2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市相城區(qū)高一上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市相城區(qū)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)A．B．C． D．2.已知，，，則(

)A. B. C. D.3.已知半徑為3的扇形圓心角是，則該圓心角所對弧長是(

)A. B.C. D.4.已知，則的解析式為(

)A．B．C． D．5.已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則的最小值為(

)A． B． C．3D．6.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的(

)條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要D．充要7.設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則(

)A． B．C． D．8.已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，若對任意的，都有，則方程的解的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值可以為(

)A． B．0 C．1 D．210.下列結(jié)論正確的有(

)A.已知，則B.已知扇形的弧長為eq\f(π,2)，面積為eq\f(π,4)，則該弧所對弦長為eq\r(2)C.已知，則3D.若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍是11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，則(

)A.B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D.不等式的解集是填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，則=.13.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14.已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則的最小值為.四、簡答題（共5小題，滿分77分）15.(本小題滿分13分)設(shè)集合，：，q：，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.16.(本小題滿分15分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若，求t的取值范圍．17.(本小題滿分15分)近年來，受全球新冠肺炎疫情影響，不少外貿(mào)企業(yè)遇到展會停辦、訂單延期等困難，在該形勢面前，某城市把目光投向了國內(nèi)大市場，搭建夜間集市，不僅能拓寬適銷對路的出口產(chǎn)品內(nèi)銷渠道，助力外貿(mào)企業(yè)開拓國內(nèi)市場，更能推進(jìn)內(nèi)外貿(mào)一體化發(fā)展，加速釋放“雙循環(huán)”活力．某夜市的一位文化工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)按30天計(jì)算，每件的銷售價(jià)格單位：元與時間單位：天的函數(shù)關(guān)系滿足為常數(shù)，且，日銷售量單位：件與時間x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x15202530105110105100設(shè)該文化工藝品的日銷售收入為單位：元，且第15天的日銷售收入為1057元．（1）求k的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；利用問題中的函數(shù)，求的最小值．18.(本小題滿分17分)已知雙曲函數(shù)，.（1）證明：；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明），并解關(guān)于x的不等式；（3）若，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(本小題滿分17分)定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”．（1）判斷是否為“型函數(shù)”？并說明理由；（2）若存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)始終是“型函數(shù)”，求k的最小值；（3）若函數(shù)是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科（答案）一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B．C． D．【分析】求出與，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】由題意得，，則函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:C.2.已知，，，則(

)A. B. C. D.【正確答案】B

【分析】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題.利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較.解：因?yàn)椋?，故選3.已知半徑為3的扇形圓心角是，則該圓心角所對弧長是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】直接代入弧長公式計(jì)算即可.【詳解】該圓心角所對弧長為.故選：A.4.已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式利用換元法即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，因此.故選：D5.已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【正確答案】A由題意可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，的最小值為6.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的(

)條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要D．充要【正確答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以時恒成立且在上單調(diào)遞增，所以，則是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.7.設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D由得，由得，所以令，這3個函數(shù)圖象情況如下圖所示：設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由于的圖象關(guān)于直線對稱，而的交點(diǎn)為，所以，注意到函數(shù)的對稱軸為直線，即，且二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線方程，從而.8.已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，若對任意的，都有，則方程的解的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【正確答案】B【分析】先求得的表達(dá)式，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理等知識求得正確答案.【詳解】設(shè)①，則，由①令得，在上單調(diào)遞增，，題意，所以.對于方程，即，兩邊除以得，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，所以有唯一零點(diǎn)在區(qū)間，所以方程有唯一解.二、多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．2【正確答案】ABC【分析】分和兩種情況討論，根據(jù)，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，集合，，且，當(dāng)時，集合，滿足，符合題意；當(dāng)時，集合，要使得，則滿足或，解得或，結(jié)合選項(xiàng)，實(shí)數(shù)的值可以為.故選：ABC.10.下列結(jié)論正確的有(

