貴州省頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高中數(shù)學(xué)選修2-2復(fù)習(xí)教案3

上周反思：經(jīng)過上周學(xué)習(xí)了排列與組合，很多同學(xué)對(duì)概率的理解不是很透徹，必須加強(qiáng)講解和訓(xùn)練。教案夏家福選修22復(fù)習(xí)2018春季第5周高中數(shù)學(xué)選修22知識(shí)點(diǎn)總結(jié)教學(xué)目標(biāo)：1．重點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念及其幾何意義；2．掌握選修22的知識(shí)點(diǎn)3．利用選修22知識(shí)解決簡(jiǎn)單問題教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究與函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單問題，掌握推理證明的證明方法，會(huì)計(jì)算與復(fù)數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。教學(xué)難點(diǎn)：用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)解決常見問題。授課類型：復(fù)習(xí)課課時(shí)安排：4課時(shí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈N時(shí)，恒有|unA|<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。2．極限的四則運(yùn)算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b,[f(x)?g(x)]=ab,3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。?，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。6．【必背】八大常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。8．****【必會(huì)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f[(x)]=.9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(xδ,x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0δ，x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極大值。12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。13．【了解】羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使[證明]若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對(duì)任意x∈(a,b)，.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】1．極限的求法。例1求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）[解]（1）=；（2）當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，（3）因?yàn)槎裕?）例2求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1)；（2）；（3）。[解]（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)=（2）=（3）=2．連續(xù)性的討論。例3設(shè)f(x)在(∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)=x(1x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。[解]當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，有f(x)=x(1x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t1，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t1)，因?yàn)閠1∈[0,1),再由f(x)=x(1x)2得f(t1)=(t1)(2t)2,從而t∈[1,2)時(shí),有f(t)=2(t1)?(2t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t1)=4(t2)(3t)2.從而f(x)=所以，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。[解]因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為yy0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=(x2)，即x+y2=0.4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(12x)x(x>0且)。[解]（1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。[解]，因?yàn)閤>0,a>0，所以x2+(2a4)x+a2>0；x2+(2a4)x+a+<0.（1）當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0，有x2+(2a4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x≠1,有x2+(2a4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)0<a<1時(shí)，令，即x2+(2a4)x+a2>0，解得x<2a或x>2a+，因此，f(x)在(0,2a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2a<x<2a+時(shí)，x2+(2a4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2a,2a+)內(nèi)單調(diào)遞減。6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7設(shè)，求證：sinx+tanx>2x.[證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx2x，則=cosx+sec2x2，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?<cosx<1），所以=cosx+sec2x2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。[解]因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，，所以f(x)在(0,1]上遞減；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，，所以f(x)在[1，2]上遞增；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。例9設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y1)sinx+(1y)sin(1y)x的最小值。[解]首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時(shí)，f(x,y)=(2y1)sinx+(1y)sin(1y)x=(1y)2x=(1y)2x，令g(x)=,當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx>0,tanx>x，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx<0,tanx<0,xtanx>0，所以；又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?<(1y)x<x<π，所以g[(1y)x]>g(x)，即，又因?yàn)椋援?dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí)，f(x,y)>0.其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)，f(x,y)=(1y)sin(1y)π≥0.當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx≥0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。三、趨近高考【必懂】這些高考題取自20092010年各個(gè)熱門省市，同學(xué)一定重視，在此基礎(chǔ)上，我會(huì)對(duì)這些高考題作以刪減，以便同學(xué)在最短時(shí)間內(nèi)理解明白！1.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為()A.1B.2C.1D.2答案B解:設(shè)切點(diǎn)，則,又.故答案選B2.（2009安徽卷理）已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是()A.B.C.D.答案A解析由得幾何，即，∴∴，∴切線方程，即選A3.（2009江西卷文）若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于 ()A．或B．或C．或D．或答案A解析設(shè)過的直線與相切于點(diǎn)，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當(dāng)時(shí)，由與相切可得，當(dāng)時(shí)，由與相切可得，所以選.4.（2009遼寧卷理）若滿足2x+=5,滿足2x+2(x－1)=5,+＝ ()A.B.3C.D.4答案C解析由題意①②所以,即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比較得t＝x2

