專題05 三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型解讀與提分精練（全國）

專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角） 2模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角） 5模型3.雙角平分線模型（雙外角） 7 10模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）雙角平分線模型1：當(dāng)這兩個(gè)角為內(nèi)角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的和。1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型圖1圖2圖3條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P；結(jié)論：。證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線BP，CP交于點(diǎn)P，∴，?！唷螾=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。2）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1條件：如圖2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2∠P=∠A+∠D。證明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，?！唷螾=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。3）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2條件：如圖3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：。證明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，?！唷螾=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。例1．（2023秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則．例2．（2023秋·山西太原·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，．(1)猜想：與、、存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想．(2)若，、分別是、的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得的度數(shù)為．例3．（2023秋·河南濮陽·八年級?？计谀┠Ｐ驼J(rèn)識：我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于，又知道角平分線可以把一個(gè)角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識進(jìn)行下面的探究活動．如圖①，在中，、分別是和的角平分線．解決問題：(1)若，，則______；（直接寫出答案）(2)若，求出的度數(shù)；拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形中，、分別是和的角平分線，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．例4．（23-24八年級·山東青島·期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1，中，平分，平分，探求與之間的數(shù)量關(guān)系；【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2，中，、是的三等分線，、是的三等分線，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______；【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3，中，、、是的四等分線，、、是的四等分線，則與之間的數(shù)量關(guān)系是______；【拓展與探究】（4）如圖4，中，、、……、、是的等分線，、、……、、是的等分線，請用一個(gè)等式表示、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是______；【探究與應(yīng)用】（5）中，、、……、是的2024等分線，、、……、是的2024等分線，若與的和是的7倍，則______．模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）雙角平分線模型2：當(dāng)這兩個(gè)角為一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角時(shí)，這夾角等于第三個(gè)角的一半。圖1圖21）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：．證明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，?！唷螾=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。2）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）條件：如圖2，，∠ABC、∠ACD的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．證明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，?！唷螾1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn=1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，平分，點(diǎn)是射線，上的點(diǎn)，連接．按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）問題情境：如圖1，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個(gè)圖中，與∠A度數(shù)的比是

；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說明理由．例3．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）∠ACD是△的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，…，的平分線與的平分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A＝．則＝，∠A2021＝．模型3.雙角平分線模型（雙外角）雙角平分線模型3：當(dāng)這兩個(gè)角為外角時(shí)，這夾角等于90°與第三個(gè)角的一半的差。 圖1圖2圖31）兩外角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．證明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，?！唷螼=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）=180°-（180°+∠A）=90°+∠A。2）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)條件：如圖2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD。證明：如圖3，過點(diǎn)D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。,例1．（2023.廣東八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝．例2．（2023·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖（a），平分，平分.①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).②猜想與有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.例3．（2023秋·貴州遵義·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖（1），，是的外角，的平分線所在直線與的平分線交于點(diǎn)D，與的平分線交于點(diǎn)E．(1)若，則度；(2)若，求∠E的度數(shù)；(3)在圖（1）的條件下，沿作射線，連接，如圖（2）．求證：平分．例4．（2023·甘肅天水·七年級統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，（1）如圖1，點(diǎn)O是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，猜想∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（2）請直接寫出結(jié)果．如圖2，若，△ABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝________；如圖3，若，△ABC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝_________．1．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交與點(diǎn)P，若，則（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等；，則A． B． C． D．3．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，E為BC延長線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于（

）A．10° B．15° C．20° D．30°4．（2023春·廣東·七年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接OB、OC，將∠ABO、∠ACO分別記為∠1、∠2，則∠1、∠2、∠A、∠O四個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O5.（2023.廣東七年級期中）在四邊形中，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．6．（2023春·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，是邊上的高，延長與外角的平分線交于點(diǎn)．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·遼寧營口·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交于點(diǎn)An．設(shè)∠A=．則：（1）∠A1=；（2）∠An=．8．（2023春·成都市七年級課時(shí)練習(xí)）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長線于點(diǎn)E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是．（把所有正確的結(jié)論的序號寫在橫線上）

9．（2023秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則．10．（2023秋·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)M，作的延長線得到射線，作射線，有下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結(jié)論的序號是．11．（2023春·河南鄭州·七年級?？计谀┤鐖D，已知在中，．(1)分別作，的平分線，它們交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．(3)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．12．（2023·成都市·八年級專題練習(xí)）在中，，線段、分別平分、交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)N在延長線上，連接交于點(diǎn)，使，若，，求線段的長．

13．（2023秋·山東·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，是，平分線的交點(diǎn)．(1)；(2)若是兩條外角平分線的交點(diǎn)，則

；(3)在（2）的條件下，若是內(nèi)角和外角的平分線的交點(diǎn)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．（2022春·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期末）在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，理解并掌握其中的規(guī)律，有助于同學(xué)們鞏固相關(guān)的數(shù)學(xué)知識．如圖1，中，分別平分，且相交于點(diǎn)“勤奮小組”的同學(xué)發(fā)現(xiàn):．證明過程如下:

證明:如圖2，連接并延長，則(依據(jù)1)與分別平分又，(依據(jù)2)．依據(jù)1是___，依據(jù)2是__；如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，作的角平分線交于點(diǎn)試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．

15．（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）【情境引入】如圖1，，分別是的內(nèi)角，的平分線，說明的理由．（2）【深入探究】①如圖2，，分別是的兩個(gè)外角，的平分線，與之間的等量關(guān)系是_________；②如圖3，，分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線．，交于點(diǎn)D，探究與之間的等量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】請用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在中，，分別平分，．M，N，Q分別在，，的延長線上，，分別平分，，，分別平分，．若，則的度數(shù)是________．16．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？计谥校?）如圖1，BO、CO分別是中和的平分線，則與的關(guān)系是______（直接寫出結(jié)論）；（2）如圖2，BO、CO分別是兩個(gè)外角和的平分線，則與的關(guān)系是______，請證明你的結(jié)論．（3）如圖3，BO、CO分別是一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，則與的關(guān)系是______，請證明你的結(jié)論．（4）利用以上結(jié)論完成以下問題：如圖4，已知：，點(diǎn)A、B分別是射線OF、OD上的動點(diǎn)，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線相交于點(diǎn)P，猜想的大小是否變化？請證明你的猜想．17．（2023·天津河西·八年級期中）探究一：已知：如圖1，與分別為的兩個(gè)外角．試探究與的數(shù)量關(guān)系_____(即列出一個(gè)含有，，的等式，直接寫出答案即可)；探究二：已知：如圖2，在中，分別平分和，求：與的數(shù)量關(guān)系；探究三：若將探究2中的改為任意四邊形呢？即：如圖3，在四邊形