2024-2025學(xué)年廣東省揭陽市高一上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省揭陽市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在角的終邊上，若，則（

）A．或1 B．或6 C．6 D．14．已知冪函數(shù)的圖象過，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．在其定義域內(nèi)為減函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)5．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足對(duì)任意的，且，都有，若，則的解集為（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在（），使得在上的值域?yàn)椋敲淳头Q是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（，是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）9．已知，，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．10．下列四個(gè)函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B． C． D．11．已知集合，（），若，，則（

）A．B．C．關(guān)于x的不等式解集為或D．關(guān)于x的不等式解集為12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)都滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．C．不等式的解集為D．存在，對(duì)任意都有第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．命題“，”的否定為．14．已知函數(shù)，則.15．若，為第二象限角，則．16．設(shè)常數(shù)，函數(shù).若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍為，的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．求下列各式的值：(1)；(2)已知，求的值．18．設(shè)集合，．(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．已知．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)解不等式：．20．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說明理由；(2)求函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間，使；21．為了改善湖泊的水質(zhì)，某市環(huán)保部門于2021年年終在該湖泊中投入一些浮萍，這些浮萍在水中的繁殖速度越來越快，2022年2月底測(cè)得浮萍覆蓋面積為，2022年3月底測(cè)得浮萍覆蓋面積為，浮萍覆蓋面積（單位：）與2022年的月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；(2)若2021年年終測(cè)得浮萍覆蓋面積為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，試估算至少到哪一年的幾月底浮萍覆蓋面積能超過？（參考數(shù)據(jù)：）22．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，＝.(1)求在上的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．A【分析】直接利用集合的交運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，故，故選：2．A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榭傻茫寒?dāng)時(shí)，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；所以當(dāng)，是的充分不必要條件.故選：A.3．C【分析】利用三角函數(shù)的定義列出方程求解即得.【詳解】因點(diǎn)M在角的終邊上，則，故，解得，.故選：C.4．B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象過求得其解析式，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，所以y＝f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且在其定義域上是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B正確，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不具有奇偶性，故選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤，故選：B．5．C【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷的大小關(guān)系.【詳解】由，故選：C6．C【分析】求的定義域，并判斷奇偶性，可排除不滿足相應(yīng)對(duì)稱性的圖像，再通過判斷相應(yīng)區(qū)間函數(shù)值的正負(fù)，即可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以是奇函數(shù)，則排除A，D．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，排除B，故選：C．7．A【分析】根據(jù)條件可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合條件并對(duì)進(jìn)行分類討論即可解出不等式.【詳解】對(duì)任意的，且，都有，即在上是減函數(shù)，因?yàn)?，所以在上是減函數(shù)，為奇函數(shù)，可得，，可得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上單調(diào)遞減可得；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上單調(diào)遞減可得；綜上可知，不等式的解集為.故選：A.8．A【分析】根據(jù)給定定義，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定的單調(diào)性，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及一元二次方程實(shí)根分布求解作答.【詳解】依題意，函數(shù)定義域?yàn)镽，令，顯然，函數(shù)在上單調(diào)性與在R上單調(diào)性相同，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，顯然，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)不滿足條件②，因此，由于函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t，即，于是是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，令，則方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，因此，解得，所以t的取值范圍是.故選：A思路點(diǎn)睛：涉及一元二次方程的實(shí)根分布問題，可借助二次函數(shù)及其圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法解決一元二次方程的實(shí)根問題.9．ABD【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、傳遞性即可求解.【詳解】由不等式的同向可加性知選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，，所以，，所以，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．10．AD由基本不等式的適用條件和取等號(hào)的條件，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立，但，所以的最小值不為2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，故D正確.故選：AD.本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．BC【分析】先求出集合，再根據(jù)和可得和4是方程的兩個(gè)根，且，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】或，因?yàn)椋?，，所以?是方程的兩個(gè)根，且，所以，所以，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以，所以B正確，對(duì)于CD，不等式，可化為，因?yàn)?，所以不等式可化為，得，解得或，所以原不等式的解集為或，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC12．ACD【分析】利用給定的對(duì)稱軸列式推理判斷A；判斷函數(shù)在上單調(diào)性，賦值計(jì)算判斷B；利用偶函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性解不等式判斷C；取計(jì)算判斷D作答.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，即，亦即，函數(shù)為偶函數(shù)，A正確；由，得，設(shè)且，則，令，則，即，因此在上單調(diào)遞減，令，則，B錯(cuò)誤；不等式，即有，于是，解得，C正確；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，D正確．故選：ACD思路點(diǎn)睛：解涉及奇偶性的函數(shù)不等式，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問題，若為偶函數(shù)，則.13．，【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，即可得解.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，其否定為：，.故，14．【分析】代入分段函數(shù)逐步求解即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?故答案為.15．##【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，由同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式求得的值，代入的計(jì)算公式即可求得.【詳解】由，因?yàn)榈诙笙藿?，故，?故答案為.16．【分析】第一空，將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，畫出圖像即可得到答案；第二空，通過計(jì)算得到，從而研究的范圍即可得到答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖像如下：

因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，所以圖像與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.令，得，所以.由圖可知，，所以，由，得，即，所以所以故此類方程的根的個(gè)數(shù)問題，要善于轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問題，通過研究函數(shù)圖像從而快速求解得到答案.17．(1)(2)【分析】（1）直接利用指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）（2）18．(1)(2)【分析】（1）分別解兩個(gè)一元二次不等式，得到集合,再根據(jù)補(bǔ)集定義和交集的求法即可求得；（2）由的含義，表示出不等式組，解之即得.【詳解】（1）由可得，，即，又由可得，,即.因，則.于是，或或；（2）由（1）得，，，因，故得:，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.19．(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，并判斷其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性，再由推得奇函數(shù)；（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化成分式不等式，結(jié)合函數(shù)的定義域，即可求得不等式的解集.【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：因，故由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）由可得，即得且，解得，，即不等式的解集為.20．(1)一個(gè)，理由見解析；(2)【分析】（1）先判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）由（1）知函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，因，故得函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，又因，故得函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，滿足，故得結(jié)果.【詳解】（1）因的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上至多有一個(gè)零點(diǎn).又，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上必有一個(gè)零點(diǎn).故函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).（2）由（1）知函數(shù)在上必有一個(gè)零點(diǎn).，且，又，故函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，又，故函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為，而，即函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為.21．(1)，(2)2023年2月【分析】（1）將分別代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式中即可求解，（2）根據(jù)確定選用的函數(shù)，即可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.【詳解】（1）若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為，若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．（2）把代入可得，，把代入可得，，∵，∴選擇函數(shù)模型更合適，

令，可得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，∴，故浮