于是2x1＝7－2x25.（2009天津卷理）設(shè)函數(shù)則 ()A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)。B在區(qū)間內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)。C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。D在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。解析：由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點(diǎn)處有極小值；又，故選擇D。6.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時(shí)斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。解法（分離變量法）上述也可等價(jià)于方程在內(nèi)有解，顯然可得7.(2009陜西卷理)設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為.答案28（2010.全國(guó)1文）．設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】：，由得，即或；由得即，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。由恒成立，大于的最大值。當(dāng)時(shí)，(1)當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以；(2)當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以；(3)當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以；因?yàn)?，從而第二章推理與證明本章只需重視綜合法、分析法、反證法的特點(diǎn)。及數(shù)學(xué)歸納法的掌握！一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】綜合法：“執(zhí)因?qū)Ч狈治龇ā皥?zhí)果導(dǎo)因”反證法:倒著推【不?？肌繗w納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊→一般.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法完全歸納法:把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確由，可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo).二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明，一是要切實(shí)理解原理，二是嚴(yán)格按步驟進(jìn)行，格式要規(guī)范，從n=k到n=k+1時(shí)一定要用歸納假設(shè)，否則不合理。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.證明點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)n=k+1也成立時(shí)，證明不等式的常用方法，如比較法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用，在證明的過程中，常常利用不等式的傳遞性對(duì)式子放縮建立關(guān)系。同時(shí)在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式里應(yīng)特別注意從n=k到n=k+1過程中項(xiàng)數(shù)的變化量，容易出錯(cuò)。用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時(shí)，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩下的式子也能被某式（或數(shù)）整除，拼湊式關(guān)鍵。第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來(lái)表示。2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖151，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則abi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.【部分省市考】棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n1。7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn1=0；（3）xn1+xn2+…+x+1=(xZ1)(xZ2)…(xZn1)=(xZ1)(x)…(x).8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則=abi也是一個(gè)根。12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)方程的根為二、基礎(chǔ)例題【必會(huì)】1．模的應(yīng)用。例1求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z1)2n=0只有純虛根。[證明]若z是方程的根，則(z+1)2n=(z1)2n，所以|(z+1)2n|=|(z1)2n|,即|z+1|2=|z1|2,即(z+1)(+1)=(z1)(1)，化簡(jiǎn)得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。[解]因?yàn)?=(1+a+b)+(1a+b)(1+ai+b)(1ai+b)=|f(1)+f(1)f(i)f(i)|≥|f(1)|+|f(1)|+|f(i)|+|f(i)|=4，其中等號(hào)成立。所以f(1),f(1),f(i),f(i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(1)=f(i)=f(i)，解得a=b=0.2.復(fù)數(shù)相等。例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條件。[解]若方程有實(shí)根，則方程組有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=1，則方程x2x+1=0中Δ<0無(wú)實(shí)根，所以λ≠1。所以x=1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時(shí)，方程無(wú)實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條件為λ≠2。3．三角形式的應(yīng)用。例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？[解]由題設(shè)得，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。例6以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。[證明]設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)i(z1a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。[證明]用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(AB)(CD)+(BC)(AD)=(AC)(BD)，因?yàn)閨AB|?|CD|+|BC|?|AD|≥(AB)(CD)+(BC)(AD).所以|AB|?|CD|+|BC|?|AD|≥|AC|?|BD|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。6．復(fù)數(shù)與軌跡。例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。[解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|zb|=|z3i|，BC的垂直平分線的方程為|zb|=|zb2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|zb|=|z3i|=|zb2|，消去b解得所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復(fù)數(shù)與三角。例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.所以zi?=1，即由z1+z2+z3=0得①又所以所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.[解]令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①②得(1w)(S+iP)=w+w2+…+w1818w19=，所以S+iP=，所以8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。例11已知f(z)=c0zn+c1zn1+…+cn1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.[證明]記c0zn+c1zn1+…+cn1z=g(z),令=Arg(cn)Arg(z0)，則方程g(Z)c0eiθ=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)c0eiθ=(zz1)(zz2)?…?(zzn)c0，令z=0得c0eiθ=(1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個(gè)zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.9.