專題23 全等與相似模型之十字架模型解讀與提分精練（全國）

專題23全等與相似模型之十字架模型幾何學是數(shù)學的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質(zhì)和變換。在初中幾何學中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關的考點作梳理，幫助學生更好地理解和掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.正方形中的十字架模型（全等模型） 1模型2.矩形中的十字架模型（相似模型） 6模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型） 8模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型） 9 10模型1.正方形中的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中構(gòu)成了一個互相重直的“十字形”，由此產(chǎn)生了兩組相等的銳角及一組全等的三角形。條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF；結(jié)論：AE=BF。證明：四邊形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE⊥GF；結(jié)論：AE=GF。證明：在FC上取一點P，使得GB=PF，連結(jié)BP。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中證明，可得AE=GF。條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點，EH⊥GF；結(jié)論：HE=GF。證明：在FC、BE上取一點P、Q，使得GB=PF，AH=QE，連結(jié)BP、AQ。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同理可證得：四邊形是平行四邊形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中證明，可得HE=GF。例1．（2023.江蘇吳江九年級期中）如下圖，將邊長為9cm的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊CD上的E點，折痕為MN．若CE的長為6cm，則MN的長為cm．例2．（2023年遼寧省丹東市中考數(shù)學真題）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．例3．（2024·廣東梅州·一模）如圖，E、F分別是正方形的邊，上的點，且，，相交于點，下列結(jié)論：①；②；③；④中，正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例4．（23-24江蘇九年級期中）蘇科版八下數(shù)學教材中，對正方形的性質(zhì)和判定進行了探究，同時課本94頁第19題對正方形中特殊線段的位置和數(shù)量關系也進行了探究，在此，我們也來作進一步的探究，如圖1，探究所提供的正方形的邊長都為2．【探究】(1)如圖2，在正方形中，如果點E、F分別在、上，且，垂足為M，那么與相等嗎？證明你的結(jié)論．【應用】(2)如圖3，在正方形中，動點E、F分別在邊、上，將正方形沿直線折疊，使點B對應的點M始終落在邊上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，與交于點P，設，求線段的長（用含t的式子表示）．【拓展】(3)如圖4，在正方形中，E是的中點，F(xiàn)、G分別是、上的動點，且，求的最小值．模型2.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關系。1）條件：如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點，且DE⊥AC，結(jié)論：.證明：四邊形為矩形，，；DE⊥AC，，，，，.2）條件：如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點，且EF⊥AC，結(jié)論：.證明：如圖，過點F作于點G，則；四邊形為矩形，，四邊形為矩形，；；EF⊥AC，，；，，，易證：DC=AB，F(xiàn)G=BC，.3）條件：如圖3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點，EF⊥MN，結(jié)論：.證明：如圖：過點N、F作、垂直，；四邊形為矩形，，四邊形為矩形，；∵EF⊥MN，，∴；又∵（對頂角相等），∴；∴，，易證：NH=AB，F(xiàn)G=BC，.例1．（2024·山西大同·模擬預測）矩形中，E為AD邊上一點，且，．將沿翻折到處，延長交邊于G點，延長交CD邊于點H，且，則線段的長為．例2．（22-23下·衢州·二模）在矩形中，E是邊的中點，連接，過點B作于點F，射線與直線交于點P，設．(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，當點P恰好與點D重合時，試確定m的值；(3)作點B關于直線的對稱點，當以點P，D，為頂點的三角形是等腰三角形時，求的值．例3．（2023年河南九年級中考三模數(shù)學試題）綜合與實踐【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，在正方形中，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，且于點O．試猜想線段與的數(shù)量關系為__________；【類比探究】(2)如圖2，在矩形中，，，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊，，，上，連接，，且，垂足為O．試寫出線段與的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展應用】(3)如圖3，在四邊形中，，，點M，N分別在邊，上，連接，，且，垂足為O．已知，，若點M為的三等分點，直接寫出線段的長．模型3.等邊三角形中的斜十字模型（相似模型）條件：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），結(jié)論：①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。證明：如圖，在等邊中，，，在與中，，，∴AD=BE，；，∴AD和BE夾角為60°；，，，同理：，例1．（23·24下·淄博·一模）如圖，等邊，點E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，，連接AF，BE，相交于點P．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．例2．（23·24·南通·模擬預測）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點，且，延長，，分別交，于點D，E．若，，則的周長等于．

例3．（23·24下·吉安·模擬預測）課本再現(xiàn)：(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點，且．求證：．下面是小涵同學的證明過程：證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同學認為此題還可以得到另一個結(jié)論：的度數(shù)是；遷移應用：(2)如圖2，將圖1中的延長至點G，使，連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問題．①求證：；②若，求證：；拓展提升：(3)在等邊中，若點D，E分別在射線上，連接交于點F，且，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到，且使得．直線與直線交于點P，若，則的值為

模型4.直角三角形中的十字模型（相似模型）該模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形兩類情況討論。1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：條件：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，結(jié)論：①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。證明：不妨把①②作為條件，來證明③--⑦的五個結(jié)論。如圖1，過點C作BC的垂線交BF于點H，過點A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90°∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB，∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D為BC中點，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH，易證：四邊形ABCG為正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD，∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，如圖2，過點C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴，∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易證：，∴EA：QC=AF：CF=2：1?！郃E=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC為等腰直角三角形，∴∠QEC=45°，∴∠AEC=135°，。2）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。（全等+相似）證明：不妨把①②作為條件，來證明③--⑦的五個結(jié)論。由于該模型證明主要結(jié)合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再詳細證明，有興趣的同學可以自行證明即可。例1．（23·24上·深圳·期中）如圖，在中，，，點D為邊上的中點，連接，過點B作于點E，延長交于點F．則的長為．例2．（23·24下·滄州·二模）如圖，在中，，，點D是線段上的一點，連接，過點B作，分別交、于點E、F，與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．若點D是AB的中點，則C．當B、C、F、D四點在同一個圓上時，D．若，則例3．（23·24下·三明·期末）如圖①，在中，，，點D在邊上，過點C作，垂足為M，交于點E．

