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文檔簡介

吉林省蛟河市第一中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.2.已知,若對任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.3.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo),的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.4.如圖,點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng),則()A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中,存在EF//BC1B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值5.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有的點(diǎn)()A.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變B.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變C.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)不變D.向左平移個(gè)長度單位,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變6.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.7.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長、寬、高分別為,,,且,則此三棱錐外接球表面積的最小值為()A. B. C. D.8.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.9.已知,,分別是三個(gè)內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.10.下列不等式成立的是()A. B. C. D.11.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,如果函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________14.如圖所示,邊長為1的正三角形中,點(diǎn),分別在線段,上,將沿線段進(jìn)行翻折,得到右圖所示的圖形,翻折后的點(diǎn)在線段上,則線段的最小值為_______.15.已知直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實(shí)數(shù),不等式,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,則不等式的解集為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)2019年9月26日,攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預(yù)測報(bào)告》,2018年國慶假日期間,西安共接待游客1692.56萬人次,今年國慶有望超過2000萬人次,成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定:若公司某位導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收人不低于40(單位:萬元),則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名,統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:分組頻數(shù)(1)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位:萬元)的導(dǎo)游中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn),設(shè)來自甲公司的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,,求的值.20.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動(dòng)點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時(shí),求直線的普通方程.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.22.(10分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.2、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.3、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性,從而得到在相應(yīng)范圍上的符號和極值點(diǎn),據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知,在上為增函數(shù),且在上存在正數(shù),使得在上為增函數(shù),在為減函數(shù),故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn),且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近,有變化,故排除A,B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立,故排除C.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識別,此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號與零點(diǎn)情況,本題屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//,平面,平面所以//平面,則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點(diǎn)睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.5、A【解析】

由函數(shù)的最大值求出,根據(jù)周期求出,由五點(diǎn)畫法中的點(diǎn)坐標(biāo)求出,進(jìn)而求出的解析式,與對比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知,,又,,又,,,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只需將的圖象上的所有向左平移個(gè)長度單位,得到的圖象,再將的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變)即可.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象求解析式,考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系,屬于中檔題.6、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點(diǎn):1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2、復(fù)數(shù)的模.7、B【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐,并以該三棱錐構(gòu)造長方體,于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而得到外接球的半徑,求得外接球的面積后可求出最小值.【詳解】由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長方體的四個(gè)頂點(diǎn),即為三棱錐,且長方體的長、寬、高分別為,∴此三棱錐的外接球即為長方體的外接球,且球半徑為,∴三棱錐外接球表面積為,∴當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn),即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑,同時(shí)要作一圓面起襯托作用.(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線,對于一些比較特殊的三棱錐,在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通過構(gòu)造長方體,通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.8、C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.9、C【解析】

原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因?yàn)?,所以代入上式化簡?由于,所以.又,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于,,,錯(cuò)誤;對于,在上單調(diào)遞減,,錯(cuò)誤;對于,,,,錯(cuò)誤;對于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.11、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋?,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當(dāng)、時(shí),成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.12、B【解析】

化簡得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,結(jié)合0<A<π,可求A=π【詳解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,兩角差的正弦公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活利用基本公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

首先把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)開方,可得,即有三個(gè)零點(diǎn),再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),即零點(diǎn)有,顯然,則有,可得,即有三個(gè)零點(diǎn),不妨令,對于,函數(shù)單調(diào)遞增,,,所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解,對于函數(shù),,解得,,解得,,解得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn),則有,綜上可知,若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn),恰當(dāng)?shù)拈_方,轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題,注意恰有三個(gè)零點(diǎn)條件的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍,屬于難題.14、【解析】

設(shè),,在中利用正弦定理得出關(guān)于的函數(shù),從而可得的最小值.【詳解】解:設(shè),,則,,∴,在中,由正弦定理可得,即,∴,∴當(dāng)即時(shí),取得最小值.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用,屬中檔題.15、【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點(diǎn),到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點(diǎn)均在直線上,由于為任意實(shí)數(shù),可得時(shí),的最小值即為點(diǎn)到直線的距離,可得,對于任意的實(shí)數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點(diǎn)的距離的運(yùn)用,考查直線方程的運(yùn)用,以及點(diǎn)到直線的距離,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo),由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點(diǎn),∴,∵平面且,∴平面,以為原點(diǎn),分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點(diǎn),因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危詾橹悬c(diǎn),又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詾橹悬c(diǎn),∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),屬于中檔題.18、(1),乙公司影響度高;(2)見解析,【解析】

(1)利用各小矩形的面積和等于1可得a,由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b,再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率;(2)易得總收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,則甲公司的人數(shù)的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】(1)由直方圖知,,解得,由頻數(shù)分布表中知:,解得.所以,甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,由于,所以乙公司影響度高.(2)甲公司旅游總收入在中的有人,乙公司旅游總收入在中的有2人,故的可能取值為1,2,3,易知:,;.所以的分布列為:123P.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.19、(1),;(2)2.【解析】

(1)由得,求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,韋達(dá)定理得,點(diǎn)在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線與曲線交于兩點(diǎn),,即.設(shè)點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達(dá)定理可得,.點(diǎn)在直線上,,.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,由可得,整理即可得到極坐標(biāo)方程,進(jìn)而求得直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達(dá)定理可得,,則,求得取最小值時(shí)符合的條件,進(jìn)而求得直線的普通方程.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)分別為,,因?yàn)?則,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,兩邊同乘,得,所以的直角坐標(biāo)方程為,即.(2)設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,,將直線的參數(shù)方程(參數(shù)),代入的直角坐標(biāo)方程中,整理得.由韋達(dá)定理得,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,則,所以當(dāng)取得最小值時(shí),直線的普通方程為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,考查利用直線的參數(shù)方程研究直線與圓的位置關(guān)系.21、(1)證明見解析(2)(3)【解析】

(1)根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并表示出,由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;(3)由點(diǎn)在棱上,設(shè),再由,結(jié)合,由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵底面,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖

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