福建省福州市2024-2025學(xué)年高二上冊(cè)期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

福建省福州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．3．“”是“直線和直線互相垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．外切 C．相交 D．外離5．過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或6．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．107．已知點(diǎn)，過(guò)直線上一動(dòng)點(diǎn)P作與y軸垂直的直線，與線段的中垂線交于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．8．如圖，，分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線焦距長(zhǎng)為6，則（

）A． B．的離心率為C．的漸近線為 D．直線與相交所得弦長(zhǎng)為10．已知圓，直線．則以下幾個(gè)結(jié)論正確的有（

）A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為C．點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為11．如圖所示，正方體中，，點(diǎn)在側(cè)面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A． B．點(diǎn)必在線段上C． D．平面三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與直線平行.則它們之間的距離是.13．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為.14．已知為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)作一條弦，使此弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓，圓，C1，C2分別為兩圓的圓心．（1）求圓C1和圓C2的公共弦長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)C1的直線l交圓C2與A，B，且，求直線l的方程．16．如圖，在幾何體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，四棱錐是高為4的正四棱錐.(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.17．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)斜率存在的直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)不共線，求面積的最大值.18．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).

(1)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率分別為，證明：（?。槎ㄖ?；（ⅱ）直線恒過(guò)定點(diǎn).

答案1．【正確答案】A【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式求出斜率,結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系可得傾斜角.【詳解】因?yàn)?所以過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率為,所以傾斜角為.故選A.2．【正確答案】C【詳解】即，則準(zhǔn)線方程為.故選：C.3．【正確答案】B【詳解】直線和直線的充要條件為即，可以推出，但推不出，故“”是“直線和直線互相垂直”的必要而不充分條件，故選：B.4．【正確答案】A【詳解】由，得，所以圓的圓心，半徑，由，得，所以圓的圓心，半徑，所以，所以兩圓內(nèi)切，故選：A5．【正確答案】D【詳解】圓，即圓的圓心坐標(biāo)，半徑分別為，顯然過(guò)點(diǎn)且斜率不存在的直線為，與圓相切，滿足題意；設(shè)然過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線為，與圓相切，所以，所以解得，所以滿足題意的直線方程為或.故選：D.6．【正確答案】C【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選C.7．【正確答案】D【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹写咕€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)檩S，所以表示到直線的距離，且表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)不在直線上，由拋物線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)軌跡方程為，所以，所以，所以軌跡方程為.故選：D.8．【正確答案】D連結(jié)，利用幾何關(guān)系表示，,并結(jié)合橢圓的定義，得到離心率.【詳解】連結(jié)，則，并且，，，，即.故選：D9．【正確答案】BC【詳解】雙曲線焦距長(zhǎng)為6，可得，所以A不正確；可得，所以的離心率為，所以B正確；的漸近線為，所以C正確；聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以弦長(zhǎng)為,D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：BC.10．【正確答案】ACD【詳解】由，則，得，即恒過(guò)定點(diǎn)，由到圓心的距離，故定點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒相交，故A正確；令，則，可得，故圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)C到直線l的距離的最大值為圓心到定點(diǎn)的距離，故最大值為，C正確，要使直線被圓截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心連線垂直于直線，則，所以，可得，故直線為，故D正確．故選：ACD．11．【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，可求；對(duì)于B,C,D，可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)在平面，平面∥平面，所以點(diǎn)到平面即為到平面的距離，即為正方體棱長(zhǎng)，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則所以,因?yàn)椋?，所以，即，所?所以，即三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)必在線段上，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以∥平面，D正確，故選：BD12．【正確答案】1【詳解】由題知兩條直線平行，故有，解得，即，由兩條平行線間的距離公式得.故113．【正確答案】【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，因?yàn)椋傻?，則，即，則的面積為．故答案為.14．【正確答案】【詳解】解：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為，弦所在的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則，①②①-②得，，，，∴此弦所在的直線方程為，即．故答案為.15．【正確答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）兩圓相減可得公共弦所在的直線方程為，圓，圓心，半徑為1，圓心到直線的距離為，圓C1和圓C2的公共弦長(zhǎng)為.（2）圓，圓心，半徑為2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與圓相切，不符合題意，設(shè)直線l的方程為，圓心到直線l的距離為，所以或，所以直線l的方程為或.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）連接，與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫危砸驗(yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以平面，平面，則，因?yàn)椋云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，平面，則，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則，又，，所以，，，所以，所以連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以平?（2）以為原點(diǎn)，直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為．17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由橢圓離心率為，得，則，橢圓方程為，而點(diǎn)在橢圓上，，解得，，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線l斜率存在且不垂直于軸，設(shè)直線l的方程為，而，由消去并整理得，由，得，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)存在；【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，且，，，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所?所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則為的中點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，所以，令則，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.（2），所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）存在，，理由如下設(shè)上存在一點(diǎn)，設(shè)，，，又因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以：，解得，又因?yàn)?，所以：，故存在，?19．【正確答案】(1)；(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；