(1)小亮通過探究發(fā)現(xiàn)，請你幫他說明理由；(2)如圖②，平分交于點N，小明通過度量猜想有，他的猜想正確嗎？請你幫他說明理由；(3)如圖③，連接，若D是的中點，小剛通過探究得到結(jié)論，請你幫他說明理由．1．（23-24江蘇八年級期末）如圖，將邊長為3的正方形ABCD紙片沿EF折疊，點C落在AB邊上的點G處，點D與點H重合，CG與EF交于點P，取GH的中點Q，連接PQ，則GPQ的周長最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023安徽省蕪湖市九年級期中）如圖，正方形中，點E、F、H分別是的中點，交于G，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23·24下·貴港·一模）如圖，在等邊的，邊上各任取一點，，且，，相交于點，下列三個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6PO；②若，，則，③，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（23·24·德州·二模）如圖，正方形ABCD中，點E為BC邊上的一點，連接AE，過點D作DM⊥AE，垂足為點M，交AB于點F．將△AMF沿AB翻折得到△ANF．延長DM，AN交于點P．給出以下結(jié)論①；②；③；④若，則；．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④5．（23·24下·江門·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點D是線段BC上的一點，連接AD，過點C作CG⊥AD，分別交AD、AB于點G、E，與過點B且垂直于BC的直線相交于點F，點D是BC的中點，連接DE．則=；6．（23·24下·山西·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE是BC邊上的中線，過點B作AE的垂線BD，垂足為H，交AC于點D，則AD的長為．7．（23-24九年級上·遼寧鞍山·期中）如圖，在中，，，點D為邊上一動點（不與點B、C重合），垂直交于點E，垂足為點H，連接并延長交于點F，下面結(jié)論：①若是邊上的中線，則；②若平分，則；③若，則；④當時，．正確的有（填序號）．

8．（23·24上·珠?！て谥校┰谥?，，，D為中點，連接，過點C作于點E，交于點M．過點B作交的延長線于點F，則下列結(jié)論正確的有（請?zhí)钚蛱枺?；②；③連接，則有是等邊三角形；④連接，則有垂直平分．

9．（23·24上·無錫·期末）如圖，在邊長為3的等邊中，D、E分別為邊上的點，與相交于點P，．若，則．10．（2024·江蘇泰州·模擬預測）如圖所示，在矩形中，F(xiàn)是上一點，平分交于點E，且，垂足為點M，，，則的長是11．（2023·北京海淀·一模）如圖，正方形中，點分別在上，交于點；(1)_______．(2)在線段上截取，連接的角平分線交于點．①依題意補全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．12．（2024·河南·一模）綜合與實踐數(shù)學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在正方形中，已知，求證：．甲小組同學的證明思路如下：由同角的余角相等可得．再由，，證得（依據(jù)：________），從而得．乙小組的同學猜想，其他條件不變，若已知，同樣可證得，證明思路如下：由，可證得，可得，再根據(jù)角的等量代換即可證得．完成任務：（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“”或“”或“”或“”）【發(fā)現(xiàn)問題】同學們通過交流后發(fā)現(xiàn)，已知可證得，已知同樣可證得，為了驗證這個結(jié)論是否具有一般性，又進行了如下探究．【遷移探究】（2）在正方形中，點E在上，點M，N分別在上，連接交于點P．甲小組同學根據(jù)畫出圖形如圖2所示，乙小組同學根據(jù)畫出圖形如圖3所示．甲小組同學發(fā)現(xiàn)已知仍能證明，乙小組同學發(fā)現(xiàn)已知無法證明一定成立．

①在圖2中，已知，求證：；②在圖3中，若，則的度數(shù)為多少?【拓展應用】（3）如圖4，在正方形中，，點E在邊上，點M在邊上，且，點F，N分別在直線上，若，當直線與直線所夾較小角的度數(shù)為時，請直接寫出的長．13．（23-24八年級上·湖北宜昌·期中）請閱讀，完成證明和填空．九年級數(shù)學興趣小組在學校的“數(shù)學長廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：(1)如圖1，正三角形中，在、邊上分別取點、，使，連結(jié)、，發(fā)現(xiàn)，且.請證明：.(2)如圖2，正方形中，在、邊上分別取點、，使，連結(jié)、，那么______，且______度．(3)如圖3，正五邊形中，在、邊上分別取點、，使，連結(jié)、，那么______，且______度．(4)在正n邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結(jié)論．請大膽猜測，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：________________________________．14．（23-24八年級下·江西宜春·期中）[特例感知]如圖1，在正方形中，點E，F(xiàn)分別為，的中點，、交于點G．（1）易證，可知、的關系為___________；（2）連接，若，求的長．[初步探究]如圖2，在正方形中，點E為邊上一點，分別交、于F、G，垂足為O．求證：．[基本應用]如圖3，將邊長為6的正方形折疊，使得點A落在邊的中點M處，折痕為，點P、Q分別在邊、上，請直接寫出折痕的長：________．[應用拓展]如圖4，在四邊形中，，，，，于E，交于F，則長為________．15．（23·24下·成都市·九年級期中）已知四邊形中，、分別是、邊上的點，與交于點．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且，求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形，試探究：當與滿足什么關系時，成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若，，，，請直接寫出的值．