專題25以四邊形為載體的幾何綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）

專題25以四邊形為載體的幾何綜合問題

【例1】（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)

B，C重合），且．

∠???=45°

(1)當(dāng)時(shí)，求證：；

(2)猜?想?B=E，??EF，DF三條?線?段=之??間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2，連接AC，G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且．若，，

請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．??⊥????=????=???=?

【例2】（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連

接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接DG．

(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

????

(2)如圖2，當(dāng)??＝??＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；

????

(3)如圖3，在（??2）??的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB

＝，∠AEB＝45°，請(qǐng)直接寫出△MND的面積．

5

第1頁(yè)共14頁(yè).

【例3】（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），

作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．

(1)直接寫出圖中與AFB相似的一個(gè)三角形；

(2)若四邊形AFCC′△是平行四邊形，求CE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)CE的長(zhǎng)為多少時(shí)，以C′，F(xiàn)，B為頂點(diǎn)的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？

【例4】（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)

從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的2路3線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止

運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交

2

于點(diǎn)P，求線段EP與CP長(zhǎng)度的比值；3

(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，

求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大3，最大值為多少？

(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)E、

1

F在什么位置能使EM＝HM．并說明3理由．

第2頁(yè)共14頁(yè).

【例5】（2022·上海·中考真題）平行四邊形，若為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

??????????????

(1)若，

①證明??=??為菱形；

②若????，，求的長(zhǎng)．

(2)以??為=圓5心，??=為3半徑?，?為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)，且．若在直線

上，求?的值．????????=2?????

??

??

第3頁(yè)共14頁(yè).

一、解答題【共20題】

1．（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：

問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師出示了一道思考題：

如圖，在正方形中，是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作等腰直角三角形，使得

，????，且?點(diǎn)恰好?在?射線上．???????

∠???=90°??=?????

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上時(shí)，那么與之間的數(shù)量關(guān)系是_________；

探索發(fā)現(xiàn)：??????????

(2)當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)如圖2與圖3，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行證明；若不

成立，請(qǐng)?說明理由?；???

問題解決：

(3)如圖4，在正方形中，，當(dāng)是對(duì)角線的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，連接，若，求

的面積．??????=22???????=62△???

第4頁(yè)共14頁(yè).

2．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，將正

方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)1．求證：?????；??

（2）在（?1?）的條件下?，如圖?，延長(zhǎng)?交?邊于點(diǎn)??．?若??，求的值△；???≌△???

??2??

（3）如圖，四邊形為矩形2，同樣沿??著??折疊，連接?，延??長(zhǎng)=3，??分別交于，兩點(diǎn)，若，

??3??4

則的值為3_______?__?_?_?．（直接寫出結(jié)果）??????????????=4,??=5

??

??

3．（2022·浙江嘉興·一模）如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，，

．連接、．??????????=?(?>1)

??=1????

(1)求圖1中、的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．

(2)如圖2，正??方形??固定不動(dòng)，將圖1中的正方形繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），試探究、

之間的數(shù)量關(guān)系?，??并?說明理由．?????0°<?≤90°??

?(3?)如圖3，在（2）條件下，當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若，求m的

值．??????=2

第5頁(yè)共14頁(yè).

4．（2022·北京市第十九中學(xué)三模）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，平移到，線段的中垂線與線△段???的延長(zhǎng)∠?線??交=于9點(diǎn)0°，?連?接>??、?．?????

?????????????

(1)連接，求證：；

(2)依題意??補(bǔ)全圖形，∠?用?等?式=表2∠示?線??段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

??????

5．（2022·浙江紹興·一模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段上，且四邊形是正方

形．??????,??????

(1)試探究線段與的關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖②若將條??件中??的四邊形與四邊形由正方形改為矩形，，．

①線段在（1）中的關(guān)系?仍?然??成立嗎？若?成??立?，請(qǐng)證明，若不成立，??請(qǐng)=寫3出?你?=認(rèn)4為正確的關(guān)系，并說明理

由．??,??

②當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

△?????

第6頁(yè)共14頁(yè).

6．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接

，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F?處??，?延長(zhǎng)??交=8的?延?長(zhǎng)=線10于點(diǎn)G．??

??????????????

(1)求線段的長(zhǎng)；

(2)如圖2，??M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)．

①求證四邊形AFGD為菱形；????∠???=∠?????=?

②是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

△???

7．（2022·福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)．

(1)如圖，中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．

(2)如圖①，R矩t形△???中，∠?=90，°??=3，點(diǎn)??=、4點(diǎn)分?別在??、上，求??的最小值．

(3)如圖②，矩形????中，??=3，??=4，點(diǎn)?是?邊上一點(diǎn)?，?且??，點(diǎn)??是+??邊上的任意一點(diǎn)，把

沿翻③折，點(diǎn)的?對(duì)??應(yīng)?點(diǎn)為?，?=連3接??=、4，四?邊?形?的面積是?否?=存2在最?小值?，?若存在，求這個(gè)最小△值?及??此

時(shí)??的長(zhǎng)度．?若不存在，請(qǐng)?說明理由??．??????

??

第7頁(yè)共14頁(yè).

