專題06 二次函數(shù)-周長最大值問題（原卷版）

第六講二次函數(shù)--周長最大值問題

目錄

必備知識點.......................................................................................................................................................1

考點一三角形周長的最大值.........................................................................................................................1

考點二四邊形周長的最大值.........................................................................................................................4

知識導航

必備知識點

考點一三角形周長的最大值

1．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c（b、c為常數(shù)）與y軸交于點C，對稱軸

為直線x＝﹣3，點N（﹣4，﹣5）在該拋物線上．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）連接CN，點P是直線CN下方拋物線上一動點，過點P作PH∥y軸交直線CN于點H，在

射線CH上有一點G使得PH＝PG．當△PGH周長取得最大值時，求點P的坐標和△PGH周長

的最大值；

第1頁共7頁.

2．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝﹣x+4的交點分別位于x軸、y軸上的A、B兩

點，與x軸的另一交點為C（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，連接BC，點P為AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ∥BC交AB于點Q，過

點P作PR⊥x軸交AB于點R．求△PQR周長最大值及此時點P的坐標；

3．如圖1，在平面直角坐標系中．拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A（﹣4，0）和B（1，0），與y

軸交于點C，連接AC，BC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）如圖2，點M為直線AC上方的拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交AC于點N，

過點M作x軸的平行線，交直線AC于點Q，求△MNQ周長的最大值；

第2頁共7頁.

4．如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，已知拋物線頂點坐

標為（﹣1，﹣）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，連接AC，過點B作BD∥AC，交拋物線于點D，點P是拋物線上位于直線AC下

方的一個動點，過點P作PN∥y軸，交BD于點N，點M是直線BD上異于點N的一點，且PN

＝PM，連接PM，求△PNM的周長最大值以及此時點P的坐標；

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B

左側(cè)），與y軸交于點C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．

（1）求拋物線y＝ax2+bx+3的解析式；

（2）點P為直線BC上方拋物線上的一動點，P點橫坐標為m，過點P作PF∥y軸交直線BC于

點F，寫出線段PF的長度l關于m的函數(shù)關系式；

（3）過點P作PD⊥BC于點D，當△PDF的周長最大時，求出△PDF周長的最大值及此時點P

的坐標．

第3頁共7頁.

6．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A、B（點A在點B的左側(cè)），其中OA＝1，tan

∠ABC＝．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，點P是直線BC下方拋物線上一點，過點P作PQ∥AC交BC于Q，PH∥x軸交

BC于H，求△PQH周長最大值及此時點P的坐標；

考點二四邊形周長的最大值

47．如圖，已知直線BC的解析式為y＝x﹣3，拋物線y＝x2+bx+c與坐標軸交于A、B、C三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，若M（m，y1），N（4﹣m，y2）是第四象限內(nèi)拋物線上的兩個動點，且m＜2．分

別過點M，N作x軸的垂線，交線段BC于點D、E．通過計算證明四邊形MDEN是平行四邊形，

并求其周長的最大值；

第4頁共7頁.

8．如圖，拋物線y＝x2﹣x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點B．線段OA上有一動點P（不與

O、A重合），過點P作y軸的平行線交直線AB于點C，交拋物線于點M．

（1）求直線AB的解析式；

（2）點N為線段AB下方拋物線上一動點，點D是線段AB上一動點；

①若四邊形CMND是平行四邊形，證明：點M、N橫坐標之和為定值；

②在點P、N、D運動過程中，平行四邊形CMND的周長是否存在最大值？若存在，求出此時點

D的坐標，若不存在，說明理由．

9．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于

點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；

（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于

點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點

P在點Q左邊，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；

第5頁共7頁.

10．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，

連接AC、BC．

（1）直接寫出點A的坐標和直線BC的解析式；

（2）如圖1，點D是拋物線第一象限上一點，∠DBA＝∠ACB，求點D的橫坐標；

（3）如圖2，點M是BC上方拋物線上的動點，過點M作MN∥BC交拋物線于另一點N，過點

M作ME∥y軸交BC于點E，過點N作NF∥y軸交BC于點F，求四邊形MEFN周長的最大值．

2

11．如圖，拋物線C1：y＝ax+bx﹣2與x軸交于點A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，

其頂點為D，將該拋物線沿直線l：y＝m（0≤m＜）折疊后得到拋物線C2，折痕與拋物線C1，

交于點G，H兩點．

（1）求拋物線C1的函數(shù)袤達式；

（2）如圖2，當m＝0時，動點M，N在拋物線C1上，且位于直線l上方（點M在點N的左側(cè)），

過M，N分別作y軸的平行線交拋物線C2于點P，Q兩點，當四邊形MNPQ為矩形時，求該矩

形周長的最大值；

第6頁共7頁.

12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（2，0），C（0，﹣3）．