專題29 解直角三角形模型之新定義模型解讀與提分精練（全國）

專題29解直角三角形模型之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗學(xué)生是否具備進入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.新定義模型 1 17模型1.新定義模型新定義模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面積公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和、差、二倍角公式等），而這些大部分定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識證明。若無特殊說明，一般認為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；圖1圖2圖31）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。證明：作△ABC的外接圓，記圓心為O，作直徑，連接，如圖2，則，，∴，∴，同理，，，∴；2）正弦面積公式：如圖1，.證明：如圖3，過點A作AD⊥BC，垂足為D，在中，，∴，∴，在中，，∴．∴．同理可得．因此有．3）余弦定理：如圖2，．證明：如圖3，在中，，，的對邊分別是，，過點A作于點，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得。同理：；。圖4圖54）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。證明：如圖4，設(shè)∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。又∵，，∴；。5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式證明）：;（已證）.;.（已證）.證明：如圖4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A=。如圖5，取的中點，連接，即：，過點作于點，則，利用銳角三角函數(shù)在中表示，?！撸ǖ让娣e），即；在中，，則。例1．（2024·山西大同·三模）閱讀與思考閱讀下列材料，并解決后面的問題．在銳角中，，，的對邊分別是a，b，c，過C作于E（如圖1），則，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．運用上述結(jié)論和有關(guān)定理，在銳角三角形中，已知三個元素（至少有一條邊），就可以求出其余三個未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題：(1)如圖1，在中，，，，則______；(2)如圖2，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔的距離為______海里；（結(jié)果保留根號）(3)在（2）的條件下，試求的正弦值．（結(jié)果保留根號）例2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）【材料閱讀】如圖1，在△ABC中，設(shè)的對邊分別為a，b，c，過點A作，垂足為D，會有，則=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通過推理還可以得到另一個表達三角形邊角關(guān)系的定理-余弦定理如圖2，在中，設(shè)的對邊分別為a，b，c，則①②③用以上的公式和定理解決問題：【簡單應(yīng)用】（1）在銳角中，設(shè)的對邊分別為a，b，c，且，求；（2）如圖3，在中，，，求的面積與周長．【靈活應(yīng)用】（3）如圖4，在中，角所對的邊分別為，已知，的面積為，設(shè)為的中點，且，求的周長．（參考數(shù)據(jù)：）

例3．（2024·廣東·二模）問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字敘述）．問題應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．例4．（2023·云南昆明·二模）【問題引入】古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式，如果一個三角形的三邊長分別是，記，那么三角形的面積為：，在中，，，所對的邊長分別為，若，，，則的面積為6；【問題探索】如圖一，在中，設(shè)，，，，是的內(nèi)切圓，分別與的延長線、的延長線以及線段均只有一個公共點，的半徑為，的半徑為．

(1)分析與證明：如圖二，連接，則被劃分為三個小三角形，用表示的面積，即．那么是否成立？請證明你的結(jié)論．(2)理解與應(yīng)用：當，，時，求的面積．例5．（2024·山東濟寧·一模）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；③tan（α+β）＝．利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如tan105°＝tan（45°+60°）＝＝＝＝＝．根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：（1）求cos75°的值；（2）如圖，直升機在一建筑物CD上方的點A處測得建筑物頂端點D的俯角α為60°，底端點C的俯角β為75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD的高．例6．（2024·重慶·校考一模）材料一：證明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點D(異于點A)，過點D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數(shù)，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．例7．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期中）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如圖①：在中，，頂角的正對記作，這時．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)；(2)對于，的正對值的取值范圍是；(3)如圖②，已知，其中為銳角，試求的值．例8．（23-24九年級下·四川達州·期中）在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點，連接，過點作于點，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，．(1)如圖③，若，則__，_____；．(2)請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達式．（用含的式子表示）例9．（2024·寧夏銀川·二模）閱讀、理解、應(yīng)用研究間的角的三角函數(shù)，在初中我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦余弦和正切三種三角函數(shù)，即在圖所示的直角三角形，是銳角，那么，，．為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為軸的正半軸，建立直角坐標系（圖），在角α的終邊上任取一點，它的橫坐標是，縱坐標是，終邊可以看作是將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得到的，和原點O0,0的距離為（總是正的）然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，（其中，分別是點的橫、縱坐標）我們知道，圖的三個比值的大小與角的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖中四個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，三個比值的正、負取決于角α的終邊所在的象限，而與點在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖與圖，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題．(1)如圖3，若，則角α的三角函數(shù)值α、α、α，其中取正值的是．(2)已知α是鈍角，則下列說法正確的是．．．．α．α>0(3)若角α的終邊與直線重合，則αα．(4)若角α是銳角，其終邊上一點且，試求和α的值．1．（2023·四川巴中·模擬預(yù)測）規(guī)定：，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．2．（22-23九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在中，，定義：斜邊與的對邊的比叫做的余割，用“”表示．如設(shè)該直角三角形的三邊分別為a，b，c，則，那么下列說法正確的是（

