專題33 最值模型之胡不歸模型解讀與提分精練（全國）

專題33最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，近年在中考數(shù)學和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.胡不歸模型（最值模型） 1 13模型1.胡不歸模型（最值模型）從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】垂線段最短。例1.（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習）如圖，在中，，，P為邊上的一個動點（不與A、C重合），連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．8例2．（23-24九年級上·湖南婁底·階段練習）如圖，在矩形中，，E，P分別是邊和對角線上的動點，連接，記，若，則的最小值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．例3．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點，，，是對角線上的動點，則的最小值為．例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長為4，點E是邊上一點，且．P是對角線上一動點，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．例5．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，是的直徑，切于點交的延長線于點．設點是弦上任意一點（不含端點），若，，則的最小值為（）

A． B． C． D．例7．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是．

例8．（2024·山東濟南·一模）實踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，則所在直線較小夾角的度數(shù)為______．【探究實踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動點，為邊上的動點，，連接，作于點，連接．當?shù)拈L度最小時，求的長．【拓展應用】（3）如圖4，，，，，為中點，連接，分別為線段上的動點，且，請直接寫出的最小值．例9．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，連接．(1)直接寫出點B、C的坐標，B________；C________．(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點，連接、．若的面積，求點P的坐標．(3)設E為線段上任意一點（不含端點），連接，一動點M從點A出發(fā)，沿線段以每秒1個單位速度運動到E點，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到C后停止，求點M運動時間的最小值．

1．（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點C的坐標是，點是x軸上的動點，點B在x軸上移動時，始終保持是等邊三角形（點P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．22．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．若P為y軸上一個動點，連接，則的最小值為（）A． B．2 C．2 D．43.（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，，，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為．4．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為．

5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是．6．（2022·湖北武漢·九年級期末）如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

8．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．9．（2023上·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在邊上，且，沿直線翻折，點A的對應點恰好落在對角線上，點B的對應點為，點M為線段上一動點，則的最小值為．10．（2023·浙江寧波·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．11．（2023·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是上一個動點，連接，過點C作的垂線l，過點D作交l于點F，過點D作于點G，，點H是中點，連接，則的最小值為．12．（2023春·廣東廣州·九年級校考階段練習）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為，為上一動點，則的最小值等于______．13．（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在中，，，，點是斜邊上的動點，則的最小值為.

14．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖，在中，，，，點D是邊上的動點，連接，則的最小值為．15．（2024·天津紅橋·二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形的頂點A在格點上，，以為直徑的半圓與邊的交點D在網(wǎng)格線上．（1）的值等于；（2）若P為邊上的動點，當．取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）．16．（23-24八年級下·四川綿陽·階段練習）如圖，直線分別交軸，軸于點，點，點在軸正半軸上，且，點在直線上，點是軸上的一個動點，設點P橫坐標為t．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)連接，，若面積等于面積的，求t的值；(3)求的最小值．17．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)當時，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．18．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以OC、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與矩形的兩邊交于點E和點F，直線l：y=kx+b經(jīng)過點E和點F．（1）寫出中點D的坐標，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點B的對應點H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM