專題04 三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型解讀與提分精練（全國）

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.高分線模型 2模型2.雙垂直模型 4模型3.子母型雙垂直模型（射影模型） 5 7模型1.高分線模型三角形的高：-從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它所對的邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.高分線模型：過三角形一個頂點的高與角平分線的夾角等于另外兩個角差的絕對值的一半。1）條件：如圖1，在中，，分別是的高和角平分線，結論：．2）條件：如圖2，F(xiàn)為的角平分線AE的延長線上的一點，于D，結論：．

圖1圖21）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；2）證明：如圖，過作于，由（2）可知：，，，，，，，，．例1．（23-24八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，AD，分別是的角平分線和高線，且，，則．例2．（23-24八年級上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點E，．(1)求的度數(shù)；(2)與之間有何數(shù)量關系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數(shù)量關系？請說明理由．例3．（23-24八年級上·廣東·?？计谥校┮阎涸谥?，，平分交于點．(1)如圖①，于點，若，求的度數(shù)；(2)如圖①，于點，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)如圖②，在中，于點，是上的任意一點（不與點，重合），過點作于點，且，請你運用（2）中的結論求出的度數(shù)；(4)在（3）的條件下，若點在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？說明理由．

模型2.雙垂直模型雙垂直模型的定義是一個三角形中有兩條高，則圖中會產(chǎn)生多個直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之間的關系。條件：如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，結論：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。證明：∵BD，CE是兩條高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD?！連D，CE是△ABC的兩條高，∴，∴。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，是它的兩條高，直線交于點F，．例3．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）子母型雙垂直模型的定義是一個直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關系。條件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高線，結論：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

證明：∵∠ACB=90°，CD是高線，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∵∠ACB=90°，CD是高線，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·七年級?？茧A段練習）如圖，在中，，于D，求證：．例2．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，為邊上的高．(1)求斜邊的長；(2)求的長．例3．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖①，在中，，是邊上的高．（1）求證：；（2）如圖②，的角平分線交于點．求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線分別與，相交于點、點，如圖③，若，，，求的長．1．（2023·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．3．（23-24八年級上·陜西西安·開學考試）如圖，在中，，，，垂足分別為點D、E，AD、CE交于點H，．下列結論：①；②；③；④．你認為正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（23-24八年級下·廣西柳州·開學考試）如圖，在中，和的平分線，相交于點O，交于E，交于F，過點O作于D，下列三個結論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③5．（2023下·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關系始終不變，下面有一個規(guī)律可以表示這種關系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．6．（2023下·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線與相交于，以下結論正確的有（

）

①；②；③；④；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023下·重慶江北·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結論中不正確的是（

）

A．B．C．D．8．（2023·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點D，，垂足為E，另一腰上的高交于點G，垂足為F，若，則的長為．9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點，于點，與相交于點，已知，，則的面積為．10．（23-24八年級上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點O，連接，則．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則．

12．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．

13．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，在中，平分，為線段上的一個點，交直線于點．(1)若，，求的度數(shù)．(2)猜想與、的數(shù)量關系．14．（23-24八年級上·遼寧鞍山·期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD=∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判斷△ADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，點C，B，E在同一直線上，若AB⊥BD，AB=BD，則CE與AC，DE有什么等量關系，并證明．15．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）已知在中，于點D．(1)如圖1，若的平分線交于點E，，，則的度數(shù)為______．(2)如圖2，點M、N分別在線段、上，將折疊，點B落在點F處，點C落在點G處，折痕分別為和，點G、F均在直線上，若，試說明．16．（22-23八年級上·廣西桂林·期中）如圖，中，，，平分，于D，，交于F，求：(1)的度數(shù)；(2)當平分時，，若，，，請用含m，n，a的代數(shù)式表示的長．17．（2024·河北邢臺·八年級?？计谥校┰谥?，，D，E分別是邊和延長線上的點，連接，，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①判斷是否平分，并說明理由；②F為射線上一點（不與點D重合），過點F作，垂足為G．若，，直接用含，的式子表示出的度數(shù)．

18．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結論，構造一個真命題，并給出證明；條件：______，結論：______．（填序號）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）19．（2023·福建莆田·八年級?？计谥校┮?guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請寫出圖中兩對“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請求出所有可能的的度數(shù)．20．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數(shù)學活動．(