(3)拓展延伸：如圖2，在中，，，．求出的值．【答案】(1)，，；(2)(3)【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度較大，在直角三角形中作輔助線構(gòu)造是解決本題的關(guān)鍵.（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求，得結(jié)論；（3）作的垂直平分線交于E，連接，則，在中，利用勾股定理求出，可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：；（2）在中，，，，∴，如圖1，延長至D，使得，∴，∴，∴，，∴；（3）作的垂直平分線交于E，連接．∴，∴，∴，∵中，，，∴，設(shè)，則在中，，解得，即，，∴．19．（2024·山東濟(jì)寧·?？级＃┰谥校?，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，利用銳角三角函數(shù)定義很容易推導(dǎo)出一些關(guān)系式，如，等，這些公式在三角函數(shù)式子的變形中運(yùn)用比較廣泛．設(shè)，是銳角，定義：當(dāng)時，兩角和的余弦公式：．例：計(jì)算的值．，兩角差的余弦公