專題02 三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）、翻角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.飛鏢模型（燕尾）模型 1模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型 5模型3.角內(nèi)（外）翻模型 7 9模型1.飛鏢模型（燕尾）模型飛鏢（燕尾）模型看起來特別簡(jiǎn)單，在復(fù)雜幾何圖形倒角時(shí)往往有巧妙的作用。因?yàn)槟Ｐ拖耧w鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。圖1圖2圖3基本模型：條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。證明：連接AC并延長(zhǎng)至點(diǎn)P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。即：，故。拓展模型1：條件：如圖2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。證明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；根據(jù)飛鏢模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。拓展模型2：條件：如圖3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。證明：根據(jù)飛鏢模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B），∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B）例1．（2023·福建南平·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個(gè)角“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，．．．．．．．．．．大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論．任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_________；(2)探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分．例2．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．例3．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠CAO+∠COA；∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠DAO+∠DOA；∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。例1．（2023·四川綿陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（）A．B．C．D．例2．（2023·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問題情境】已知，在的兩邊上分別取點(diǎn)B、C，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接、．設(shè)，，探索與、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在的邊上時(shí)，，此時(shí)，則與、、之間的數(shù)量關(guān)系是．【問題再探】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)寫出與、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在的外部時(shí)，與、、之間的數(shù)量關(guān)系是________；【拓展延伸】（1）如圖4，、的外角平分線相交于點(diǎn)P．①若，，則________°；②若且，則________°；③直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖5，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)Q，則________（用、表示）．例3．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，在中，，點(diǎn)、是邊、上的點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．令，，．(1)若點(diǎn)在線段上，如圖1所示，，求的值；(2)若點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則、、之間的關(guān)系________；(3)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，則、、之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；(4)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到外，如圖4所示，則請(qǐng)表示、、之間的關(guān)系，并說明理由．模型3.角內(nèi)（外）翻模型圖3圖4條件：如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。條件：如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）=∠EC’F+∠FCE=2∠C。例1．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張的紙片，點(diǎn)，分別在邊AB，上，將沿著DE折疊壓平，與重合，若，則．例2．（23-24八年級(jí)下·山東德州·開學(xué)考試）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的外面時(shí)，此時(shí)測(cè)得，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；（2）如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，則此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在邊上向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？

1．（2024.山東七年級(jí)期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）2．（2023·河南·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠34．（2023春·河南洛陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個(gè)的角后得到一個(gè)六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，若，，則等于（）A． B． C． D．6．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是度．7．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°8．（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．9．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則．10．（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．

求證：．11．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號(hào)）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小潔的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫出兩條對(duì)燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）．13．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．（2023·河北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若，求的度數(shù)．15．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在外部時(shí)，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請(qǐng)求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．16．（2024·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考期末）如圖①，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置，通過計(jì)算我們知道：.請(qǐng)你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，如圖②，此時(shí)與之間存在什么樣的關(guān)系？(2)如果把四邊形沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）17．（2024·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【概念學(xué)習(xí)】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角，如果兩個(gè)角相加等于，那么稱這兩個(gè)角互為組角，簡(jiǎn)稱互組．（1）若、互為組角，且，則________；【理解運(yùn)用】習(xí)慣上，我們把