專題08 二次函數(shù)-線段之差最值問題（原卷版）

第八講二次函數(shù)--線段之差最值問題

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

（1）在直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線L上找一點(diǎn)P，使|PA﹣PB|最大；

（2）在直線l兩側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線l上找一點(diǎn)P，使|PA﹣PB|最大；

（3）在直線l兩側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線l上找一點(diǎn)P，使|PA﹣PB|最小．

（1）如圖所示：

（2）如圖所示：

（3）如圖所示：

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考點(diǎn)一線段之差最值問題

1．如圖，已知拋物線y＝a（x﹣2）2+c與x軸從左到右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B

的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），連接AC，BC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是該拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h，試探究：

當(dāng)h為何值時(shí)，|PA﹣PC|的值最大？并求出這個(gè)最大值．

2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得|PA﹣PC|的值最大，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由．

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3．如圖，已知拋物線y＝a（x﹣2）2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐

標(biāo)為（3，0），連接AC、BC．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB、PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)表示為m．

試探究：

①當(dāng)m為何值時(shí)，|PA﹣PC|的值最大？并求出這個(gè)最大值．

4．如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最

大值．

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5．如圖，已知拋物線y＝x2+x+3與直線y＝x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、

BC．

（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)；

（2）在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；

6．如圖，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸與點(diǎn)C，點(diǎn)D為

該拋物線的頂點(diǎn)，連接AC．

（1）如圖1，連接DA、DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)和△ACD的面積；

（2）如圖2，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交直線AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P

作PF⊥AC，垂足為F，當(dāng)△PEF周長最大時(shí)，在x軸上存在一點(diǎn)Q，使|QP﹣QD|的值最大，請(qǐng)求出這

個(gè)最大值以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

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7．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+1的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+1的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是二次函數(shù)

圖象的頂點(diǎn)，P是x軸下方線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸的垂線和平行線，垂足為E，平行線交

直線BC于F．

（1）當(dāng)△PEF面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)H，使|BH﹣PH|的值最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和|BH﹣PH|的最

大值；

8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線

的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|BM﹣CM|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

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9．如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．

①求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2x與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求△ABC的周長；

（2）如圖1，P為拋物線上第二象限的點(diǎn)，連接PA、PC，當(dāng)四邊形APCO面積最大時(shí)，在對(duì)稱軸l上

找一動(dòng)點(diǎn)Q，使得|PQ﹣BQ|的值最大，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及|PQ﹣BQ|的最大值．

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11．如圖1，二次函數(shù)y＝的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），與

y軸交于點(diǎn)C，直線l是它的對(duì)稱軸．

（1）求直線l與直線AC交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，與直線AC

交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)△PEF的周長最大時(shí)，在對(duì)稱軸l上找點(diǎn)M，使

得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè)），交y軸于點(diǎn)W，頂點(diǎn)為C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D．

（1）求直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)E（m，0），F(xiàn)（m+2，0）為x軸上兩點(diǎn)，其中2＜m＜4，EE′，F(xiàn)F′分別垂直于