專(zhuān)題17 全等三角形模型之奔馳模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專(zhuān)題17全等三角形模型之奔馳模型對(duì)于奔馳模型我們主要是可以通過(guò)一些幾何變化，把其中的線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，以達(dá)到聚合條件，推出我們想要的結(jié)論的目的。對(duì)于幾何變化，目前學(xué)過(guò)的主要有：軸對(duì)稱(chēng)，平移，旋轉(zhuǎn)，位似等。對(duì)于“奔馳模型”我們主要采用旋轉(zhuǎn)的方法進(jìn)行變換。對(duì)于旋轉(zhuǎn)處理，我們主要分為：旋轉(zhuǎn)全等，旋轉(zhuǎn)相似。

今天的這主要講“奔馳模型”之旋轉(zhuǎn)全等類(lèi)型。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)） 2模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)） 4模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型） 6 9模型1.奔馳模型1（點(diǎn)在等邊三角形內(nèi)）此模型通常會(huì)和旋轉(zhuǎn)一起來(lái)考查，還會(huì)綜合勾股定理的知識(shí)來(lái)解題。為什么和旋轉(zhuǎn)-起考查，因?yàn)樾D(zhuǎn)的特征是:共頂點(diǎn)等線(xiàn)段。等邊三角形，三邊相等，每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都有兩個(gè)相等線(xiàn)段，都符合共頂點(diǎn)等線(xiàn)段。等邊三角形三個(gè)頂點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心(如上圖的旋轉(zhuǎn))。條件：如圖，已知正三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足（?？紨?shù)據(jù)：BP=3，AP=4，CP=5），結(jié)論：∠APB=150°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）常用結(jié)論等邊三角形的面積公式：（選填題非常適用）證明：以AP為邊向左側(cè)作等邊三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。注意：多線(xiàn)段共端點(diǎn)?？夹D(zhuǎn)。例1．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為．

例2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．例3.（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連接．若，，則的長(zhǎng)是．例4．（2024·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．例5．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線(xiàn)段BO以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，下列結(jié)論，①可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；②點(diǎn)與的距離為5；③；④四邊形面積；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤模型2.奔馳模型2（點(diǎn)在等腰直角三角形內(nèi)）條件：如圖，已知等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足，結(jié)論：∠CPB=135°。（注意該模型條件結(jié)論互換后依舊可以證明）證明：以AP為邊向左側(cè)作等腰直角三角形APP’，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°；∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C；∵，∴，∴∠PP’C=90°，∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。例1．（23-24九年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖，等腰直角，點(diǎn)P在內(nèi)，，，則PB的長(zhǎng)為（）A． B． C．5 D．5例2．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形外取一點(diǎn)E，連接，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)P，若，則下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離為；④其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2023年湖北省武漢市中考一模）如圖，中，，，．點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，則的面積是．

例4．（2024·河北·?？家荒＃┤鐖D1，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．【分析問(wèn)題】根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到了（如圖2），然后連結(jié)PP'．【解決問(wèn)題】請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出圖2中的度數(shù)；【比類(lèi)問(wèn)題】如圖3，若在正六邊形內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，．（1）的度數(shù)為；（2）直接寫(xiě)出正六邊形的邊長(zhǎng)為．模型3.奔馳模型3（點(diǎn)在三角形外-雞爪模型）模型1）條件：如圖1，點(diǎn)P在等邊三角形ABC外，若，結(jié)論：∠CPA=30°。模型2）條件：如圖2，點(diǎn)P在等腰直角三角形ABC外，若，結(jié)論：∠APC=45°。（注意：上述兩個(gè)模型結(jié)論和條件互換也成立）圖1圖2雞爪就是模型本質(zhì)就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造“手拉手”，構(gòu)造出全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理，非常有意思。連完輔助線(xiàn)往往會(huì)產(chǎn)生新的直角三角形、等邊三角形等。模型1）證明：以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形ADP，連接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都為等邊三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。模型2）證明：以AP為邊向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，連接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都為等腰直角三角形；∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°；∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD；∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。例1．（2024九年級(jí)上·重慶·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是等邊三角形外一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．例2．（2023·廣西賀州·二模）如圖，點(diǎn)P為等邊三角形外一點(diǎn)，連接，，若，，，則的長(zhǎng)是．

例3．（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例4．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求CD的長(zhǎng)．”經(jīng)過(guò)小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接DE．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．D為外一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于D，M為AD上一點(diǎn)，連接BM，N為BM上一點(diǎn)，若，，，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)______．

1．（2024九年級(jí)·重慶·期中）如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，使得，那么以，，的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為．2．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．解：如圖①，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，．，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，即．請(qǐng)你補(bǔ)充完整解答過(guò)程．【應(yīng)用問(wèn)題】如圖②，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，若，，，則．【拓展問(wèn)題】如圖③，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)，在直線(xiàn)上方（包括直線(xiàn)）有一點(diǎn)，，，連接，則線(xiàn)段的最大值為．3．（23-24九年級(jí)上·山西呂梁·期末）閱讀下面材料：張明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，求的度數(shù)．張明同學(xué)是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造，連接，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決．(1)請(qǐng)你計(jì)算圖1中的度數(shù)；(2)參考張明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，求的度數(shù)．4．（23-24九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）（1）已知如圖1，在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在外部，滿(mǎn)足，且．求證：．（2）已知如圖2，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，，求的度數(shù)．