單位根的應(yīng)用。例12證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2…An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。[證明]取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，則頂點(diǎn)A2A3…An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,則|z|=1,且=2n=2n命題得證。10．復(fù)數(shù)與幾何。例13如圖152所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。[證明]以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則CQ=i(BQ)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由CQ=i(BQ)得，即AQ=i(DQ)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A[證明]令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1up0,p2=(1+u)A2up1,p3=(1+u)A3up2,①×u2+②×(u)得p3=(1+u)(A3uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無(wú)關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3uA2+u2A1=0.由u2=u1得A3A1=（A2A1）u，這說(shuō)明ΔA1A2A三、趨近高考【必懂】1.(2009年廣東卷文)下列n的取值中，使=1(i是虛數(shù)單位）的是 （）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5【解析】因?yàn)?故選C.答案C2.（2009廣東卷理）設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對(duì)虛數(shù)單位， （）A.8B.6C.4D.2【解析】，則最小正整數(shù)為4，選C.答案C3.（2009浙江卷理）設(shè)（是虛數(shù)單位），則 ()A．B．C．D．【解析】對(duì)于答案D4.（2009浙江卷文）設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A．B．C．D．【解析】對(duì)于答案D5.（2009北京卷理）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】∵，∴復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選B.答案B6.(2009山東卷理)復(fù)數(shù)等于 （）A．B.C.D.【解析】:,故選C.答案C7.(2009山東卷文)復(fù)數(shù)等于 （）A．B.C.D.【解析】:,故選C.答案C8.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）已知=2+i,則復(fù)數(shù)z= （）（A）1+3i(B)13i(C)3+i(D)3i【解析】故選B。答案B9.（2009安徽卷理）i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()（A）－15（B）－3（C）3（D）15【解析】，∴，選B。答案B10.（2009安徽卷文）i是虛數(shù)單位，i(1+i)等于 （）A．1+i B.1i C.1i D.1+i【解析】依據(jù)虛數(shù)運(yùn)算公式可知可得，選D.答案D11.（2009江西卷理）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 （）A．B．C．D．或【解析】由故選A答案A12.(2009湖北卷理)投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)（m+ni）(nmi)為實(shí)數(shù)的概率為 （）A、B、C、D、【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)所以故則可以取1、26，共6種可能，所以答案C13.（2009全國(guó)卷Ⅱ理） （）A. B. C. D.【解析】：原式.故選A.答案A14.（2009遼寧卷理）已知復(fù)數(shù)，那么= （）（A）（B）（C）（D）【解析】＝答案D15.（2009寧夏海南卷理）復(fù)數(shù) （）（A）0（B）2（C）2i(D)2【解析】,選D答案D作業(yè)布置：試卷1板書設(shè)計(jì)：選修22一、導(dǎo)數(shù)二、推理與證明三、復(fù)數(shù)例題練習(xí)高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（22）綜合測(cè)試題1一、選擇題1．下列說(shuō)法正確的是（）Ａ．若，則是函數(shù)的極值Ｂ．若是函數(shù)的極值，則在處有導(dǎo)數(shù)Ｃ．函數(shù)至多有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值Ｄ．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若方程無(wú)實(shí)數(shù)解，則無(wú)極值2．復(fù)數(shù)，則的充要條件是（）Ａ． Ｂ．且Ｃ． Ｄ．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的（）4．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．若非零復(fù)數(shù)，滿足，則與所成的角為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．已知兩條曲線與在點(diǎn)處的切線平行，則的值為（）Ａ．0 Ｂ． Ｃ．０或 Ｄ．0或17.有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9,┅，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù)，第二組含兩個(gè)數(shù)，第三組含三個(gè)數(shù)，第四組含四個(gè)數(shù)，┅，現(xiàn)觀察猜想每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號(hào)數(shù)的關(guān)系為（）A．等于B.等于C.等于D.等于8．的值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ．1 Ｄ．09．函數(shù)，則有（）Ａ．極大值為1，極小值為0Ｂ．極大值為1，無(wú)極小值Ｃ．最大值為1，最小值為0Ｄ．無(wú)極小值，也無(wú)最小值10．下列推理合理的是（）Ａ．是增函數(shù)，則Ｂ．因?yàn)?，則Ｃ．為銳角三角形，則Ｄ．直線，則11．的一個(gè)充分條件是（）Ａ．或 Ｂ．且Ｃ．且 Ｄ．或函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則在上（）Ａ．單調(diào)遞增Ｂ．單調(diào)遞減Ｃ．單調(diào)遞增，單調(diào)遞減Ｄ．單調(diào)遞減，單調(diào)遞增題號(hào)123456789101112答案二、填空題13．設(shè)且，則．14．在空間這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且它的每個(gè)面又都有奇數(shù)條邊．（填“不存在”或“存在”）15．設(shè)，則．16．已知：中，于，三邊分別是，則有；類比上述結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體中，，的面積分別是，二面角的度數(shù)分別是，則．三、解答題17．求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．18．設(shè)復(fù)數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求此最大值．19．（本小題12分）已知:都是正實(shí)數(shù),且求證:.20．在數(shù)列中，，且前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍（）．（1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明．21如圖，在曲線上某一點(diǎn)處作一切線使之與曲線以及軸所圍的面積為，試求：（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過切點(diǎn)的切線方程．22．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的范圍；（2）若，（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明對(duì)任意的，，不等式恒成立．高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（22）綜合測(cè)試題2選擇題（每小題5分，共60分）1.若復(fù)數(shù)，則的虛部等于[]A.1B.3C.D.2.和是R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若=，則有[]A.B.是常數(shù)函數(shù)C.D.是常數(shù)函數(shù)3.一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程是（為常數(shù)），則其速度方程為[]A.B.C.D.4.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的值等于[]A.0B.1C.D.25.定積分的值等于[]A.1B.C.D.6.已知是不相等的正數(shù)，，，則的大小關(guān)系是[]A.B.C.D.不確定7.若函數(shù)，則其[]A.有極小值，極大值3B.有極小值，極大值6C.僅有極大值