）

A．B．C．D．3．（23-24九年級·福建龍巖·自主招生）已知有公式：且，則銳角θ的值為（）A． B． C． D．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）閱讀材料：坐標平面內(nèi)，把點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)度，得到點，若已知點坐標及的大小，我們可根據(jù)公式來計算點的坐標．根據(jù)材料完成：如圖，，，是上的三點且，若點坐標為，則點坐標為（

）A． B．C． D．5．（2023秋·廣東東莞·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；；現(xiàn)已知在中，，，，則的長為（

）A． B． C． D．6．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．7．（2023春·九年級課時練習(xí)）閱讀材料：一般地，當為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據(jù)以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（

）A． B． C． D．18．（2023·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：，，（其中：）例如：．利用上述公式計算下列三角函數(shù)：①，②，③，④其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·湖南·統(tǒng)考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，請你結(jié)合材料，若（為銳角），則的度數(shù)是．10．（23-24九年級·浙江杭州·期中）如圖，是的角平分線，、分別是邊，上的點，與交于點，若，，，，則．（提示三角形面積公式：．）

11．（2024·山東臨沂·校考一模）規(guī)定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，給出以下四個結(jié)論：(1)sin(﹣30°)；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；(4)cos15°．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為．12．（2024·山東濟南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為___________．13．（23-24九年級上·吉林白城·階段練習(xí)）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧，N是的中點．．“會圓術(shù)”給出的弧長l的近似值計算公式：．當，時，利用“會圓術(shù)”給出的公式計算的弧長l的值為．14．（23-24九年級·福建泉州·階段練習(xí)）如果已知兩個角的正弦值和余弦值，我們可以利用和的正弦公式來求已知兩角的正弦值，其公式為：sin(+)=sincos+cossin，請利用這個公式，解決下列問題：(1)計算sin75°的值；(2)利用公式證明：sin2=2sincos；并在已知sin=的條件下，求sin2的值．15．（23-24九年級·湖南懷化·期末）閱讀材料：在中，，，求的值．解題思路：在上截取，再連接AD，可證為等腰三角形，設(shè)，則，．．．．．．．，則，．16．（2023春·山東濟寧·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，則存在余弦定理：，，，即三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和減去這兩邊與這兩邊夾角的余弦的積的2倍．例如：在圖1中，，∴AC＝請你利用余弦定理解答下列問題：(1)應(yīng)用新知：在圖2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，則c＝______；②若，，，求∠A；(2)遷移發(fā)散：如圖3，某客輪在A處看港口D在客輪的北偏東50°方向上，在A處看燈塔B在客輪的北偏西30°方向距離海里處，客輪由A處向正北方向航行到C處時，再看港口D在客輪的南偏東80°距離6海里處，求此時C處到燈塔B的距離．17．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：；；，利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值如：根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：(1)求的值；(2)激光測速是目前道路測速方法中最為精準的一種，它是對被測車輛進行兩次有特定時間間隔的激光測距，取得該一時段內(nèi)被測車輛的移動距離，從而得到該車輛的移動速度．如圖，在一條限速為80千米/小時的國道邊上有一個激光測速儀P，該測速儀與車道中心的垂直距離米，在某一時刻測得某輛汽車從點A到點B的時間間隔為0.5秒，而第一次的點A在點P的北偏東75°，第二次的B點在點P的北偏東45°，請問該汽車是否超速？為什么？（1.732）

18．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀理解：如圖，Rt中，，，分別是，，的對邊，，其外接圓半徑為根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：，，可得，即：，（規(guī)定）．探究活動：如圖，在銳角中，，，分別是，，的對邊，其外接圓半徑為，試證明：．學(xué)以致用：如圖，在某次數(shù)學(xué)活動中，小鳳同學(xué)測量一古塔的高度，在處用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，又沿古塔的方向前行了到達處，此時，，三點在一條直線上，在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，求古塔的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（，）19．（23-24九年級·江蘇南京·自主招生）（1）如圖，已知三角形，，.①，_______②，_______（2）正弦