2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)高二上冊11月期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市豐臺區(qū)高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知直線與平行，則系數(shù)（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線的方程是（

）A． B．C． D．3．在三棱錐中，等于（

）A． B． C． D．4．若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或45．已知橢圓的一個焦點(diǎn)的坐標(biāo)是，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．6．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，，則直線與平面所成角的大小為（

）A． B． C．6 D．7．已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．78．“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時，直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個正方形和兩個等腰直角三角形組成.若，，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點(diǎn)距離的平方和最小，圖中是的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在（

）A．處 B．處 C．處 D．處二、填空題（本大題共5小題）11．直線與圓的位置關(guān)系是．12．已知圓與圓內(nèi)切，則.13．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝.14．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.15．定義：若對平面點(diǎn)集中的任意一點(diǎn)，總存在正實(shí)數(shù)，使得集合，則稱為一個“開集”．給出下列集合：①；②；③；④．其中為“開集”的是．三、解答題（本大題共6小題）16．已知直線：．(1)當(dāng)時，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后過原點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程；(2)求證：直線恒過定點(diǎn)；(3)當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時，寫出此時直線的方程（直接寫出結(jié)果）．17．已知橢圓及直線．(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時，求直線與橢圓相交所得的弦長；(3)求直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)O，，．點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，連接OE，OP．(1)求證：平面PCD；(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求線段OP的長．條件①：平面平面；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．19．已知圓和圓，直線與圓相切于點(diǎn)，圓的圓心在射線上，圓過原點(diǎn)，且被直線截得的弦長為．（1）求直線的方程；（2）求圓的方程．20．橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)已知經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn).若四邊形為平行四邊形，求直線的方程.21．已知有限集X，Y，定義集合，表示集合X中的元素個數(shù).（1）若，求集合和，以及的值；（2）給定正整數(shù)n，集合，對于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A，B，定義集合①求證：；②求的最小值.

答案1．【正確答案】B【詳解】解：直線與直線平行，，解得．故選：．2．【正確答案】A【詳解】由直線與直線垂直，故所求直線斜率為1，又經(jīng)過圓的圓心，故所求直線為，所以所求直線方程為.故選：A3．【正確答案】C【詳解】由.故選：C4．【正確答案】A【詳解】由題意得，解得.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】由條件可知，，，，所以，得，故選：C6．【正確答案】A【詳解】由題設(shè)知，直三棱柱底面為等腰直角三角形，且，，若是中點(diǎn)，連接，則，且，由面面，面，面面，所以面，則直線與平面所成角為銳角，且面，則，由題意，在中，則，故.故選：A7．【正確答案】A【詳解】設(shè)圓心，則，化簡得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取得等號，故選：A.8．【正確答案】A【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓心到直線的距離為則，解得：或.由此可知，“”是“或”的充分不必要條件，故選：A.9．【正確答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則表示圓心為，半徑為1的圓上的點(diǎn)，如圖：

由圖可知當(dāng)直線與圓相切時，直線的斜率得到最值，設(shè)，由圓與直線相切，故有圓心到直線的距離為半徑1，即，解得：，由圖分析得：直線的斜率的取值范圍是.故選：B.10．【正確答案】A【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)轉(zhuǎn)播臺建在處，則，當(dāng)且時，最小，轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在處.故選：A.11．【正確答案】相離【詳解】由的圓心為，半徑為1，圓心到的距離，所以直線與圓相離.故相離12．【正確答案】【詳解】由圓知圓心為半徑為由圓知圓心為,半徑為因兩圓內(nèi)切，故，即，解得：故13．【正確答案】-2【詳解】經(jīng)分析知，直線經(jīng)過圓C的圓心，而圓C的圓心坐標(biāo)為，所以有．14．【正確答案】【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C＝＝.15．【正確答案】②④【詳解】①表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上任意取點(diǎn)，以任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓面，均不滿足故①不是開集；②，在平面點(diǎn)集中的任取一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)到直線的距離為，取，則滿足，故該集合是開集；③，在曲線任意取點(diǎn)，以任意正實(shí)數(shù)為半徑的圓面，均不滿足，故該集合不是開集；④，表示以點(diǎn)為圓心，為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點(diǎn)集中的任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為，取，則滿足，故該集合是開集．故②④.16．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）由題設(shè)，令是關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，可得，故，由題意，反射光線過和原點(diǎn)，所以反射光線所在直線方程為.（2）由直線可改寫為，聯(lián)立，可得，將點(diǎn)代入原直線方程，顯然成立，故直線恒過定點(diǎn)，得證.（3）當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，此時，由，則，故，整理得.17．【正確答案】(1)；(2)；(3)且.【詳解】（1）聯(lián)立直線與橢圓，可得，整理得，由直線與橢圓有公共點(diǎn)，故，可得.（2）由題設(shè)及（1），聯(lián)立直線與橢圓得，則或，而直線為，當(dāng)有，當(dāng)有，所以弦長為.（3）由（1）有，令直線與橢圓交點(diǎn)為，所以，則，故中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，則，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，即且.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以是中點(diǎn)，因?yàn)镋是棱PA的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍼CD,平面PCD,所以平面PCD.（2）選擇條件①:因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2，所以,所以設(shè)所以，設(shè)為平面的一個法向量，由得所以取，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量為,平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為,所以，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，所?所以線段OP的長為.選擇條件②:因?yàn)?在菱形中，，因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2，所以,所以設(shè)所以，設(shè)為平面的一個法向量，由得所以取，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個法向量為,平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為,所以，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，所?所以線段OP的長為.19．【正確答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意知：直線過點(diǎn)，且斜率為-1，故直線的方程為（2）根據(jù)題意設(shè)：的圓心坐標(biāo)為圓的半徑，圓心到直線的距離為，

解得：（舍）或．圓的半徑圓心圓的方程為20．【正確答案】(1)；(2)或【詳解】（1）由題意知：，則，故橢圓的方程為；（2）設(shè)，又，故，又直線經(jīng)過點(diǎn)，故的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得，顯然，，則，又，由，可得，解得或，故直線的方程為或.21．【正確答案】（1）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①見解析；②【詳解】