2024-2025學年江蘇省無錫市江陰市高二上冊12月月考數(shù)學階段性檢測試題（含解析）

2024-2025學年江蘇省無錫市江陰市高二上學期12月月考數(shù)學階段性檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．2．在復平面內，若是虛數(shù)單位，復數(shù)與關于虛軸對稱，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行六面體中，E為延長線上一點，，則可以表示為（）

A． B．C． D．4．已知則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要條件 D．既不充分也不必要5．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立春的日影子長為（）A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺6．已知拋物線的焦點為F，點P為拋物線上動點，點Q為圓上動點，則的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．27．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，，與y軸交于點M.若（O為坐標原點），則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B．C． D．8．2020年7月23日，“天問一號”在中國文昌航天發(fā)射場發(fā)射升空，經(jīng)過多次變軌后于2021年5月15日頭現(xiàn)軟著陸火星表面．如圖，在同一平面內，火星輪廓近似看成以為圓心、為半徑的圓，軌道Ⅰ是以為圓心、為半徑的圓，著陸器從軌道Ⅰ的點變軌，進入橢圓形軌道Ⅱ后在點著陸．已知直線經(jīng)過，，與圓交于另一點，與圓交于另一點，若恰為橢圓形軌道Ⅱ的上焦點，且，，則橢圓形軌道Ⅱ的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知方程（m為實數(shù)）表示的曲線C，則（）A．曲線C不可能表示一個圓 B．曲線C可以表示焦點在x軸上的橢圓C．曲線C可以表示焦點在y軸上的橢圓 D．曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線10．已知空間三點，，，則下列結論正確的有（）A．存在唯一的實數(shù)x使B．對任意實數(shù)，三點都不共線C．當時，與夾角的余弦值是D．當時，是平面的一個法向量11．已知O為坐標原點，點在拋物線上，拋物線的焦點為F，過點的直線l交拋物線C于P，Q兩點（點P在點B，Q的之間），則（

）A．直線與拋物線C相切 B．C．若P是線段的中點，則 D．存在直線l，使得三、填空題（本大題共3小題）12．寫出一個同時滿足下列條件①②的圓的方程：.①與圓相切，②與x軸相切.13．已知正四面體的每條棱長都等于1，點E，F(xiàn)分別是，的中點，則的值為.14．設F是雙曲線的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若的內切圓與x軸切于點N，且，則C的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓經(jīng)過點，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)求過點與圓相切的直線方程.16．已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，公差分別為，，數(shù)列滿足.(1)數(shù)列是不是等差數(shù)列？若是，證明你的結論；若不是，請說明理由.(2)若的公差為，的公差為，，，求數(shù)列的通項公式.17．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．18．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長為2的等邊三角形，，是線段的中點.(1)求證：平面平面；(2)若，是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．如圖，已知橢圓的長軸長為4，離心率為，過點作直線l交橢圓于x軸上方兩點M，N，點M在點N左側，直線和交于點G.(1)求點G的橫坐標；(2)若和的面積分別記為和，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【詳解】由得：，所以直線的斜率為，直線的傾斜角為.故選：D2．【正確答案】C【詳解】，復數(shù)與關于虛軸對稱，故.故選：C3．【正確答案】B【詳解】因為，所以，所以.故選：B.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，得到關于的方程，求出的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得；【詳解】解：因為若，則，解得或，當時，直線與直線重合，所以，若時，所以“”是“”的充要條件；故選：C5．【正確答案】C【詳解】因為從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，故可設該等差數(shù)列為，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種的日影子長分別計為，，，，，公差為，由題可得：，即，解之得：，所以立春的日影子長為：（尺）.故選：C6．【正確答案】B【詳解】設圓的圓心為，半徑為，過點作垂直拋物線的準線于，由拋物線的定義知，，所以，當且僅當四點共線時，等號成立，而，所以，即的最小值為4．故選：B7．【正確答案】A【詳解】如圖：

因為，所以，又，所以，且，所以，.又.所以.所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A8．【正確答案】A【分析】不妨設，，結合橢圓的定義與圓的性質綜合計算即可得、，即可得離心率.【詳解】法1：不妨設，，，則，，，所以，所以①，②，聯(lián)立①②解得，，所以橢圓離心率；法2：，，設軌道Ⅱ的長軸和焦距分別為和，，，則，，，得：，則，，，得：，故.故選：A.9．【正確答案】ACD【詳解】A：若，無解，故曲線C不能表示一個圓，對；B：若，無解，故曲線C不能表示焦點在x軸上的橢圓，錯；C：若，可得，滿足曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，對；D：若，可得，滿足曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，對.故選：ACD10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，，若，則，解得或1，故A錯誤；對于B，設三點共線，則，即，即，無解，故對任意實數(shù)，三點都不共線，故B正確；對于C，當時，，所以，故C正確；對于D，當時，，若是平面的一個法向量，則，即，所以當時，是平面的一個法向量，故D正確；故選：BCD.11．【正確答案】AC【詳解】因為點在拋物線上，所以，解得，即拋物線方程為，焦點F0,1.對于A：直線的方程為，即，因為，解得，所以直線與拋物線C相切點，故A正確；對于B：設過點B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，不合題意；所以直線l的斜率存在，設其方程為，，由，得，則，即或，于是，又，所以，故B錯誤；對于C：由焦半徑公式可得，因為P是線段的中點，所以，整理得，即，故C正確；對于D：若，則，得所以，即，解得，此時，則直線l與拋物線相切，故D錯誤.

故選：AC.12．【正確答案】（答案不唯一）【詳解】設圓的方程為，由題意可得，整理可得，可令，即，故（答案不唯一）.13．【正確答案】/【詳解】由題設，四面體各側面均是等邊三角形，且邊長都為1，，，所以.故14．【正確答案】【分析】結合題意，首先求出，由，通過運算得到，再利用之間的關系得到關于離心率的方程，解出即可.【詳解】結合題意：雙曲線的漸近線方程為，即，所以F到漸近線的距離為，所以，則的內切圓的半徑為，設的內切圓與FM切于點P，則，由，得，即，則，，由，得，即,由于，解得．故答案為.15．【正確答案】(1)(2)和【詳解】（1）設圓的標準方程為，由題意得，所以圓的標準方程為；（2）當直線的斜率不存在時，符合題意，當直線斜率存在時，設該斜率為，此時直線方程為，即，圓心到該直線的距離為，即，解得，此時直線方程為，故所求直線方程為和.16．【正確答案】(1)數(shù)列是等差數(shù)列，理由見解析(2)【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因為數(shù)列，都是等差數(shù)列，公差分別為，，所以，，因為，所以為常數(shù)，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；（2）因為，，所以，由（1）可知數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，因為的公差為，的公差為，所以數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項公式為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標系，，，因為，所以，即，所以點到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因為，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設平面的一個法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)存在，.【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可證，然后結合，利用線面垂直、面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求平面與平面的夾角的方法列出關于參數(shù)的方程，即可得解．【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因為，且，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面;（2）以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，設平面的法向量為，，，則即取，則，，所以，，，設平面的法向量為，，，則即取，則，，所以，，，因為平面和平面夾角的余弦值為，所以，整理得，，即，解得或，因為，所以，故存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時．【方法總結】向量法求兩個平面的夾角：首先求出兩個平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分別是兩個平面的法