5．（2023·四川綿陽(yáng)·一模）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，(1)若點(diǎn)在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)在正方形外，如果，如圖2，且，求的長(zhǎng)．（用表示）6．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）閱讀材料題：浙教版九上作業(yè)本①第18頁(yè)有這樣一個(gè)題目：已知，如圖一，P是正方形ABDC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的長(zhǎng).小明看到題目后，思考了許久，仍沒(méi)有思路，就去問(wèn)數(shù)學(xué)老師，老師給出的提示是：將△PAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本題.請(qǐng)根據(jù)數(shù)學(xué)老師的提示幫小明求出圖一中線(xiàn)段PB的長(zhǎng)為.【方法遷移】：已知：如圖二，△ABC為正三角形，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若PC=1，PA=2，PB=,求∠APB的大小.【能力拓展】：已知：如圖三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底邊AB上兩點(diǎn)且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的長(zhǎng).7．（2024·河南·校考一模）（1）閱讀理解:利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一種常用的方法．如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，求的度數(shù)．為利用已知條件，不妨把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)______；在中，易證，且的度數(shù)為_(kāi)____，綜上可得的度數(shù)為_(kāi)_；（2）類(lèi)比遷移:如圖，點(diǎn)是等腰內(nèi)的一點(diǎn)，．求的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用:如圖，在四邊形中，，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．6．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來(lái)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝AP，△CPP'是三角形，AP，BP，CP三條線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請(qǐng)借助第一問(wèn)的方法探究AP、BP、CP三條線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請(qǐng)直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)．7．（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）（問(wèn)題提出）如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．（數(shù)學(xué)思考）當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來(lái)解決問(wèn)題．【嘗試解決】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．，又，，，為三角形，的度數(shù)為．【類(lèi)比探究】如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，，，求的度數(shù)．【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，，，求的度數(shù)．

8．（23-24九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，若把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長(zhǎng)．(3)求點(diǎn)劃過(guò)的路徑長(zhǎng)；(4)當(dāng)時(shí)，如果是由旋轉(zhuǎn)所得，求掃過(guò)的區(qū)域的面積．9．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在等腰中，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，設(shè).（1）如圖1，若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)，易證為等邊三角形，則，；（2）如圖2，若，則，；（3）如圖3，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.10．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）【問(wèn)題背景】：如圖1，在等邊中，點(diǎn)D是等邊內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：與的數(shù)量關(guān)系為，度；【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在等腰中，，，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的值為．

11．（23-24九年級(jí)·遼寧鞍山·期中）問(wèn)題情境，利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)探索：每位同學(xué)在紙上畫(huà)好，，，要求同學(xué)們利用圓規(guī)旋轉(zhuǎn)某一條線(xiàn)段，探究圖形中的結(jié)論．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，某小組將線(xiàn)段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，旋轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、，如圖1所示．如圖2，小李同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，；如圖3，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每改變一個(gè)度數(shù)時(shí)，的長(zhǎng)也隨之改變．……問(wèn)題提出與解決，該小組根據(jù)小李同學(xué)和小王同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你解答．如圖1，在中，，，將線(xiàn)段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，設(shè)轉(zhuǎn)角設(shè)為，連接、．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．（3）拓展延伸，小張同學(xué)受到探究過(guò)程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為，嘗試畫(huà)圖，并提出問(wèn)題請(qǐng)你解答．如圖4，中，，，將線(xiàn)段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，旋轉(zhuǎn)角，連接、，求的度數(shù)．12．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一，利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對(duì)集中，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)：將線(xiàn)段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接、，則，然后利用和形狀的特殊性求出的度數(shù)，就可以解決這道問(wèn)題．下面是小明的部分解答過(guò)程：解：將線(xiàn)段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段．，連接、，∵，，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的解答過(guò)程．（2）【類(lèi)比遷移】如圖②，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)P，且，，，則______度．（3）【拓展延伸】如圖③，在正方形中，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)O，在直線(xiàn)上方有一點(diǎn)P，，，連接，則線(xiàn)段的最大值為_(kāi)_____．13．（23-24九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【幾何感知】如圖（1），在中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)P為線(xiàn)段AD上一點(diǎn)，連接PB、PC得到有公共邊的兩個(gè)和，求證：．【類(lèi)比遷移】如圖（2），在中，點(diǎn)D、E、F分別為線(xiàn)段BC、AC、AB上的點(diǎn)，線(xiàn)段AD、BE、CF交于點(diǎn)P，若，，則．【拓展遷移】如圖（3），在中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為內(nèi)部一點(diǎn)，且，則線(xiàn)段AP＝．14．（23-24九年級(jí)上·山東德州·期中）【閱讀材料】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問(wèn)題：如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀(guān)察、分析、思考、交流，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．即能求PB＝請(qǐng)參考他們的想法，完成下面問(wèn)題：【學(xué)以致用】如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB的長(zhǎng)；【能力拓展】如圖3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底邊AB上的兩點(diǎn)且∠DCE＝60°，若AD＝2，BE＝3，求DE的長(zhǎng)．15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問(wèn)題解決：（3）如圖③，某戶(hù)外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．16．（2024山東?？级＃静僮靼l(fā)現(xiàn)】如圖①，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)