)A.已知，則B.已知扇形的弧長為eq\f(π,2)，面積為eq\f(π,4)，則該弧所對弦長為eq\r(2)C.已知，則3D.若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的范圍是【正確答案】BC解：對于A.A錯誤對于B由題知設(shè)扇形的半徑為R，由扇形的面積S＝eq\f(π,4)，得S＝eq\f(π,4)＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)R，得R＝1，則扇形的圓心角α＝eq\f(l,R)＝eq\f(\f(π,2),1)＝eq\f(π,2)，則弧所對弦長為eq\r(2)R＝eq\r(2).B正確.對于C，則．C正確．對于D【分析】設(shè)，則函數(shù)在上的值域?yàn)榈葍r(jià)于在上，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，又，，所以，即，解得：且，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選ABC11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，則(

)A.B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D.不等式的解集是【正確答案】ABD

【分析】本題考查抽象函數(shù)的問題，屬較難題.解：對于A，令，得，即，A正確;對于B，令，得，因?yàn)?，所以，B正確;對于C，對任意，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤;對于D，，又，所以原不等式等價(jià)于，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，D正確.三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.已知為定義域在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則=______.【正確答案】2【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時的解析式即可求解.【詳解】當(dāng)，時，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即時，，因?yàn)?，所以，?13.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【正確答案】解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上是減函數(shù)，，解得，，或當(dāng)時，，其圖象關(guān)于y軸對稱，不滿足題意;當(dāng)時，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意，不等式可化為函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是14.已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則的最小值為.【分析】作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合確定以及，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)討論最值即可求解.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；作出函數(shù)的圖象如下，則由圖象可知，的圖象與有4個交點(diǎn)，分別為，因?yàn)橛兴膫€不同的解且，所以，且，且，，又因?yàn)樗约?，所以，所以，且，?gòu)造函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，四、簡答題（共5小題，滿分77分）15．(本小題滿分13分)設(shè)集合，：，q：，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；【正確答案】解：對于集合A，由，解得，所以由p是q的充分不必要條件，則集合A是集合B的真子集，故且兩個等號不同時成立，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是因?yàn)?，所以，?dāng)時，，所以，滿足題意，當(dāng)時，，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為

(本小題滿分15分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若，求的取值范圍．17.(本小題滿分15分)近年來，受全球新冠肺炎疫情影響，不少外貿(mào)企業(yè)遇到展會停辦、訂單延期等困難，在該形勢面前，某城市把目光投向了國內(nèi)大市場，搭建夜間集市，不僅能拓寬適銷對路的出口產(chǎn)品內(nèi)銷渠道，助力外貿(mào)企業(yè)開拓國內(nèi)市場，更能推進(jìn)內(nèi)外貿(mào)一體化發(fā)展，加速釋放“雙循環(huán)”活力．某夜市的一位文化工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)按30天計(jì)，每件的銷售價(jià)格單位：元與時間單位：天的函數(shù)關(guān)系滿足為常數(shù)，且，日銷售量單位：件與時間x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x15202530105110105100設(shè)該文化工藝品的日銷售收入為單位：元，且第15天的日銷售收入為1057元．求k的值；給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；利用問題中的函數(shù)，求的最小值．【正確答案】解析：因?yàn)榈?5天的日銷售收入為1057元，所以，解得由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間x變化時，先增后減.而函數(shù)模型①③④都是單調(diào)函數(shù)，所以選擇函數(shù)模型②由，此時，符合題意，所以日銷售量與時間x的變化關(guān)系為由知所以即當(dāng)，時，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.當(dāng)，時，單調(diào)遞減，所以綜上所述：當(dāng)時，取得最小值，為

本題考查了函數(shù)模型的綜合應(yīng)用，由基本不等式求最值，是較難題.由題意得，解得由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間x變化時，先增后減，所以選擇函數(shù)模型②，利用待定系數(shù)法解得函數(shù)解析式；由可得解析式，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性可得最值.18.(本小題滿分17分)已知雙曲函數(shù)，.(1)證明：(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明），并解關(guān)于x的不等式.(3)若，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)證明見解析；(2)單調(diào)遞增，；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式.（3）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，換元并借助對勾函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可.（1）雙曲函數(shù)，,則.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，則，即，解得，所以原不等式的解集為.（3）不等式，當(dāng)時，，則，依題意，，恒成立，令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，因此，即當(dāng)時，取得最大值，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.19.(本小題滿分17分)定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的都存在唯一的，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”．判斷是否為“型函數(shù)”？并說明理由；若存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)始終是“型函數(shù)”，求k的最小值；若函數(shù)是“