專題04 三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型解讀與提分精練（全國）

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.高分線模型 2模型2.雙垂直模型 4模型3.子母型雙垂直模型（射影模型） 5 7模型1.高分線模型三角形的高：-從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它所對(duì)的邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.高分線模型：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的高與角平分線的夾角等于另外兩個(gè)角差的絕對(duì)值的一半。1）條件：如圖1，在中，，分別是的高和角平分線，結(jié)論：．2）條件：如圖2，F(xiàn)為的角平分線AE的延長線上的一點(diǎn)，于D，結(jié)論：．

圖1圖21）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；2）證明：如圖，過作于，由（2）可知：，，，，，，，，．例1．（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·階段練習(xí)）如圖，AD，分別是的角平分線和高線，且，，則．例2．（23-24八年級(jí)上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點(diǎn)E，．(1)求的度數(shù)；(2)與之間有何數(shù)量關(guān)系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．例3．（23-24八年級(jí)上·廣東·?？计谥校┮阎涸谥?，，平分交于點(diǎn)．(1)如圖①，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(2)如圖①，于點(diǎn)，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)如圖②，在中，于點(diǎn)，是上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，請(qǐng)你運(yùn)用（2）中的結(jié)論求出的度數(shù)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？說明理由．

模型2.雙垂直模型雙垂直模型的定義是一個(gè)三角形中有兩條高，則圖中會(huì)產(chǎn)生多個(gè)直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之間的關(guān)系。條件：如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，結(jié)論：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。證明：∵BD，CE是兩條高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD?！連D，CE是△ABC的兩條高，∴，∴。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，是它的兩條高，直線交于點(diǎn)F，．例3．（2022秋·安徽宿州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）子母型雙垂直模型的定義是一個(gè)直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。條件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高線，結(jié)論：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

證明：∵∠ACB=90°，CD是高線，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∵∠ACB=90°，CD是高線，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．例2．（2024八年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，為邊上的高．(1)求斜邊的長；(2)求的長．例3．（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖①，在中，，是邊上的高．（1）求證：；（2）如圖②，的角平分線交于點(diǎn)．求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線分別與，相交于點(diǎn)、點(diǎn)，如圖③，若，，，求的長．1．（2023·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，．下列結(jié)論：①；②；③；④．你認(rèn)為正確的有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．（23-24八年級(jí)下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，和的平分線，相交于點(diǎn)O，交于E，交于F，過點(diǎn)O作于D，下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③5．（2023下·重慶涪陵·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個(gè)規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．6．（2023下·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線與相交于，以下結(jié)論正確的有（

）

①；②；③；④；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023下·重慶江北·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，分別是高和角平分線，點(diǎn)在的延長線上，交于，交于，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．D．8．（2023·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點(diǎn)D，，垂足為E，另一腰上的高交于點(diǎn)G，垂足為F，若，則的長為．9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，已知，，則的面積為．10．（23-24八年級(jí)上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點(diǎn)O，連接，則．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則．

12．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．

13．（23-24七年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，為線段上的一個(gè)點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)若，，求的度數(shù)．(2)猜想與、的數(shù)量關(guān)系．14．（23-24八年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD=∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判斷△ADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，點(diǎn)C，B，E在同一直線上，若AB⊥BD，AB=BD，則CE與AC，DE有什么等量關(guān)系，并證明．15．（23-24七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）已知在中，于點(diǎn)D．(1)如圖1，若的平分線交于點(diǎn)E，，，則的度數(shù)為______．(2)如圖2，點(diǎn)M、N分別在線段、上，將折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，折痕分別為和，點(diǎn)G、F均在直線上，若，試說明．16．（22-23八年級(jí)上·廣西桂林·期中）如圖，中，，，平分，于D，，交于F，求：(1)的度數(shù)；(2)當(dāng)平分時(shí)，，若，，，請(qǐng)用含m，n，a的代數(shù)式表示的長．17．（2024·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，，D，E分別是邊和延長線上的點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①判斷是否平分，并說明理由；②F為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)F作，垂足為G．若，，直接用含，的式子表示出的度數(shù)．

18．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請(qǐng)你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號(hào)）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）19．（2023·福建莆田·八年級(jí)校考期中）規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請(qǐng)求出所有可能的的度數(shù)．20．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(