8．（2022·廣東·三模）特例發(fā)現(xiàn)：

如圖1，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為正方形ABCD邊BC和邊CD上一點(diǎn)，當(dāng)CE＝CF時(shí)，則易得BE＝DF，BE⊥DF．

(1)如圖2，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠ECF＝90°，CF＝CE，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線CD的兩側(cè)，連接EF，BE，

DF，探究線段BE與DF之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖3，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，點(diǎn)E在矩形ABCD內(nèi)部，∠ECF＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在直線BC的兩

側(cè)，CE∶CF＝1∶2，連接EF，BE，DE，BF，DF．請(qǐng)?zhí)骄烤€段DE，BF之間的關(guān)系，并說明理由；

(3)若（2）中矩形ABCD的邊AB＝3，Rt△CEF的邊CE＝1，當(dāng)BE＝DF時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

9．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)P是邊上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連結(jié)，將沿翻折得??到???．?=6∠?=60°????=4??

??△?????△???

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；

(2)若?點(diǎn)?F∥落??在對(duì)角線∠???上，求證：；

(3)若點(diǎn)P在射線上?運(yùn)?動(dòng)，設(shè)直線△?與?直?線～△?交??于點(diǎn)H，問當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形．

????????△???

第8頁(yè)共14頁(yè).

10．（2022·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）二模）問題初探：數(shù)學(xué)興趣小組在研究四邊形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，遇到

了這樣的一個(gè)問題．如圖1，四邊形ABCD和BEFG都是正方形，于H，延長(zhǎng)HB交CG于點(diǎn)M．通過

測(cè)量發(fā)現(xiàn)CM＝MG．為了證明他們的發(fā)現(xiàn)，小亮想到了這樣的證明?方?法⊥：??過點(diǎn)C作于點(diǎn)N．他已經(jīng)證

明了，但接下來的證明過程，他有些迷茫了．??⊥??

△???≌△???

(1)請(qǐng)同學(xué)們幫小亮將剩余的證明過程補(bǔ)充完整；

(2)深入研究：若將原題中的“正方形”改為“矩形”（如圖2所示），且（其中k＞0），請(qǐng)直接寫出線段

????

CM、MG的數(shù)量關(guān)系為______；??=??=?

(3)拓展應(yīng)用：在圖3中，在和中，，，連接BD、

CE，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，則AF與??C△E的??數(shù)?量?關(guān)?系△為??__?____．∠???=∠???=90°∠???=∠???=30°

11．（2022·廣東·佛山市華英學(xué)校三模）已知，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，，平分

．???????????∥??,??∥????

∠???

(1)如圖，求證：四邊形是菱形；

(2)如圖1，過點(diǎn)作???于?，若，，求的長(zhǎng)；

(3)如圖2，??，?點(diǎn)⊥?為??延長(zhǎng)線?上?一=點(diǎn)6，?連?接=8交?于?點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上一點(diǎn)，

且3?，?過=點(diǎn)??作?的垂??線，垂足為，????，當(dāng)???，??時(shí)，??求的長(zhǎng)．(??>??)

??=??????∠???=∠?????=10??=8??

第9頁(yè)共14頁(yè).

12．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）在矩形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，

過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．??????>??????????

???⊥???????

(1)如圖（1），點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)的大小是否改變？請(qǐng)說明理由．

(2)如圖（2），連接???，若∠?，??交于點(diǎn)，，，求的值．

??

????⊥????⊥???????=4??=26??

13．（2021·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）閱讀理解在學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)定理：直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半，即：如圖1，在[中，]，若點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，則．

1

靈活應(yīng)用如圖2，中，RtΔAB，C∠?，??=90，°點(diǎn)是?的中點(diǎn)??，將沿??翻=折2?得?到，

[連接，]．Δ???∠???=90°??=6??=8???Δ?????Δ???

????

(1)根據(jù)題意，則的長(zhǎng)為．

(2)判斷的形?狀?，并說明理由．

(3)請(qǐng)直接Δ?寫??出的長(zhǎng)．

??

第10頁(yè)共14頁(yè).

14．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)三模）中，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與，

重合，以為邊在右側(cè)作菱形△?，?使?∠???=，60連°接??．=?????(??

?)????????∠???=60°??

(1)觀察猜想：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

與的位置關(guān)1系為：_?_____．??

①??，??，之間的數(shù)量關(guān)系為：______；

②(2)數(shù)??學(xué)思??考：?如?圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不

成立，請(qǐng)你寫出正確2結(jié)論再?給予證明?．?①②

(3)拓展延伸：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，若已知，，求

1

的長(zhǎng)．3??????????=4??=2????

15．（2022·福建省福州屏東中學(xué)三模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)

2

，點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，?交=軸??于?點(diǎn)4?，?交+2軸(?于<點(diǎn)0)，?軸于?點(diǎn)，點(diǎn)是?拋物線

?的頂點(diǎn)?，已知在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最大??值⊥是???．?????⊥???

???42

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)與的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)?恰好是?的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)連結(jié)?，作點(diǎn)??關(guān)于直線的對(duì)?稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______直接寫出答案

??????????.()

第11頁(yè)共14頁(yè).

16．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．

(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是______．

(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，

1

求證：M是CD的中點(diǎn)．=3

(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知

∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長(zhǎng)是______．

17．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，

，連接，．????△??????<??∠???=90°??=

??????

(1)如圖，求證：≌；

(2)直線1與相交△于?點(diǎn)??．△???

如圖??，??于點(diǎn)?，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；

①如圖2，連??接⊥?，?若??，?⊥??，直?接寫出在?旋?轉(zhuǎn)??的過程中，線段長(zhǎng)度的最小值．

②3????=4??=2△?????

第12頁(yè)共14頁(yè).

18．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．

????????????????

(1)如圖1，當(dāng)四